湖南长沙市2025-2026学年高二下学期数学期末测试模拟试卷（八）

**基本信息** 覆盖高二数学核心知识，通过分层设题考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，解答题融合医学抽样、轨迹证明等情境，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、数列、函数图象、向量、圆、椭圆|基础巩固，考查概念理解与基本运算| |多选题|3/18|统计、三角函数、数列性质|能力提升，需综合分析判断| |填空题|3/15|二项式定理、双曲线与圆、四面体外接球|空间想象与计算能力| |解答题|5/77|解三角形、统计案例、立体几何、解析几何、导数|创新应用，如医学抽样（16题）、轨迹与切线证明（18题），考查数学建模与逻辑推理|

《湖南省长沙市高二数学2025-2026学年下学期期末测试模拟试卷（八）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A C C B C BC ABD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】化简集合，求出，写出其所有子集，可得答案. 【详解】由得，所以， 所以，其子集有，，，，共4个. 故选：B 2．B 【详解】由为纯虚数，则，可得. 3．B 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，所以. 4．A 【详解】由，且的定义域为， 可知是奇函数，故图象关于原点对称，可排除C； 再求导得：， 当时，，即在上单调递增，可排除D； 又当时，，即在上单调递减，故在时取到极大值，可排除B． 5．C 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式化简可得结果. 【详解】因为，所以， ， 故. 6．C 【分析】利用向量夹角公式及向量夹角的范围，求出与的夹角为锐角的充要条件，再结合条件，即可求解. 【详解】因为， 则， 由与的夹角为锐角，可得，解得且， 则“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件． 7．B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得该圆圆心坐标与半径，再借助切线性质可得、，最后利用等面积法计算即可得. 【详解】圆化为标准方程为， 则，半径，则， 由切线定义可得， 则四边形的面积可表示为，也可表示为， 即有，故. 故选：B. 8．C 【分析】根据三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、椭圆的离心率公式、平行线等分线段定理进行求解即可. 【详解】设的内切圆与边切于点，所以该三角形内切圆的半径为， 所以， 过作， 因为，所以， 所以， 由三角形内切圆的性质可知： ， 所以， . 故选：C 9．BC 【分析】把该组数据由小到大排列，求出极差、30%分位数判断AB；求出变化前后的平均数、方差判断CD. 【详解】连续10天的日销售额由小到大排列为：， 对于A，该组数据的极差为，A错误； 对于B，由，得该组数据的30%分位数为，B正确； 对于C，原数据组平均数， 变化后的新数据组平均数，C正确； 对于D，原数据组方差， 变化后的新数据组方差，D错误. 故选：BC 10．ABD 【分析】AB选项代入验证即可，C项根据所给范围求出的范围再求最值，D项，根据“左加右减”的规律化简即可 【详解】对于A，代入，得，即点在与轴交点上， 符合三角函数关于与轴交点中心对称，故A对； 对于B，代入，得，即时，取得最值， 符合三角函数关于过取得最值处点的横坐标且与轴平行的直线对称，故B对； 对于C，当时，，所以，故最大值为，不是，C错误； 对于D，向左平移个单位长度后，得到新函数为，故D正确. 11．ACD 【分析】根据等比数列定义判断A，特殊值法判断B，应用作差法计算得出单调性判断C，应用分组求和结合等比数列求和公式计算判断D. 【详解】数列满足，， 则，， 所以是以3为首项以3为公比的等比数列，A选项正确； 当时，，B选项错误； 因为，所以， 因为，所以， 所以是递增数列，C选项正确； 的前项和 ，D选项正确. 故选：ACD. 12．60 【分析】根据二项式定理及通项公式求解即可. 【详解】二项式通项公式为. 是的系数，令，则， 所以. 13． 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，再利用几何法求出弦长即可． 【详解】双曲线的一条渐近线为，即， 圆的圆心为，半径， 圆心到渐近线的距离为， 由勾股定理得，弦长为． 14． 【分析】根据题意可证垂直平分，同理可得垂直平分，则球心在上，再利用勾股定理求出球的半径即可． 【详解】如图，设的中点分别为，球心为，半径为，   ， ，又平面， 平面，又平面， ，则垂直平分， 同理可得垂直平分，故球心在上，设， ，， ， 又，解得，， 则四面体外接球的表面积为． 15．(1)(2) 【分析】（1）借助余弦定理与面积公式，结合三角函数基本关系即可得； （2）借助余弦定理与面积公式，结合题目条件可得、，再结合向量的数量积与模长的关系计算即可得. 【详解】（1）由余弦定理可得，即， 由面积公式可得，即， 则； （2）由余弦定理可得， 又，故，即， 由面积公式可得，即， 即有，即，故， 由是边的中点，故， 故 ，即. 16．(1) 1 2 3 (2) 性别 健康状况 感冒 不感冒 合计 男 8 14 22 女 4 24 28 合计 12 38 50 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别无关. 【分析】（1）利用分层抽样的方法抽取6人，则抽取男性4人，女性 2人，随机变量的所有取值为，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； （2）根据列联表中的数据， 经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【详解】（1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人， 再从这6人中随机选取3人访谈， 记参与访谈的男性人数为， 样本中感冒的男性有8人，女性有4人，比例为2∶1， 按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，则抽取男性4人，女性2人， 随机变量的所有取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为： 1 2 3 所以． （2）零假设：20-30岁年轻人的体质健康与性别无关， 根据列联表中的数据，得到， 因为，假设成立， 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别无关. 17．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明面面垂直即可； （2）应用空间向量法求二面角余弦值即得. 【详解】（1）如图，取棱AB的中点O，连接，OC，． 由题意可知为菱形，且，则为正三角形． 因为O是棱AB的中点，所以． 由题意可知△ABC是边长为2的等边三角形，则，． 因为是边长为2的等边三角形，所以． 因为，所以，所以． 因为AB，平面，且，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）由（1）可知OB，OC，两两垂直，故分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则．．，，，故，． ，． 设平面ACD的法向量为， 则， 令，得． 设平面的法向量为， 则， 令，得． 设平面ACD与平面的夹角为θ，则 即平面ACD与平面夹角的余弦值为． 18．(1) (2)①－；② 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后结合椭圆定义即可得； （2）①设，结合圆的切线的性质与点到直线距离公式计算即可得；②法一：结合①中所得，分别用表示出、，可得的值，再利用基本不等式计算即可得；法二设，，结合①中所得，可用表示出、，即可表示出，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】（1）设点，因为，所以， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去与直线的交点）， 所以，所以，，． 所以曲线的方程为； （2）①设，则，即， 设过原点的圆的切线的方程为， 由得， 所以； ②法一：由①知，，，设，， 由，得，， 所以，同理， 所以 ， 所以（当且仅当时等号成立）. 法二：设，， 由①知，，所以， 由，， 所以 （当且仅当时等号成立）， 所以． 19．(1)函数在R上单调递增； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用二阶导数求导函数的最值，然后可判断函数单调性； （2）（i）将 ，，两边取对数相减，令 ，构造，利用导数讨论其单调性，根据单调性即可得证；（ii）根据不等式恒成立，分析可知 的两根也是，然后利用（i）中结论即可得证. 【详解】（1）当时， ，定义域为R ， 求导得： ，记，则 ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以函数在R上单调递增. （2）（i）由题意知方程有两个不同的正实根，即方程有两个不同的实数解， 记，则， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 且，当趋于时，趋于， 所以，所以. 因为 ，， 两边同时取自然对数，得， 两式相减得，即， 要证 ，只需证明 ，整理得， 令 ，只需证明， 构造函数 ，求导得 ， 所以函数在上单调递增，于是， 所以不等式成立， 综上：不等式成立 （ii）结合（i）知当 时，，即，所以 ； 同理可得，当时， ；当时， 所以要满足恒成立， 则关于x的方程 的两根也是， 所以 ， 所以 ， 所以成立 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2025-2026学年高二下学期数学期末测试模拟试卷（八） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，，则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．2 3．已知为等比数列的前n项和，，，则（   ） A．152 B．162 C．165 D．172 4．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．过点作圆的两条切线，切点分别为，则（　　） A．2 B． C． D．2 8．已知分别为椭圆的两个焦点，为上异于顶点的任意一点，的内心为，连接MP并延长交于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某商务局统计了一展销活动连续10天的日销售额（单位：万元），依次为：2.5，2.0，2.3，2.1，2.9，2.5，2.1，2.3，2.8，2.5，则（   ） A．该组数据的极差为0.8 B．该组数据的30%分位数为2.2 C．若该组数据去掉最大值和最小值，则这组数据的平均数变小 D．若该组数据去掉最大值和最小值，则这组数据的方差变大 10．已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上的最大值为2 D．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 11．已知数列满足，，则下列结论正确的是（   ） A．是等比数列 B．对任意， C．是递增数列 D．的前项和 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，则______（用数字作答）． 13．圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为_____． 14．在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)的内角，，的对边分别为，，，已知，且的面积为. (1)求的值； (2)若是边的中点，，求的长. 16．(15分)研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒．某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表． 性别 健康状况 感冒 不感冒 合计 男 8 14 女 4 24 合计 (1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； (2)补全上表，并在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？ 参考数据：参考公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．(15分)如图，在三棱柱中，所有棱长均为2，且，，． (1)证明：平面平面． (2)求平面ACD与平面夹角的余弦值． 18．(17分)已知直角坐标系中满足，，，动点A的轨迹为曲线T． (1)求曲线T的方程； (2)若半径为的圆的圆心M在曲线T上运动，过原点O作圆M的两条切线，分别与曲线T交于E，F，射线，的斜率存在，并记为，． ①求证：为定值； ②求的最大值． 19．(17分)已知函数． (1)当时，判断函数的单调性； (2)已知函数有两个正零点，且． （i）求证：； （ii）当时，不等式恒成立，求证：． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $