湖南怀化市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 怀化市高二期末数学试卷通过跨学科情境（如化学实验概率问题）、几何与数列综合（如第4题扇形面积命题）及动态探究（如正方体动点问题），考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|相关系数、导数几何意义、抛物线焦点|第6题结合化学实验情境考查条件概率，体现应用意识| |填空题|3题/15分|等比数列乘积、整除五位数计数、函数象限问题|第13题以数字排列考计数原理，强化数学语言表达| |解答题|5题/77分|不等式证明、立体几何夹角、概率期望、函数最值、椭圆定点与面积|第19题椭圆综合题融合定点证明与面积最值，考查逻辑推理与创新思维|

湖南省怀化市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D A D C D AC ABD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【详解】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为，所以两种证券是正相关， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，B正确，ACD错误. 故选：B. 2．B 【分析】由图得到导数正负情况，再根据导数与单调性关系、极值点定义以及导数几何意义即可得解. 【详解】由图可得当时，； 当时，，当且仅当时. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处切线的斜率大于零，函数在处不能取极值， 函数在区间上单调递增,是函数的极小值点，所以B错误，ACD正确. 3．A 【分析】利用抛物线方程的焦点在y轴正半轴，结合抛物线方程即可求得. 【详解】抛物线，，焦点在y轴正半轴， 所以抛物线的焦点坐标是. 故选：A. 4．D 【分析】命题，可以取、和去验证是否成立；命题，可以通过对n进行取值验证；命题，可通过叠加的方法来进行推导；命题，可以通过题意写出的表达式，然后带入化简验证，判断完四个命题后，再根据四个选项的组合进行选择. 【详解】因为，，， ，， 当时，，而成立， 假设当时，， 那么当时，， 则当时，等式也成立， 所以对于任意，成立，故该命题正确； ，由题意可得，，，，，，， ，当时，，该命题错误； ，，，，叠加得：，故该命题正确； ，由题意可知，所以，故该命题正确； 所以选项A，为假命题；选项B，为假命题；选项C，为假命题；选项A，为真命题. 故选：D. 5．A 【分析】根据题意可取0,1,2，分别计算出概率，再用期望公式计算即可. 【详解】根据题意可取0,1,2， ，，， 所以， 故选：A. 6．D 【分析】根据题设条件可判断参与反应的两个分子中必然是一个，一个，据此可求期望. 【详解】因为反应结束后，从这两个参与反应的分子中随机抽取一个，发现其标记数为2． 故参与反应的两个分子中必然是一个，一个， 型分子个数为1的概率为1，个数为0或2的概率为0， 故型分子个数的期望值为1， 故选：D. 7．C 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，再结合切线过点得到关于切点横坐标的表达式，最后通过求导研究该表达式的单调性，进而求出的最大值. 【详解】设切点坐标为 ， 因为 ，所以，所以切点处的切线斜率 ， 由点斜式得切线方程为： 令，代入切线方程可得纵截距： ， 设函数 ，则， 令，由于恒成立，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 因此为的最大值点， 最大值为 ，即的最大值为. 8．D 【分析】根据导数的几何意义可得切线斜率，进而可得切线方程. 【详解】由题意，令，可得，则， 所以切线的斜率， 所以在处的切线方程为，即. 9．AC 【分析】建立空间直角坐标系，选项A，通过计算向量的数量积是否为来判断线线垂直；选项B，利用三棱锥体积公式，结合均值不等式求最值；选项C，利用向量法计算点到直线的距离；选项D，分析外接球球心的坐标特征，确定轨迹，求出度. 【详解】    如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，， 则，， 因，所以，故A正确； ， 当且仅当，即时成立，故B错误； 若为中点时，则,，， ，， ，，， ，故C正确； 设三棱锥的外接球球心为， 因为平面，则， 因为为直角三角形，球心在与平行的中垂线上， 所以，， 则球心为，球心的轨迹为一条线段， 当时，球心为，当时，球心为， 轨迹长度为，故D错误. 10．ABD 【分析】由分类乘法计数原理结合相邻区域不能同色的条件，即可求解. 【详解】对于A，先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种涂法，再涂区域，有2种涂法， 最后涂区域，因为要保证4种颜色全部使用，故只有1种涂法， 故共有种方法，所以A正确； 对于B，先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法， 再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法， 故共有种方法，所以B正确； 对于C，若用4涂色，则区域有3种方法，区域有2种方法， 区域有1种方法，由A知总情况有24种，则概率为，所以C错误； 对于D，若用2涂色，则区域有2种方法，区域有1种方法， 区域有1种方法，由B知总情况有6种，则概率为，所以D正确； 11．ABC 【分析】根据导数与单调性、极值、最值的关系判断ABD，根据函数的对称性判断C. 【详解】对于A，由题意知，，由     ，解得，故A正确； 对于B，函数，则， 令，则或，此时单调递增；令，则，此时单调递减； 所以函数在处取得极大值，为，在处取得极小值，为， 且当时，，当时，，所以函数在定义域上有三个零点，故B正确； 对于C，若函数的图象关于对称，则， 又 ，所以，所以，故C正确； 对于D，由于，则在和上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 要使在上的最大值为，则，或， 解得，或，故D错误. 12．18 【详解】由等比中项的性质可得， 所以． 13． 【分析】依据能被25整除的数末两位为25或50的特征，分两类计算符合要求的五位数的个数后求和即可. 【详解】能被25整除的正整数，末两位只能是25的倍数，结合数字无重复、取值范围为的约束，仅存在末两位为、两类情况： 若末两位为：末两位已占用数字、，前三位需从剩余的共4个数字中选3个无重复排列，排列数为； 若末两位为：末两位已占用数字、，剩余可选数字为， 由于首位不能为，故首位有3种选择，剩余中间两位从剩下的3个数字中选2个无重复排列，个数为; 将两类结果求和，总个数为. 14． 【分析】由，，当时，，可得必过第一、第三、四象限，问题转化为只需不经过第二象限，即当时，恒成立，分和讨论求解. 【详解】因为，，当时，，故必过第一、第三、四象限， 所以只需不经过第二象限， 当时，，由，可得恒成立， 当时，上式成立， 当时，取，不合题意， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 15．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）利用排列数与组合数的性质证明即可. 【详解】（1）由题意得，，， 又， 所以． （2）由题意得，， 而， 而， 所以． