第九章 课时作业1 两个计数原理与排列组合-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 系统整合计数原理与排列组合知识，通过分层题型构建"原理-方法-应用"逻辑链，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|3题|分步乘法/分类加法原理|从简单计数到排列组合概念生成| |受限排列|2题|"特殊位置优先"策略|原理到有限制条件的应用拓展| |分组分配|3题|均匀/非均匀分组模型|组合数公式到实际分配问题| |综合应用|4题|正难则反/递推法|多知识点交叉的问题解决逻辑|

课时1 两个计数原理与排列组合 一、单选题 1．不等式的解集为 ( ) A．{2，8} B．{2，6} C．{7，12} D．{8} 2．(2026·湖北黄冈市模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展，太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有(　 　) A．18种 B．36种 C．72种 D．108种 3．(2026·四川成都市七中月考)四名获奖学生可以从钢笔、文具盒、水杯和笔记本四种奖品中，挑选一份送给自己，每人限选一份，则不同的选择方法共有(　　) A．4种 B．6种 C．16种 D．256种 4．(2026·山东滨州市9月联考）祖冲之是我国古代的数学家，他是世界上第一个将“圆周率”精算到小数点后第七位，即3.1415926和3.1415927之间的人，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献．某教师为了帮助同学们了解，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3的位置不变，那么可以得到大于3.15的不同数的个数为(　 　) A．328 B．360 C．2160 D．2260 5．（2026·福建福州市期末）三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练，由丙开始传，经过次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（    ） A．4种 B．10种 C．12种 D．22种 6、“碳中和”是指企业、团体或个人测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去1个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为(　　) A．90 B．120 C．150 D．300 二、多选题 7．关于排列组合数，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 8、（2026·辽宁葫芦岛第一高级中学期末）小明、小华、小红、小兰四位同学分别到镇江的南山、焦山、北固山参观旅游，要求每名同学只去一个地方，每个地方至少安排一名同学参观，则下列说法正确的有( ) A．若安排两位同学去焦山，则有12种安排方法 B．若安排小红和小兰去同一个地方参观，则有6种安排方法 C．若小华不去南山参观，则有24种安排方法 D．共有18种安排方法 9、(2026·山东烟台市诊断性测试)国家教育部发布了《中国高考报告》，高考对各科都有重大的调整.为让高二的学生对各科的调整有所了解，某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的5位该学科的骨干教师进行“中国高考报告2024”的相应学科讲座，每天一科，连续5天．则下列结论正确的有(　 　) A．从5位教师中选两位的不同选法共有20种 B．数学不排在第一天的不同排法共有96种 C．数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有12种 D．物理要排在化学的前面(可以不相邻)的排法共有120种 三、填空题 10．计算的值为_______． 11．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 12、（2026·广东广州市一模）将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有_______种． 四、解答题 13、(2026·河南开封市高三模拟)某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表： 乘坐站数 0＜x≤3 3＜x≤6 6＜x≤9 票价/元 2 3 4 现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的． (1)若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？ (2)若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的概率． 14．现有编有1,2,3,4的四个不同的盒子，有编有1,2,3,4的四个不同的小球，现把小球放入盒子里. （1）小球全部放入盒子中，有多少种不同的放法？ （2）恰有一个盒子没放球，有多少种不同的放法？ （3）恰有两个盒子没放球，有多少种不同的放法？ 课时1 两个计数原理与排列组合参考答案 1．D 【解析】 <6×，整理得x－19x＋84＜0，解得7＜x＜12．又x≤8，x－2≥0，所以7＜x≤8，x∈*，即x＝8．故选D． 2．B【解析】先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2，3，4道程序选两个放A，B，共有A种放法；再排剩余的3道程序，共有A种放法.则共有A·A＝36(种)放法.故选B. 3．D【解析】因为奖品一共有钢笔、文具盒、水杯、笔记本四种且每种奖品数量无限制，所以四名获奖学生，每个人都可以从四种奖品中任选一种，所以共有4×4×4×4＝44＝256(种).故选D. 4．C【解析】由于数字，，，，，，中有两个相同的数字，则进行随机排列可以得到的不同个数为，而只有小数点前两位为，或14时，排列后得到的数字不大于，故不大于的不同个数为，所以得到的数字大于的不同个数为.故选C. 5．B【解析】根据题意，设在第次传球后（），有种情况球在丙手中，即经过次传递后，球又被传回给丙，而前次传球中，每次传球都有种方法，则前次传球的不同的传球方法共有种，那么在第次传球后，球不在丙手中的情况有（）种情况，即球在乙或甲手中，只有在这些情况时，在第（）次传球后，球才会被传回丙，即；易得，则，，.故选B． 6、C【解析】将5名专家分为3组，有3，1，1和1，2，2两种分法， 第一类，有1个地方去3名专家，剩下的2个地方各去1名专家，共有·A＝ ×3×2×1＝60(种)方法； 第二类，有1个地方去1名专家，另2个地方各去2名专家，共有·A＝×3×2×1＝90(种)方法，所以分派方法的种数为60＋90＝150.故选C. 7．ABD【解析】根据组合数的性质，可知A，B选项正确； 对于选项C，，而，故C选项错误； 对于选项D，，故D选项正确.故选ABD. 8、 ABC【解析】对于选项A，安排两位同学去焦山，则有C×A＝6×2＝12(种)安排方法，故A正确． 对于选项B，安排小红和小兰去同一个地方参观，则有A＝6(种)安排方法，故B正确． 对于选项C，小华不去南山参观，若小华是1个人，则有C×C×A＝2×3×2＝12(种)安排方法；若小华和另一人一起，则有C×C×A＝12(种)安排方法，所以共有24种安排方法，故C正确． 对于选项D，每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则有CA＝6×6＝36(种)安排方法，故D错误．故选ABC. 9、BC【解析】对于选项A，从5位教师中选两位的不同选法共有C＝10(种)，故A错误； 对于选项B，数学不排在第一天，则数学有4种排法，其他4门学科全排即可，所以不同的排法种数为4A＝96，故B正确； 对于选项C，数学、英语、语文排在都不相邻的三天，则这三门学科分别排在第一、三、五天，所以，不同的排法种数为AA＝12，故C正确； 对于选项D，物理要排在化学的前面(可以不相邻)的排法种数为＝＝60，故D错误．故选BC. 10．11【解析】 由C+C有意义可得0≤m＋2≤10且0≤17－m≤10，解得m＝7或m＝8．当m＝7时，C＋C＝C＋C＝10＋1＝11．当m＝8时，C＋C＝C＋C＝1＋10＝11． 11．64【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有（种）.当从8门课中选修3门.①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有（种）；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有（种）.综上所述，不同的选课方案共有（种）. 12、12【解析】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图，排在位置，有种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法，最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法，所以填写方格表的方法共有（种）. 13、【解】(1)小华、小李两人共付费5元，所以小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费3元的乘坐站数有4，5，6三种选择，所以小华、小李下地铁的方案共有2×3×3＝18(种)． (2)小华、小李两人共付费6元，所以小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元，付费4元的乘坐站数有7，8，9三种选择，因此小华、小李下地铁的方案共有2×3×3＋3×3＝27(种)，其中小华比小李先下地铁的方案共有3×3＋3＝12(种)．因此小华比小李先下地铁的概率为＝. 14．【解】（1）小球全部放入盒子中有种不同的放法. （2）恰有一个盒子没球有种不同的放法. （3）恰有两个盒子没放球有种不同的放法. . 学科网（北京）股份有限公司 $