解答题专训10 离散型随机变量的期望与方差（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

解答题专训10 离散型随机变量的期望与方差 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 二项分布的期望与方差 2 题型2 超几何分布的期望与方差 3 题型3 统计与离散型随机变量的期望与方差 4 题型4 期望与方差在决策中的作用 5 重难专题分层过关练 7 巩固过关 7 创新提升 13 解题方法及技巧提炼 1.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0(i＝1，2，…，n)； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 2.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 3.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 4.常用结论 （1）若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量. （2）E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 5.求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ). 6.二项分布问题的解题关键 ①定型：a.在每一次试验中，事件发生的概率相同；b.各次试验中的事件是相互独立的；c.在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. ②定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率. 7.超几何分布的含义 ①超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：a.考察对象分两类；b.已知各类对象的个数；c.从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. ②超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 8.解决正态分布问题的三个关键点 （1）对称轴x＝μ； （2）样本标准差σ； （3）分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间. 题型通法及变式提升 题型1 二项分布的期望与方差 【例1】（25-26高三上·北京延庆·期末）一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． (1)若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： (2)若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 二项分布问题的解题关键 (1)定型： ①在每一次试验中，事件发生的概率相同. ②各次试验中的事件是相互独立的. ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. (2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率. 【变式1】（25-26高三上·北京昌平·期末）某学生参加研学活动，需依次前往3个打卡点，且每个打卡点遇到排队的概率均为，若遇到排队，则每次排队均需额外耗时20分钟．假设在各打卡点是否遇到排队相互独立． (1)求该生首次遇到排队发生在第3个打卡点的概率； (2)设该生在上述3个打卡点排队的额外总耗时为（单位：分钟），求的分布列及数学期望. 3．（25-26高三上·北京密云·阶段检测）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； 题型2 超几何分布的期望与方差 【例2】（2026·江苏镇江·一模）（2025·广东佛山模拟）某记忆力测试软件的规则如下：在标号为1、2、3、4的四个位置上分别放置四张相似的图片，观看15秒，收起图片并打乱，1分钟后，测试者根据记忆还原四张卡片的位置，把四张卡片分别放到四个位置上之后完成一次测试，四张卡片中与原来位置相同1张加2分，不同1张则扣1分． (1)规定：连续三次测试全部得8分为优秀，三次测试恰有两次得8分为良好，若某测试者在每次测试得8分的概率均为（），求他连续三次测试结果为良好的概率的最大值； (2)假设某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，他测试1次的得分为X，求随机变量X的分布列及数学期望． (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 【变式1】（25-26高二上·北京通州·期末）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望． 【变式2】（24-25高二下·北京·期中）一个不透明的袋子中有若干个除颜色以外完全相同的小球，白球有个，黑球有个，其余个球均为红球. (1)设，，，小杨同学每次从袋中随机取一个球记录颜色后放回袋中，如此这般共取三次，求记录中恰好有两次白色的概率； (2)设，，，小衡同学从袋中随机抽取两个球，设这两个球中黑球的个数为，求的分布列与期望； (3)设，，，小石同学从袋中随机抽取三个球，设事件为“三个球的颜色都相同”，设事件为“三个球的颜色各不相同”，请比较事件与事件发生概率的大小关系.（直接写出结果即可） 题型3 统计与离散型随机变量的期望与方差 【例3】（25-26高二下·北京西城·期中）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：，，……，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”.    (1)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率； (2)该花卉企业销售花种，且每份“A级”“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望； (3)企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是变大了、变小了还是没有变化?（结论不需要证明） 【变式1】（25-26高二下·北京朝阳·期中）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示． 假设每名队员每次射击相互独立． (1)求图中的值． (2)队员甲进行三次射击，求击中目标靶的环数不低于8环的次数的分布列及数学期望（频率当作概率使用）； (3)由图判断，在甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论不需证明） 【变式2】（25-26高二下·北京密云·期中）2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放.冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约､安全､精彩”的冬奥盛会拉开序幕. 为了解“开幕式”当晚的收看情况，对某地区居民进行简单随机抽样，获得数据如下表：（用频率估计概率） 收看方式 通过电视收看 通过手机收看 没有收看 人数（人） 200 300 100 (1)从该地区被调查对象中随机选取1人，估计此人是通过电视收看的概率； (2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和期望； (3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率为；若3人都用手机收看的概率为.试比较与的大小.（直接写出结论） 题型4 期望与方差在决策中的作用 【例4】（2026·北京丰台·二模）某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 (1)求的值； (2)现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； (3)该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 【变式1】（24-25高二下·北京顺义·期中）某公司准备对，两个项目进行竞标.已知两个项目竞标互不影响，项目资料审核通过即认为竞标成功.每个项目均有两次资料审核的机会，若第一次资料审核未通过，可通过增补资料进行第二次审核，若第一次资料审核通过，则无需进行第二次资料审核.经综合评估判断，该公司在，两个项目上首次资料审核通过的概率分别为，；若第一次没有通过，通过增补资料，第二次，两个项目资料审核通过的概率分别为，. (1)求该公司在第一次资料审核中恰有一个项目审核通过的概率； (2)两个项目中竞标成功的个数记为，求随机变量的分布列； (3)由于资金限制，该公司目前只能对两个项目中的一个进行投资，若，两个项目竞标成功，投资收益分别为220万元、300万元；若竞标失败，该公司将分别面临20万元、30万元的亏损.如果你是公司经理，那么你会选择哪个项目进行投资？请说明理由. 【变式2】（25-26高二下·北京丰台·期中）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.40 m以上（含9.40 m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.90，9.78，9.65，9.54，9.42，9.40，9.38，9.35，9.30，9.25； 乙：9.79，9.58，9.52，9.50，9.39，9.37，9.36，9.33，9.27，9.23； 丙：9.85，9.75，9.66，9.50，9.46，9.41，9.35，9.30，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京顺义·二模）在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 2．（2026·河北邯郸·一模）某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为，能通过复审专家评审的概率为，各专家评审能否通过相互独立． (1)求该项目予以立项的概率； (2)记评审通过该项目的专家人数为，求的分布列与期望． 3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立. (1)求检测3件该零件，至少有2件合格的概率； (2)已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望. 4.（25-26高三下·北京房山·期中）某食品厂为了检查流水线的生产情况，随机抽取流水线上20件产品作为样本，分别称出它们的重量（单位：克），将数据按照，，，分成5组.制成如右图所示的频率分布直方图. (1)从流水线上抽取3件产品，用频率估计概率，求恰有2件产品的重量超过505克的概率； (2)在样本中重量位于的产品中任取2件，设为重量低于495克的产品数量，求随机变量的分布列和数学期望. 5（25-26高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 6．（2026·北京昌平·二模）为了培养学生的应用能力和创新思维，提高学生的科学素养，某学校开展了人工智能课程.为了解该校学生对相关人工智能课程的兴趣程度，对学生进行了简单随机抽样，获得数据如下表： 非常感兴趣 一般感兴趣 不感兴趣 合计 小学 20人 40人 40人 100人 初中 50人 30人 20人 100人 合计 70人 70人 60人 200人 假设小学生和初中生每人对人工智能课程的兴趣程度互不影响. 用频率估计概率. (1)从该校初中生中随机抽取3名同学，估计这3名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”的概率； (2)规定：每名“非常感兴趣”的学生记5分，每名“一般感兴趣”的学生记3分，每名“不感兴趣”的学生记1分. 根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，按照学生人数比例先从样本中的小学生中抽取了10人，再从这10人中随机抽取2人．记为这2人的得分之和，求的分布列和数学期望； (3)记样本中的小学生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；样本中的初中生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；的方差为．写出的大小关系．结论不要求证明. 7．（2026·北京朝阳·二模）2026年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表： 过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏 城区 220 180 150 50 郊区 500 120 80 70 30 用频率估计概率． (1)从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率； (2)从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率； (3)该市疾控中心规定过敏程度评分如下表： 过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏 过敏程度评分 0 1 2 3 4 该市疾控中心对该市A、B两个地区同步开展调查，已知A地区与B地区青少年人数之比为3：2，地区青少年的过敏程度平均评分为，地区青少年的过敏程度平均评分为0.6．疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A地区青少年的过敏程度平均评分降低了地区青少年的过敏程度平均评分不变．记为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后（该市青少年的过敏程度平均评分），直接写出的最小正整数值．（结论不要求证明） 8．（2026·北京通州·一模）随着人工智能技术的发展，智能体已被广泛应用于处理各类任务．在实际应用中，智能体处理的任务通常会根据内容属性、处理难度、业务场景划分为不同类型．常见的任务类型主要有：基础功能类任务、逻辑推理类任务、内容生成类任务、感知识别类任务、交互协作类任务等．由于模型设计与训练方向不同，不同智能体在处理各类任务时的表现存在一定差异．某人工智能实验室为测评甲、乙两款智能体在逻辑推理类任务（类任务）、交互协作类任务（类任务）中的实际表现，对类、类各项任务开展测试，测试结果如下表： 任务类别 智能体甲 智能体乙 测试任务数量 成功完成的数量 测试任务数量 成功完成的数量 类任务 类任务 假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计智能体甲、智能体乙成功完成任务的概率； (2)现使用甲、乙两款智能体完成项类任务和项类任务，每项任务仅由其中一款智能体完成，根据两款智能体成功完成不同类型任务的概率，选择概率结果大的智能体完成其擅长的任务类型，估计这项任务中恰有项被成功完成的概率； (3)某企业拟从甲、乙两款智能体中选购一款并获得其使用权，假设该企业所承担的任务中，类任务占比，类任务占比，且两款智能体的购置及使用成本相同，试判断该企业应选购哪款智能体．（结论不要求证明） 9．（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 10．（2026·北京西城·一模）某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（）表示． 读者类型 调查人数 年人均借阅量（册） 某类读者图书借阅量分类占比情况 文学类 科技类 教辅类 社科类 其他 在职人员 600 18.5 35% 25% 10% 20% 10% 大学生 800 24.3 30% 40% 13% a b 中学生 500 15.2 25% 20% 40% c d 假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率． (1)在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由： (2)在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率； (3)为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，n为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为，写出这三个“偏好度”的大小关系．（结论不要求证明） 11．（2026·北京·模拟预测）密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收． (1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率． (2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）． (3)请比较“不购买通关币的收益期望值” 与 “购买 1 枚通关币的收益期望值” 的大小.(直接写出结论无需证明) 12．（2026·北京门头沟·一模）某公司对其销售的A、B两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人的消费者中各随机抽取12人进行评分调查（满分100分，该公司规定评分不低于80分为满意），评分结果如下： 数据Ⅰ（A型号）：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90； 数据Ⅱ（B型号）：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92． 假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率． (1)从参与A型号扫地机器人评分调查的12名消费者中随机抽取2人，求至少1人满意的概率； (2)从购买A型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，购买B型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，设X为被抽到的2人中满意的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设购买A型号和B型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买A、B两种型号扫地机器人的消费者中随机抽取1人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设其购买的是A型号的概率估计值为，其购买的是B型号的概率估计值为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 13．（2026·北京石景山·一模）为了研究需要，将高三年级男生肺活量检测值（单位：L）划分为如下6个等级： 肺活量（单位：L） 小于2.0 4.0及以上 等级 1 2 3 4 5 6 某校为研究高三年级男生1000米长跑成绩是否达标（成绩达到合格标准）与肺活量等级的关系，随机从该校抽取了100名高三年级男生作为研究对象，记录他们的长跑成绩与肺活量等级，整理得到如下统计图与统计表. 肺活量等级 频数 1 14 2 12 3 8 4 4 5 2 6 0 合计 40 长跑成绩未达标组 (1)从100名研究对象中随机选取1人，求此人肺活量等级为3的概率； (2)用频率估计概率，假设每名高三年级男生的肺活量等级相互独立，长跑成绩也相互独立.从该校全体高三年级男生中肺活量等级为4的学生中随机选取2人，肺活量等级为2的学生中随机选取1人，设这3人中长跑成绩达标的人数为，估计的数学期望EX； (3)研究人员提出可以按照下述方式判断高三年级男生长跑成绩是否达标：选取常数，若一名高三年级男生的肺活量等级大于，则判断其长跑成绩达标；若肺活量等级小于，则判断其长跑成绩未达标.从100名研究对象中随机选取1人，按照上述方式判断其长跑成绩是否达标.写出使得判断错误的概率最小的的值（只需写出结论）. 创新提升 14.（2026·山东临沂一模）在“飞彩镌流年”文艺汇演中，诸位参赛者一展风采，奉上了一场舞与乐的盛宴．现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾，统计他们的年龄数据，得样本平均数． (1)若所有参赛者年龄X服从正态分布，请估计参赛者年龄在30岁以上的人数； (2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级，每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有的概率评为A类，的概率评为B类，每位参赛者作品的评级结果相互独立．记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A类作品的概率为，求的极大值点； 15.（2026·福建泉州·三模）在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气． (1)为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下： 喜爱排球运动 不喜爱排球运动 合计 男性 60 40 100 女性 45 55 100 合计 105 95 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？ (2)某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为． （ⅰ）计算，，并求的通项公式； （ⅱ）记第n次传球之后球在乙手上的概率为，求的通项公式． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.（2026·浙江绍兴一模）如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为p，移动2个单位的概率均为． (1)记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点； (2)若，记质点从原点0运动到n的位置的概率为． （i）求； （ii）证明：是等比数列，并求． 17.（2026·福建厦门一模）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训10 离散型随机变量的期望与方差 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 二项分布的期望与方差 2 题型2 超几何分布的期望与方差 5 题型2 统计与离散型随机变量的期望与方差 7 题型3 期望与方差在决策中的作用 11 重难专题分层过关练 14 巩固过关 14 创新提升 31 解题方法及技巧提炼 1.