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为原点建系，证明，，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）得出平面与平面的法向量，，再利用面面角与向量夹角之间的关系计算即可. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设， 则，，，，，， 则，，， 则，， 则，， 又，平面，平面，则直线平面. （2）由（1）知平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．(1) (2) (3) 由题知，可能的取值为， ， ， 故， ， 故当且仅当时， 【分析】（1）得2分以上可能是随机选一个选项时，当为三个正确选项时选对1个，或者两个正确选项时选对1个，由互斥事件的加法公式得解； （2）可能的取值为，得0分为三个正确选项或两个正确选项的均选到错误选项，得2分只可能是三个正确选项的选对1个，得3分为两个正确选项的选对一个，分别由互斥事件的加法公式求解； （3）可能的取值为，类似（2）的分析得出的期望，结合（2）中的作差比较，得出证明. 【详解】（1）恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为， 正确选项是2个时，随机选一个正确可得3分，概率为； 正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为， 因此 （2）由题知，可能的取值为， ， ， ， 分布列为： （3）略 18．(1) (2)1 【分析】（1）转化为，由基本不等式得到，由函数单调性得到，从而得到不等式，求出答案； （2）参变分离得到，变形后，由基本不等式求出的最大值，从而求出答案. 【详解】（1）对于任意的，总存在，使得， 即， 其中，， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 因为是减函数，所以当时，， 所以，解得. （2）时，可得，， 即， 因为，分离参数可得 ， 由题意，不等式在存在解集，则 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，解得， 所以的最大值为1. 19．(1) (2)①证明见解析② 【分析】（1）根据离心率得出进而计算求解标准方程； （2）①先设直线再联立方程组结合斜率公式应用韦达定理计算求参；②应用弦长公式及点到直线距离公式化简求解面积，最后构造函数应用导函数求解最大值即可. 【详解】（1）由题意得，得， 因为，所以，得，. 故的标准方程为. （2）①证明：由（1）可得， 设直线的方程为，，， 由得， ，，. 当直线，的斜率都存在时， 则， 解得， 直线的方程为，所以直线过定点. ②解：由①得，， . 点到直线的距离， 则的面积. 令，函数， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以当的面积取得最大值时，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省怀化市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（    ） A．两种证券的收益有反向变动的倾向 B．两种证券的收益有同向变动的倾向 C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 2．函数的导函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．在处切线的斜率大于零 B．点是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．点是函数的极小值点 3．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．已知数列满足：，，，若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n段圆弧所在正方形的面积之和为，第n段圆弧与其所在的正方形所围成的扇形面积为.现有如下命题： ：； ：； ：； ：. 则下列选项为真命题的是（    ） A． B． C． D． 5．将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（     ） A． B． C． D． 6．某化学实验中有2个型分子和2个型分子．每次实验随机选取两个分子让其发生反应．若选中的是1个和1个，则有的概率发生“有效反应”，反应后的标记数变为的标记数变为1；另有的概率发生“无效反应”，反应后两个分子的标记数均为0．若选中的是两个同型分子，则不会发生反应，它们的标记数保持为0．实验步骤：先从4个分子中随机取出两个进行反应．反应结束后，从这两个参与反应的分子中随机抽取一个，发现其标记数为2．在此条件下，实验开始时取出的两个分子中，型分子个数的期望值为（   ） A． B． C． D．1 7．已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 8．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段和线段上的动点，且，则下列说法正确的有（    ）    A． B．三棱锥的体积最大值为1 C．若为中点时，则点到直线的距离为 D．三棱锥外接球球心轨迹的长度为 10．用1，2，3，4四种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则（   ） A．用四种不同颜色涂色的不同方法数为24 B．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为6 C．在用四种不同颜色涂色的条件下，区域用4涂色的概率为 D．在用1，2，3这三种不同颜色涂色的条件下，区域用2涂色的概率为 11．已知函数，则（   ） A．在区间上单调递减 B．函数有三个零点 C．若函数的图象关于对称，则 D．若函数在上的最大值为a，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．等比数列的前项之积为，若，则___________． 13．由0，1，2，3，4，5组成无重复数字且能被25整除的五位数的个数是________． 14．若函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是___________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．若，证明： (1)； (2)． 16．如图，直三棱柱中，，，是的中点．    (1)证明：直线平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， (1)若，求； (2)求的概率分布列和数学期望； (3)证明：当且仅当时，. 18．设函数，函数. (1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的最大值. 19．已知椭圆的离心率为，，不过的上、下顶点的直线与交于不同的，两点. (1)求的标准方程. (2)设点，分别为的上、下顶点，直线的斜率为当直线，的斜率都存在时，. ①证明：直线过定点. ②当的面积取得最大值时，求的值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $