课时测评88 二项分布、超几何分布与正态分布（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评88　二项分布、超几何分布与正态分布 (时间：60分钟　满分：90分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.(2025·山东名校考试联盟联考)已知随机变量X～B，则P＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为随机变量X～B，所以P＝＝＝.故选B. 2.(2025·安徽阜阳模拟)设两个正态分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示.则有(　　) A.μ1＜μ2，σ1＜σ2 B.μ1＜μ2，σ1＞σ2 C.μ1＞μ2，σ1＜σ2 D.μ1＞μ2，σ1＞σ2 答案：A 解析：根据正态分布N(μ，σ2)曲线的性质：正态分布曲线是一条关于x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭.故选A. 3.已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为X，则均值E(X)为(　　) A. B. C.1 D. 答案：D 解析：X的所有可能取值为0，1，2，则P＝＝，P＝＝，P(X＝2)＝＝，则E＝0×＋1×＋2×＝.故选D. 4.据统计，某脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则果实横径在[75，90]内的概率为(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)(　　) A.0.682 7 B.0.841 3 C.0.818 6 D.0.954 5 答案：C 解析：由题意得σ＝5，则P(80－5≤X≤80＋5)≈0.682 7，所以P(75≤X≤85)≈0.682 7；P(80－10≤X≤80＋10)≈0.954 5，所以P(70≤X≤90)≈0.954 5，所以P(85≤X≤90)≈＝0.135 9，所以果实横径在[75，90]内的概率为0.682 7＋0.135 9＝0.818 6.故选C. 5.(多选)(2025·沈阳质量监测(三))下列说法正确的是(　　) A.连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量X表示停止时抛掷的次数，则P(X＝3)＝ B.从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量Y表示所选取的学生中男同学的人数，则E＝ C.若随机变量X～B(9，)，则D＝2 D.若随机变量η～N，则当μ减小，σ增大时，P(＜σ)保持不变 答案：BCD 解析：对于A，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面、反面的概率均为，则P(X＝3)＝()2×＝，故A错误；对于B，显然随机变量Y服从超几何分布，则E(Y)＝＝，故B正确；对于C，由随机变量X～B(9，)，得D(X)＝9××＝2，故C正确；对于D，由正态分布的意义知，P(｜η－μ｜＜σ)＝P(μ－σ＜η＜μ＋σ)为定值，故D正确.故选BCD. 6.(多选)(2025·山东聊城模拟)在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩X～N，且E＝80，D＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，高于120分者为优秀，令P(｜X－μ｜≤σ)＝m，P(｜X－μ｜≤2σ)＝n，则(　　) A.μ＝80，σ＝400 B.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为 C.从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为 D.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为 答案：BCD 解析：对于A，由E＝80，D＝400，则μ＝80，σ2＝400，故A错误；对于B，由μ＝80，σ2＝400，则X～N，则μ－σ＝80－20＝60，μ＋σ＝80＋20＝100，μ－2σ＝80－2×20＝40，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故有P＝m，P(40≤X≤120)＝n，则P＝，则P(60≤X≤120)＝＋m＝，即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为，故B正确；对于C，P＝，则从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为P＝2××＝，故C正确；对于D，P＝＋，又P(X＞120)＝，故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格的概率为＋，该生测试成绩优秀的概率为，则在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为＝，故D正确.故选BCD. 7.某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格.则合格的概率为　　　　. 答案： 解析：设此人答对题目的个数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，3，P＝＝，P＝＝，P＝＝，P＝＝，则合格的概率为P＋P(X＝3)＝. 8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17，18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5位乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率都为，用X表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝　　　　. 答案： 解析：每位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X～B，即有P＝×，k＝0，1，2，3，4，5.故P＝×＝. 