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0(i＝1，2，…，n)； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 2.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 3.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 4.常用结论 （1）若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量. （2）E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；D(X)＝E(X2)－(E(X))2. 5.求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ). 6.二项分布问题的解题关键 ①定型：a.在每一次试验中，事件发生的概率相同；b.各次试验中的事件是相互独立的；c.在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. ②定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率. 7.超几何分布的含义 ①超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：a.考察对象分两类；b.已知各类对象的个数；c.从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. ②超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 8.解决正态分布问题的三个关键点 （1）对称轴x＝μ； （2）样本标准差σ； （3）分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间. 题型通法及变式提升 题型1 二项分布的期望与方差 【例1】（25-26高三上·北京延庆·期末）一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个． (1)若一共摸3次球，设摸到红球的次数为，求随机变量的分布列和数学期望： (2)若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率． 【解】（1）随机变量的可能取值为，则，， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （2）有3次摸到红球则停止摸球，恰好摸5次停止的事件是前4次摸到红球2次，第5次摸到红球， 所以恰好摸5次停止的概率为. 二项分布问题的解题关键 (1)定型： ①在每一次试验中，事件发生的概率相同. ②各次试验中的事件是相互独立的. ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. (2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率. 【变式1】（25-26高三上·北京昌平·期末）某学生参加研学活动，需依次前往3个打卡点，且每个打卡点遇到排队的概率均为，若遇到排队，则每次排队均需额外耗时20分钟．假设在各打卡点是否遇到排队相互独立． (1)求该生首次遇到排队发生在第3个打卡点的概率； (2)设该生在上述3个打卡点排队的额外总耗时为（单位：分钟），求的分布列及数学期望. 【解】（1）设这名学生首次遇到排队发生在第3个打卡点的事件为， 因为事件等于事件“这名学生在第一和第二个打卡点没有遇到排队，在第三个打卡点遇到排队”， 所以. （2）的所有可能取值为0，20，40， 60,(单位:分)， ，, ，， 故的分布列为： 所以. 3．（25-26高三上·北京密云·阶段检测）甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； 【解】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况， 根据独立事件概率乘法公式，可得； （2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为， 甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望； 题型2 超几何分布的期望与方差 【例2】（2026·江苏镇江·一模）（2025·广东佛山模拟）某记忆力测试软件的规则如下：在标号为1、2、3、4的四个位置上分别放置四张相似的图片，观看15秒，收起图片并打乱，1分钟后，测试者根据记忆还原四张卡片的位置，把四张卡片分别放到四个位置上之后完成一次测试，四张卡片中与原来位置相同1张加2分，不同1张则扣1分． (1)规定：连续三次测试全部得8分为优秀，三次测试恰有两次得8分为良好，若某测试者在每次测试得8分的概率均为（），求他连续三次测试结果为良好的概率的最大值； (2)假设某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，他测试1次的得分为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 【解】（1）设连续三次测试结果为良好的概率为， 依题意得，， ，令得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当 时，取最大值为 （2）某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上， 卡片与原来位置相同的张数可能为4张、2张、1张 0张， 对应的的所有可能取值为8，2，，． 则，， ，， (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 【变式1】（25-26高二上·北京通州·期末）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问． (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望． 【解】（1）名同学中，会法语的人数为人， 从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法； 所以选派的人中恰有人会法语的概率． （2）由题意可知，所有可能的取值为， ，， ，， 所以的分布列为 数学期望为． 【变式2】（24-25高二下·北京·期中）一个不透明的袋子中有若干个除颜色以外完全相同的小球，白球有个，黑球有个，其余个球均为红球. (1)设，，，小杨同学每次从袋中随机取一个球记录颜色后放回袋中，如此这般共取三次，求记录中恰好有两次白色的概率； (2)设，，，小衡同学从袋中随机抽取两个球，设这两个球中黑球的个数为，求的分布列与期望； (3)设，，，小石同学从袋中随机抽取三个球，设事件为“三个球的颜色都相同”，设事件为“三个球的颜色各不相同”，请比较事件与事件发生概率的大小关系.（直接写出结果即可） 【解】（1）由题设，白球有6个，黑球有4个，每次取到白球的概率为， 所以取到白球的次数， 故恰好有两次白色的概率. （2）同（1）前提，随机抽取两个球，黑球的个数为可能为， 所以，，， 故分布列如下： 0 1 2 所以期望. （3）由题设，取到三个相同颜色球的概率， 取到三个球颜色各不相同的概率， 所以. 题型3 统计与离散型随机变量的期望与方差 【例3】（25-26高二下·北京西城·期中）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：，，……，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”.    (1)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率； (2)该花卉企业销售花种，且每份“A级”“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望； (3)企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是变大了、变小了还是没有变化?（结论不需要证明） 【解】（1）设事件为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“级”种子”， 由图表，得，解得， 由图表，知不是“级”种子的频率为， 故可估计. （2）由题意，任取一颗种子，恰好是“级”康乃馨的概率为， 恰好是“级”康乃馨的概率为， 恰好是“级”的概率为， 而随机变量的可能取值有、、、、， 则，， ，， . 所以的分布列为： 故的数学期望． （3）设原来康乃馨种子有种，其发芽率分别为， 平均数为， 方差为， 发芽率提高到原来的1.1倍后，发芽率分别为， 此时平均数为， 则方差为 ， 因此，技术改进后发芽率数据的方差是变大了. 【变式1】（25-26高二下·北京朝阳·期中）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示． 假设每名队员每次射击相互独立． (1)求图中的值． (2)队员甲进行三次射击，求击中目标靶的环数不低于8环的次数的分布列及数学期望（频率当作概率使用）； (3)由图判断，在甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论不需证明） 【解】（1）由频率分布性质，甲队员各击中环数对应的频率总和为， 可得 ， 因此， . （2）甲单次射击击中环数不低于环的概率， 结合射击相互独立的条件， 三次射击中击中环数不低于环的次数服从二项分布， 的可取值为. ， ， ， . 则的分布列为： . （3）甲队员的射击成绩更稳定．理由如下：由图可知， 甲队员的射击成绩主要集中在8环和9环，分布比较集中； 而乙队员的射击成绩分布较为分散（从5环到10环均有分布）， 故甲队员的方差较小，成绩更稳定． 【变式2】（25-26高二下·北京密云·期中）2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放.冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约､安全､精彩”的冬奥盛会拉开序幕. 为了解“开幕式”当晚的收看情况，对某地区居民进行简单随机抽样，获得数据如下表：（用频率估计概率） 收看方式 通过电视收看 通过手机收看 没有收看 人数（人） 200 300 100 (1)从该地区被调查对象中随机选取1人，估计此人是通过电视收看的概率； (2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和期望； (3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率为；若3人都用手机收看的概率为.试比较与的大小.（直接写出结论） 【解】（1）由频率估计概率，总人数为(人)， 通过电视收看的人数为200(人)，； （2）由题意，～，可能的值为，服从超几何分布： ； ； ； ； 分布列如下： ； （3）由题意知，指随机抽取的人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率. 从人中任选人有种，其中人用手机收看的概率为， 再从剩下的两人中任选人，有种，用电视收看的概率为，还有人没有收看的概率为， 由分步计数原理得：； 同理得， 所以. 题型4 期望与方差在决策中的作用 【例4】（2026·北京丰台·二模）某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 (1)求的值； (2)现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； (3)该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 【解】（1）因为在内频数为60，频率为，则， 且在内频数为30，则， 则在内频数为，频率. （2）因为综合得分为和的人数比为， 则在综合得分为内抽取人数为，在综合得分为内抽取人数为， 可知随机变量的可能值为0，1，2，则有： ，，， 所以的分布列为 0 1 2 的期望为. （3）方案一：该公司员工的人均综合得分； 方案二：该公司员工的人均综合得分； 因为，所以应选择方案二. 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 【变式1】（24-25高二下·北京顺义·期中）某公司准备对，两个项目进行竞标.已知两个项目竞标互不影响，项目资料审核通过即认为竞标成功.每个项目均有两次资料审核的机会，若第一次资料审核未通过，可通过增补资料进行第二次审核，若第一次资料审核通过，则无需进行第二次资料审核.经综合评估判断，该公司在，两个项目上首次资料审核通过的概率分别为，；若第一次没有通过，通过增补资料，第二次，两个项目资料审核通过的概率分别为，. (1)求该公司在第一次资料审核中恰有一个项目审核通过的概率； (2)两个项目中竞标成功的个数记为，求随机变量的分布列； (3)由于资金限制，该公司目前只能对两个项目中的一个进行投资，若，两个项目竞标成功，投资收益分别为220万元、300万元；若竞标失败，该公司将分别面临20万元、30万元的亏损.如果你是公司经理，那么你会选择哪个项目进行投资？请说明理由. 【解】（1）设，项目第一次资料审核通过为事件，.恰有一个项目通过为事件， 则，，. 所以； （2）的可能取值有0，1，2. 项目失败的概率为，项目成功的概率为， 项目失败的概率为，项目成功的概率为， 则， ， . 所以的分布列为 0 1 2 （3）记为项目的收益，则的可能取值有220，. ，， 所以（万元） 记为项目的收益，则的可能取值有300，. ，， 所以（万元） 因为，所以项目期望收益更大，应该选择项目进行投资. 【变式2】（25-26高二下·北京丰台·期中）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.40 m以上（含9.40 m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.90，9.78，9.65，9.54，9.42，9.40，9.38，9.35，9.30，9.25； 乙：9.79，9.58，9.52，9.50，9.39，9.37，9.36，9.33，9.27，9.23； 丙：9.85，9.75，9.66，9.50，9.46，9.41，9.35，9.30，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【解】（1）甲以往的10次成绩中有6次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为； 由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为； （3）由于铅球比赛成绩最远者胜，且甲、丙取得优秀奖的概率相同，均大于乙，但甲的最好成绩高于丙，故甲获得冠军的概率最大. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京顺义·二模）在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 【解】（1）因为第部播放的短片共有种情况，且每部短片随机展播一次， 所以播放的短片是文明出行宣传短片的概率为. （2）最后一部反诈宣传短片可能在第部或第部播放完成， 所以可取值为. 则；. 可得的分布列为： 所以. （3）文明出行宣传短片可能在第部、第部、第部播放完成， 所以可取值为. 则；；. 所以， 则. 