第九章 课时作业6 超几何分布与二项分布-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦超几何分布与二项分布的概念辨析、概率计算及实际应用，通过分层题型构建“识别-计算-建模”的完整方法体系，强化数据观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-6、多选7-9|两点分布→二项分布→超几何分布的递进识别；有放回（二项）与无放回（超几何）的判断技巧|从离散型随机变量概念出发，通过试验条件差异构建两种分布的本质区别| |计算应用|填空10-12、解答13-14|期望E(X)=np（二项）与E(X)=nM/N（超几何）的公式应用；分布列规范构建|结合实际情境（产品抽样、比赛、学习群），体现从数学模型到现实问题的解决路径|

课时6 超几何分布与二项分布 一、单选题 1．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 2．某电视节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格．若某参赛选手每场比赛获胜的概率均是，则这名选手能参加决赛的概率是(　 　) A． B． C． D． 3、(2025·山东临沂市期初摸底)一个不透明的袋子中装有3个黑球、n个白球(n∈N*)，这些球除颜色外大小、质地完全相同．从中任意取出3个球，已知取出2个黑球、1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则E(X)＝(　 　) A． B． C．1 D．2 4.袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．现从该袋中任意摸出3个球，则白球的个数的期望为 （ ） A． B． C． D． 5．元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（    ） A． B． C． D． 6．A，B两组各3人独立的破译某密码，A组每个人译出该密码的概率均为p1，B组每个人译出该密码的概率均为p2，记A，B两组中译出密码的人数分别为X，Y，且＜p1＜p2＜1，则(　 　) A．E(X)＞E(Y)，D(X)＞D(Y) B．E(X)＞E(Y)，D(X)＜D(Y) C．E(X)＜E(Y)，D(X)＞D(Y) D．E(X)＜E(Y)，D(X)＜D(Y) 二、多选题 7、已知随机变量X～B(4，p)，E(X)＝2，则有(　 　) A．p＝　　　 B．P＝ C．D(X)＝2 D．E(4X＋3)＝11 8、某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则下列结论正确的有(　 　) A．答对0题和答对3题的概率相同，都为 B．答对1题的概率为 C．答对2题的概率为 D．合格的概率为 9．某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品.设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为 Y，则下列判断正确的有 （ ） A.随机变量X服从二项分布 B.随机变量Y服从超几何分布 C. D. 三、填空题 10、已知随机变量X～B(6，p)，且E(X)＝3，则P(X＝1)＝__ __． 11．(2026·河南开封市模拟)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，则E(ξ)＝__ __． 12、（2025·天津高考）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4．小桐一周跑11圈的概率为 　 　 ；若一周至少跑11圈为运动达标，则连续跑4周，记合格周数为，则期望 　 　 ． 四、解答题 13．（2026·四川大学附中模拟）某学习APP的注册用户分散在A，B，C三个不同的学习群里，分别有24000人，24000人，36000人，该APP设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A，B，C三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏． (1)每局“七人赛”游戏中，应从A，B，C三个学习群分别匹配多少人？ (2)现需要从匹配的7名学员中随机抽取3人进入互动环节，并用X表示进入互动环节的C群人数，求X的分布列与数学期望． 14．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品． (1) 若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回．设取到一等品的件数为η，求η的分布列及均值． (2) 若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回．设取到一等品的件数为X，求： ①X的分布列及均值； ②取到的3件产品中一等品件数大于二等品件数的概率． 课时6 超几何分布与二项分布参考答案 1．A【解析】因为随机变量服从两点分布，所以由题，又， 所以.故选A. 2．D【解析】 由题意，可知五场中获胜的场次X～B，选手能参加决赛的概率P＝C×4×＋C×5×0＝．故选D. 3、A【解析】由题可知＝，解得n＝3，则X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．故选A. 4．B【解析】设袋中有个黑球，则白球有，由题意可得：，解得或（舍去），故X的可能取值有，则有：，可得X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 故.故选B. 5．D【解析】根据题意，直至某一串灯笼被摘完为止，可得摘取的次数为，结合独立重复实验的概率计算公式，可得：当两次摘完时，可得概率为；当三次摘完时，可得概率为；当四次摘完时，可得概率为，则.故选D. 6．C【解析】由题意，可知X服从二项分布B(3，p1)，所以E(X)＝3p1，D(X)＝3p1(1－p1)．同理，Y服从二项分布B(3，p2)，所以E(Y)＝3p2，D(Y)＝3p2(1－p2)．因为＜p1＜p2＜1，所以3p1＜3p2，所以E(X)＜E(Y)．对于二次函数y＝3p(1－p)，图象对称轴为p＝，可知函数在上单调递减，所以当＜p1＜p2＜1时，有3p1(1－p1)＞3p2(1－p2)，即D(X)＞D(Y)．故选C. 7、AD【解析】 对于选项A，由题意可得X服从二项分布，故E(X)＝4p＝2，即p＝，故A正确；对于选项B，因为X～B，所以P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C4＋C4＝，故B错误； 对于选项C，D(X)＝4××＝1，故C错误； 对于选项D，E(4X＋3)＝4E(X)＋3＝11，故D正确．故选AD. 8、CD 【解析】设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，则答对0题和答对3题的概率相同，都为，故A错误；答对1题的概率为，故B错误；答对2题的概率为，故C正确；合格的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，故D正确．故选CD. 9．ABD【解析】X服从二项分布，A正确； ，Y服从超几何分布，B正确； ，对于选项D，E(X)＝，E(Y)＝,所以E(X)＝E(Y)，D正确； 对于选项C，若,则E(X)＜E(Y)，矛盾，C错误.故选ABD． 10、【解析】因为随机变量X～B(6，p)，且E(X)＝3，所以6p＝3，解得p＝，则P(X＝1)＝C＝＝． 11．【解析】 依题意，m，n为非负整数，记“取出的两个球都是红球”为事件A，则P(A)＝＝，所以＝，解得m＋n＝5或m＋n＝－12(舍去)．ξ的可能取值为0，1，2，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝． 12、0.6；3.2【解析】由题意可知，小桐一周跑10圈或11圈或12圈，小桐一周跑10圈的概率为，小桐一周跑11圈的概率为，小桐一周跑12圈的概率为，一周至少跑11圈的概率为，则，所以． 13．【解】（1）三个学习群人数比例为24000:24000 : 36000 = 2 : 2 : 3，因此，应从A，B，C三个学习群分别匹配2，2，3人. （2）由题意知，X所有可能的取值为0，1，2，3，且，， ，．X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以. 14．【解】（1）若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为，3次抽取可以看成3重伯努利试验，因此η～B，所以P(η＝0)＝C03＝，P(η＝1)＝C12＝，P(η＝2)＝C21＝，P(η＝3)＝C30＝，所以η的分布列如下： η 0 1 2 3 P E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． (2)①若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取3件，因此一等品件数X服从超几何分布，所以从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝，m＝0,1,2,3．所以随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． ②设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3．由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，又P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝．即取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为． . 学科网（北京）股份有限公司 $