9. (13分)(2025·江苏连云港阶段性调研)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各 2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等. (1)求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；(5分) (2)用X 表示取出的 2个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.(8分) 解：(1)设一次取出的2个小球上的数字互不相同的事件记为A，则为一次取出的2个小球数字相同， 所以P＝＝，所以P＝1－＝. (2)由题意X所有可能的取值为1，2，3，4，5. P(X＝1)＝＝ ， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝. 所以随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 所以E＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 10.(5分)(多选)(2025·湖北武汉调研)已知离散型随机变量X服从二项分布B(n，p)，其中n∈N*，0＜p＜1.记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有(　　) A.a＋b＝1 B.当p＝时，a＝b C.当0＜p＜时，a随着n的增大而增大 D.当＜p＜1时，a随着n的增大而减小 答案：ABC 解析：对于A，由概率的基本性质可知a＋b＝1，故A正确；对于B，当p＝时，离散型随机变量X服从二项分布B，则P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，…，n)，所以a＝＋＋＋…)＝×2n－1＝，b＝＋＋＋…)＝×2n－1＝，所以a＝b，故B正确；对于C，D，a＝p1(1－p)n－1＋p3(1－p)n－3＋…＝＝，当0＜p＜时，a＝为正项，且a随着n的增大而增大，故C正确；当＜p＜1时，(1－2p)n正负交替，故D不正确.故选ABC. 11.(15分) (2025·湘豫名校联考)象棋是中国棋文化之一，也是中华民族的文化瑰宝，源远流长，雅俗共赏.某地举办象棋比赛，规定：每一局比赛中胜方得1分，负方得0分，没有平局. (1)若甲、乙两名选手进行象棋比赛冠亚军的激烈角逐，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，先得3分者夺冠，比赛结束.(8分) (ⅰ)求比赛结束时，恰好进行了3局的概率； (ⅱ)若前两局甲、乙各胜一局，记X表示到比赛结束还需要进行的局数，求X的分布列及数学期望； (2)统计发现，本赛季参赛选手总得分Y近似地服从正态分布N.若μ－σ≤Y≤μ＋2σ，则参赛选手可获得“参赛纪念证书”；若Y＞μ＋2σ，则参赛选手可获得“优秀参赛选手证书”.若共有200名选手参加本次比赛，试估计获得“参赛纪念证书”的选手人数.(结果保留整数)(7分) 附：若X～N，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解：(1)(ⅰ)比赛结束时恰好进行了3局，甲夺冠的概率为P1＝＝， 乙夺冠的概率为P2＝＝， 所以比赛结束时恰好进行了3局的概率为P＝P1＋P2＝＋＝＝ . (ⅱ)X的可能取值为2，3， 因为P(X＝2)＝＋＝， P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝. 所以X的分布列为 X 2 3 P 故E(X)＝2×＋3×＝. (2)因为比赛成绩Y近似地服从正态分布N， 所以比赛选手可获得“参赛纪念证书”的概率 P(μ－σ≤Y≤μ＋2σ)＝P(μ－σ≤Y≤μ＋σ)＋P(μ－2σ≤Y≤μ＋2σ) ≈×0.682 7＋×0.954 5＝0.818 6. 200×0.818 6＝163.72≈164， 所以估计获得“参赛纪念证书”的选手人数为164. 12.(17分)(2025·江西上饶一模)机动车辆保险即汽车保险(简称车险)，是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险.机动车辆保险一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险.经验表明商业险保费(单位：元)由过去三年的出险次数决定了下一年的保费倍率，某市某机动车辆保险公司对于购买保险满三年的汽车按如下表格计算商业险费用.(假设每年出险次数2次及以上按2次计算) 出险情况 商业险折扣 若基准保费3 000元时对应保费 三年内6赔 1.8 5 400 三年内5赔 1.5 4 500 三年内4赔 1.2 3 600 三年内3赔 1 3 000 三年内2赔 0.8 2 400 三年内1赔 0.7 2 100 三年内0赔 0.6 1 800 (1)汽车的基准保费由车的价格决定，假定王先生的汽车基准保费为3 000元，且过去三年都没有出险，近期发生轻微事故，王先生到汽车维修店询价得知维修费为1 000元，理赔人员根据王先生过去一直安全行车的习惯，建议王先生出险理赔，王先生是否该接受建议？(假设接下来三年王先生汽车基准保费不变，且都不出险)(5分) (2)张先生有多年驾车经验，用他过去的驾车出险频率估计概率，得知平均每年不出险的概率为0.8，出一次险的概率为0.1，出两次险的概率为0.1(两次及以上按两次算).张先生近期买了一辆新车，商业险基准保费为3 000元(假设基准保费不变)，求张先生新车刚满三年时的商业险保费分布列及期望.(12分) 解：(1)由于王先生过去三年都没有出险， 若不出险，王先生接下来三年只需按最低标准1 800元缴费，共需5 400元. 若进行理赔，则接下来三年每年需2 100元，共需6 300元， 6 300－5 400＝900＜1 000，故出险理赔更划算. (2)设商业险保费数额为随机变量X， 则X的可能值为5 400，4 500，3 600，3 000，2 400，2 100，1 800. 则P(X＝5 400)＝0.1×0.1×0.1＝0.001， P(X＝4 500)＝(0.1)3＝0.003， P(X＝3 600)＝(0.1)3＋(0.1)20.8＝0.027， P(X＝3 000)＝0.8×(0.1)2＋(0.1)3＝0.049， P(X＝2 400)＝0.1(0.8)2＋(0.1)20.8＝0.216， P(X＝2 100)＝(0.8)20.1＝0.192， P(X＝1 800)＝(0.8)3＝0.512， 所以X的分布列为： X 5 400 4 500 3 600 3 000 2 400 2 100 1 800 P 0.001 0.003 0.027 0.049 0.216 0.192 0.512 则E(X)＝5 400×0.001＋4 500×0.003＋3 600×0.027＋3 000×0.049＋2 400×0.216＋2 100×0.192＋1 800×0.512＝2 106.3(元). 学科网（北京）股份有限公司 $