而，所以. 2．（2026·河北邯郸·一模）某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由第三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率均为，能通过复审专家评审的概率为，各专家评审能否通过相互独立． (1)求该项目予以立项的概率； (2)记评审通过该项目的专家人数为，求的分布列与期望． 【解】（1）该项目予以立项的事件是两位初审专家都评审通过该项目的事件与 两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的事件和， 两位初审专家都评审通过该项目的概率， 两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的概率， 所以该项目予以立项的概率． （2）依题意，的取值可能为， 且，，由（1）知， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望. 3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）某厂质检员对该厂生产的零件进行质检.若第一次检测到某件零件不合格，则判断该零件不合格；若第一次检测到某件零件合格，则进行第二次检测，若第二次检测该零件也合格，则判断该零件合格，否则为不合格.若零件合格，则获利10元；若零件不合格，则亏损20元.已知每件该零件第一次检测合格的概率为，第二次检测合格的概率为，且每件零件是否合格相互独立. (1)求检测3件该零件，至少有2件合格的概率； (2)已知一箱中有4件该零件，记这箱零件总获利元，求的分布列与期望. 【解】（1）由题意可得随机检测1件该零件合格的概率是， 则检测3件该零件，至少有2件合格的概率是. （2）由题意可知X的所有可能取值为，，，10，40. ， ， ， ， ， 则X的分布列为 故. 4.（25-26高三下·北京房山·期中）某食品厂为了检查流水线的生产情况，随机抽取流水线上20件产品作为样本，分别称出它们的重量（单位：克），将数据按照，，，分成5组.制成如右图所示的频率分布直方图. (1)从流水线上抽取3件产品，用频率估计概率，求恰有2件产品的重量超过505克的概率； (2)在样本中重量位于的产品中任取2件，设为重量低于495克的产品数量，求随机变量的分布列和数学期望. 【解】（1）样本中，重量超过505克的频率为， 于是可估计任取一件产品，其重量超过505克的概率为. 设恰有2件产品重量超过505克为事件，. （2）样本中重量位于的产品共有件， 其中重量低于495克的有3件. 所以的可能取值有0，1，2. ，， 的分布列为 0 1 2 的期望为. 5（25-26高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3， ， 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 2 P 则； 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知， 所以， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以． （2）由(1)知， ， ， ， 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 6．（2026·北京昌平·二模）为了培养学生的应用能力和创新思维，提高学生的科学素养，某学校开展了人工智能课程.为了解该校学生对相关人工智能课程的兴趣程度，对学生进行了简单随机抽样，获得数据如下表： 非常感兴趣 一般感兴趣 不感兴趣 合计 小学 20人 40人 40人 100人 初中 50人 30人 20人 100人 合计 70人 70人 60人 200人 假设小学生和初中生每人对人工智能课程的兴趣程度互不影响. 用频率估计概率. (1)从该校初中生中随机抽取3名同学，估计这3名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”的概率； (2)规定：每名“非常感兴趣”的学生记5分，每名“一般感兴趣”的学生记3分，每名“不感兴趣”的学生记1分. 根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，按照学生人数比例先从样本中的小学生中抽取了10人，再从这10人中随机抽取2人．记为这2人的得分之和，求的分布列和数学期望； (3)记样本中的小学生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；样本中的初中生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；的方差为．写出的大小关系．结论不要求证明. 【解】（1）根据题中数据可知，100名初中生中有50名学生“非常感兴趣”， 所以从该校初中生中随机抽取名同学对课程“非常感兴趣”的概率估计为. 设这名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”为事件，则事件的概率可估计为. （2）根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，从样本中的小学生中抽取了人，则“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的人数分别为.                          所以的可能取值为. 则；          ； ；  ； . 所以随机变量的分布列为 故期望. （3）. ∵ 样本中的小学生“非常感兴趣”“一般感兴趣”“不感兴趣”的频率分别为，，， 三组数据的平均值均为， ∴ ， ∵ 样本中的初中生“非常感兴趣”“一般感兴趣”“不感兴趣”的频率分别为，，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ . 7．（2026·北京朝阳·二模）2026年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表： 过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏 城区 220 180 150 50 郊区 500 120 80 70 30 用频率估计概率． (1)从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率； (2)从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率； (3)该市疾控中心规定过敏程度评分如下表： 过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏 过敏程度评分 0 1 2 3 4 该市疾控中心对该市A、B两个地区同步开展调查，已知A地区与B地区青少年人数之比为3：2，地区青少年的过敏程度平均评分为，地区青少年的过敏程度平均评分为0.6．疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A地区青少年的过敏程度平均评分降低了地区青少年的过敏程度平均评分不变．记为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后（该市青少年的过敏程度平均评分），直接写出的最小正整数值．（结论不要求证明） 【解】（1）由题意得， 解得， 从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率为； （2）频率估计概率， 该市城区青少年春季花粉“无过敏”的概率为， 该市郊区青少年春季花粉“无过敏”的概率为， 各随机抽取2人， 抽到的城区青少年中恰有1人“无过敏”且郊区青少年两人均不是“无过敏”的概率为 ， 抽到的郊区青少年中恰有1人“无过敏”且城区青少年两人均不是“无过敏”的概率为 ， 估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率为； （3）的最小正整数值为6，理由如下： 由题意得， 解得， 的最小正整数值为6. 8．（2026·北京通州·一模）随着人工智能技术的发展，智能体已被广泛应用于处理各类任务．在实际应用中，智能体处理的任务通常会根据内容属性、处理难度、业务场景划分为不同类型．常见的任务类型主要有：基础功能类任务、逻辑推理类任务、内容生成类任务、感知识别类任务、交互协作类任务等．由于模型设计与训练方向不同，不同智能体在处理各类任务时的表现存在一定差异．某人工智能实验室为测评甲、乙两款智能体在逻辑推理类任务（类任务）、交互协作类任务（类任务）中的实际表现，对类、类各项任务开展测试，测试结果如下表： 任务类别 智能体甲 智能体乙 测试任务数量 成功完成的数量 测试任务数量 成功完成的数量 类任务 类任务 假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计智能体甲、智能体乙成功完成任务的概率； (2)现使用甲、乙两款智能体完成项类任务和项类任务，每项任务仅由其中一款智能体完成，根据两款智能体成功完成不同类型任务的概率，选择概率结果大的智能体完成其擅长的任务类型，估计这项任务中恰有项被成功完成的概率； (3)某企业拟从甲、乙两款智能体中选购一款并获得其使用权，假设该企业所承担的任务中，类任务占比，类任务占比，且两款智能体的购置及使用成本相同，试判断该企业应选购哪款智能体．（结论不要求证明） 【解】（1）智能体甲总测试任务数为 ，成功完成总数为 ， 因此甲成功完成任务的频率为： . 因为用频率估计概率，所以甲成功完成任务的概率估计为 智能体乙总测试任务数为 ，成功完成总数为 ， 因此乙成功完成任务的频率为： . 因为用频率估计概率，所以乙成功完成任务的概率估计为. 所以智能体甲成功完成任务的概率为、智能体乙成功完成任务的概率. （2）先计算两款智能体完成不同类型任务的成功率： 甲完成类：​，甲完成类：； 乙完成类：，乙完成类：. 比较概率大小得：，由比较可知类任务乙更擅长，类任务甲更擅长. 因此分配为：类由乙完成，2项类由甲完成。 设“3项任务恰有2项成功”为事件，分两种互斥情况： ①类任务成功，仅1个类任务成功： ， ②类任务失败，2类任务成功：， 因此： . 所以估计这项任务中恰有项被成功完成的概率为. （3）因为类任务占比，类任务占比， 甲完成类的概率​，甲完成类的概率， 所以甲完成任务的期望为； 同理乙完成类任务的概率，乙完成类的概率， 所以乙完成任务的期望为. 所以，故该企业应选购智能体甲. 9．（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 10．（2026·北京西城·一模）某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（）表示． 读者类型 调查人数 年人均借阅量（册） 某类读者图书借阅量分类占比情况 文学类 科技类 教辅类 社科类 其他 在职人员 600 18.5 35% 25% 10% 20% 10% 大学生 800 24.3 30% 40% 13% a b 中学生 500 15.2 25% 20% 40% c d 假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率． (1)在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由： (2)在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率； (3)为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，n为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为，写出这三个“偏好度”的大小关系．（结论不要求证明） 【解】（1）在职人员借阅文学类图书总量： （册）， 中学生借阅教辅类图书总量： （册）， 因为，所以这一年里在职人员借阅的文学类图书量更大； （2）用频率估计概率：大学生借阅科技类的概率为，中学生借阅科技类的概率为， 三人借阅相互独立，“至少2册科技”包含三种情况： ① 2名大学生均借科技，中学生不借科技：， ② 仅1名大学生借科技，中学生借科技：， ③ 3人均借科技：， 总概率：. （3）在职人员的5个占比分别为：，即， ， ，故； 大学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 由题设得，因此，， 即都小于均值，因此，， ， ， 因此：； 中学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 同理，由得，， 因此，， ， ， 因此：. 综上： 11．（2026·北京·模拟预测）密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收． (1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率． (2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）． (3)请比较“不购买通关币的收益期望值” 与 “购买 1 枚通关币的收益期望值” 的大小.(直接写出结论无需证明) 【解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种： ①在第一关使用；②在第二关使用；③在第三关使用；④没有使用. 而通过三关的概率依次为：， 则李华通过该游戏的概率． （2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元， 则收益可能为：（未使用通关币过关）， （使用1枚通关币且过关）， （使用2枚通关币且过关）， （使用2枚通关币且未过关）， 则 则. 所以他最终获得的收益期望值是元. （3）由题意得若不购买通关币，则李华通关的概率为， 此时期望收益， ， 故. 12．（2026·北京门头沟·一模）某公司对其销售的A、B两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人的消费者中各随机抽取12人进行评分调查（满分100分，该公司规定评分不低于80分为满意），评分结果如下： 数据Ⅰ（A型号）：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90； 数据Ⅱ（B型号）：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92． 假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率． (1)从参与A型号扫地机器人评分调查的12名消费者中随机抽取2人，求至少1人满意的概率； (2)从购买A型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，购买B型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，设X为被抽到的2人中满意的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设购买A型号和B型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买A、B两种型号扫地机器人的消费者中随机抽取1人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设其购买的是A型号的概率估计值为，其购买的是B型号的概率估计值为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【解】（1）在数据I（型号）中，评分不低于80分的有81，85，83，86，85，92，86，90，共8人； 评分低于80分的有75，74，77，70，共4人， 从12名消费者中随机抽取2人，两人都不满意的概率为， 因为“至少1人满意”与“两人都不满意”是对立事件， 所以至少1人满意的概率； （2）由（1）可知，购买型号扫地机器人的消费者满意的概率， 则不满意的概率为， 在数据II（型号）中，评分不低于80分的有81，87，86，85，84，92，共6人， 所以购买型号扫地机器人的消费者满意的概率，则不满意的概率为， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 ； （3）由题可知抽取样本中，A型号不满意的有4人， B型号不满意的有6人， 则的估计值为，的估计值为， 故． 13．（2026·北京石景山·一模）为了研究需要，将高三年级男生肺活量检测值（单位：L）划分为如下6个等级： 肺活量（单位：L） 小于2.0 4.0及以上 等级 1 2 3 4 5 6 某校为研究高三年级男生1000米长跑成绩是否达标（成绩达到合格标准）与肺活量等级的关系，随机从该校抽取了100名高三年级男生作为研究对象，记录他们的长跑成绩与肺活量等级，整理得到如下统计图与统计表. 肺活量等级 频数 1 14 2 12 3 8 4 4 5 2 6 0 合计 40 长跑成绩未达标组 (1)从100名研究对象中随机选取1人，求此人肺活量等级为3的概率； (2)用频率估计概率，假设每名高三年级男生的肺活量等级相互独立，长跑成绩也相互独立.从该校全体高三年级男生中肺活量等级为4的学生中随机选取2人，肺活量等级为2的学生中随机选取1人，设这3人中长跑成绩达标的人数为，估计的数学期望EX； (3)研究人员提出可以按照下述方式判断高三年级男生长跑成绩是否达标：选取常数，若一名高三年级男生的肺活量等级大于，则判断其长跑成绩达标；若肺活量等级小于，则判断其长跑成绩未达标.从100名研究对象中随机选取1人，按照上述方式判断其长跑成绩是否达标.写出使得判断错误的概率最小的的值（只需写出结论）. 【解】（1）由已知未达标组中，肺活量等级为的人数是，成绩未达标组共人； 故成绩达标组有人， 达标组中，肺活量等级为的频率为， 因此成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以人中，肺活量等级为的总人数为， 因此从名研究对象中随机选取人，求此人肺活量等级为的概率； （2）由已知未达标组中，肺活量等级为的人数为， 成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以肺活量等级为的学生的总人数为， 由已知未达标组中，肺活量等级为的人数为， 成绩达标组中，肺活量等级为的人数为； 所以肺活量等级为的学生的总人数为， 设事件为“从该校全体高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取人，长跑成绩达标” 事件为“从该校全体高三年级男生中肺活量等级为的学生中随机选取人，长跑成绩达标” 所以可估计，， 根据题意随机变量的可能取值有，且 ， ， ， ， 所以可估计 （3）取，即若学生的肺活量等级为时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或或时判定其长跑未达标，肺活量等级为的任意一个值时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为或或或时判定其长跑未达标，肺活量等级为或时 判定其长跑达标，则判断错误的总人数为， 取，即若学生的肺活量等级为时判定其长跑达标，否则判定其长跑未达标，则判断错误的总人数为， 取时，则会判断所有学生未达标，判断错误的总人数为， 因此取时判断错误的概率最小， 故. 创新提升 14.（2026·山东临沂一模）在“飞彩镌流年”文艺汇演中，诸位参赛者一展风采，奉上了一场舞与乐的盛宴．现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾，统计他们的年龄数据，得样本平均数． (1)若所有参赛者年龄X服从正态分布，请估计参赛者年龄在30岁以上的人数； (2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级，每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有的概率评为A类，的概率评为B类，每位参赛者作品的评级结果相互独立．记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A类作品的概率为，求的极大值点； 附：若，则． 【解】（1）因为， 则. 所以参赛者年龄在30岁以上的人数约为（人）. （2）记，设， 其中为的极大值点. 依题意可得， 则， 令，因为，故， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点 15.（2026·福建泉州·三模）在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气． (1)为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下： 喜爱排球运动 不喜爱排球运动 合计 男性 60 40 100 女性 45 55 100 合计 105 95 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？ (2)某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为． （ⅰ）计算，，并求的通项公式； （ⅱ）记第n次传球之后球在乙手上的概率为，求的通项公式． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解】（1）假设：喜爱排球运动与性别独立，即喜爱排球运动与性别无关． 根据列联表数据，经计算得 ， 依据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立， 可以认为喜爱排球运动与性别独立，即喜爱排球运动与性别无关. （2）（ⅰ）由题意，， 且时， 所以 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即 （ⅱ）由题意，， 且时， 所以 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 则， 即 16.（2026·浙江绍兴一模）如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为p，移动2个单位的概率均为． (1)记质点移动5次后位于8的位置的概率为，求的最大值及最大值点； (2)若，记质点从原点0运动到n的位置的概率为． （i）求； （ii）证明：是等比数列，并求． 【解】（1）由已知可得，5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位， ， ， 令得，令得， 在上单调递增，在上单调递减， ，此时． （2）（i）， 则． （ii）证明：由题意，， ， 是首项为，公比为的等比数列， 故， ． 17.（2026·福建厦门一模）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 【解】（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P （2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 ， 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $