精品解析：广东广州市清湾附中2025－2026学年第二学期九年级数学6月适应性训练

2026学年第二学期初三年级6月适应性训练 数学 本试卷共6页，满分120分，考试用120分钟． 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据有理数大小比较的规则即可判断出结果。 【详解】解：根据有理数大小比较规则：正数大于，大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小. 是正数，大于负数， ，排除A、B. ，排除C. 对于，，，， . 2. 国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D错误． 4. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据邻补角的性质求出，再由平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴． 5. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线 为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故选：B． 6. 如图，经过的圆心O，与相切于点 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由切线的性质结合三角形内角和定理求得，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 如图1，欢欢将自己的微信付款码打印在边长为的正方形纸上，为了估计图中黑色部分的面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，记录该点落在黑色部分上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计图中黑色部分面积约为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率估计概率得到点落在黑色部分上的概率为，利用正方形纸的面积乘以即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，点落在黑色部分上的频率约为，即点落在黑色部分上的概率为， ∴图中黑色部分面积约为． 8. 如图，中，，，请通过尺规作图的痕迹判断，下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可得垂直平分，平分，由此即可判断AB选项正确；求出，，由此即可判断C选项正确，D选项错误． 【详解】解：由作图可得：垂直平分，平分， ∴ ，，故AB选项正确，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴不平分，故D选项错误，符合题意． 9. 为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒.已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图象如图所示． 　　　　　　　　　信息窗 1．药物8分钟燃毕，此时室内空气中的含药量为6． 2．空气中的含药量不高于1.6 时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于3时，对杀灭病毒有效． 则下列说法不正确的是（　　） A. 药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 B. 药物燃烧4时，才开始对杀灭病毒起效 C. 从消毒开始，至少需要30学生才能回到教室 D. 本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为16 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出，，然后根据正比例函数和反比例函数的概念分别判断各个选项即可． 【详解】解：由题意知，，， 消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间成正比例函数关系， ， 代入点坐标， 得，解得， 药物燃烧时，关于的函数关系式为，A选项说法正确； 当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， 药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效，B选项说法正确； 药物燃烧完成后，与成反比例函数关系， 设反比例函数式为， 代入点坐标， 得， 反比例函数式为， 空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 当时，， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室，C选项说法正确； 药物燃烧完成后，当时，， 本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为（分钟），D选项说法错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查正比例函数和反比例函数的知识，熟练掌握反比例函数和一次函数的知识是解题的关键． 10. 已知多项式，其中为实数： ①若，则 ②有最大值，最大值为3； ③无论取任何实数，恒成立； 以上结论正确的个数有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分别对三个结论逐一验证，①通过列方程求解根判断正误，②利用二次函数的开口方向判断最值，③通过作差配方判断不等关系是否恒成立． 【详解】∵， ①验证结论：令，得，整理得，解得，与结论中不符，故①错误； ②验证结论：∵二次项系数，抛物线开口向上，∴只有最小值，最小值为，不存在最大值故②错误； ③验证结论：即，当时，，因此不恒成立，故③错误； 综上，三个结论全部错误，正确的个数为． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 单项式的次数是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，熟记相关结论即可． 【详解】解：该单项式的次数为：， 故答案为： 12. 要使分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】需同时满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，据此进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得且． 13. 如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，坡比是，则坡面的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据坡度比为，即坡角的正切值，可得，利用直角三角形的性质即可求出结果． 【详解】解：坡比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 如果一组数据 x1，x2 ，x3 ，x4 ，x5 的平均数是3，那么另一组数据(x1-2)，（x2-2） ，（x3-2） ，（x4-2） ，（x5-2） 的平均数是______． 【答案】1 【解析】 【分析】先得到数据x1，x2，x3，x4，x5的和，然后根据平均数的公式求新数据的平均数即可． 【详解】如果一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3， 则有（x1+x2+x3+x4+x5）=3， 那么另一组数据（x1-2），（x2-2），（x3-2），（x4-2），（x5-2）的平均数是 [（x1+x2+x3+x4+x5）-10]=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是样本平均数的求法及运用，即平均数公式：. 15. 刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先连接，作，设，则，再说明是等边三角形，然后求出，即可得外切正六边形的面积是，进而得出内接正六边形的面积，最后求出比即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点O作， 设，则， 根据题意可得，则是等边三角形， ∴． 在中，， ∴，根据勾股定理，得， ∴， ∴外切正六边形的面积是； 同理可得， 则内接正六边形的面积是， 所以的内接正六边形与外切的正六边形得面积比是． 16. 如图，在等腰中，，，则____，若点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是 _________ ． 【答案】 ①. 32 ②. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．将 拼接到，连接交于点G，推出，当点E与点G重合时，的值最小，据此求解即可． 【详解】解：等腰中，，， ． 如图，将 拼接到，连接交于点G， 则 ， ，，， ， 当点E与点G重合时，的值最小， ， ， ， ， ， 即当的值最小时，的大小是， 故答案为：32，． 三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。） 17. 解方程组 【答案】 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】， ①+②得：3x=3，即x=1， 把x=1代入①得：y=−1， 则方程组的解为 . 【点睛】此题考查解二元一次方程组，掌握运算法则是解题关键 18. 已知：，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴． 在和中， ， ∴（）． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先证明 ，，再利用证明即可． 【详解】略 19. 已知，求代数式的值． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入思想． 先根据完全平方公式和平方差公式进行化简，再合并同类项，求出，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 20. 某校开展“逐梦科技强国”主题活动．调查小组对活动中模型设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），将其分成四组，A：，B：，C： ，D：．其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．绘制不完整的统计图如下． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________个学生的模型设计成绩，成绩的中位数是________分； （2）学校决定从模型设计成绩优秀的两名男生，两名女生中随机选择两位同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学都是女生的概率． 【答案】（1）50，83.5 （2） 【解析】 【分析】（1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出B组学生人数，再根据中位数的定义即可求解； （2）画出树状图，根据树状图解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次共抽取了50名学生的模型设计成绩， ∴B组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分 【小问2详解】 解：设甲、乙是两名男生，丙、丁是两名女生， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰为丙和丁的结果有2种， ∴所选的两位同学都是女生的概率为． 21. 2023年元宵节，某电影院开展“弘扬家国情怀，彰显中华气魄”系列活动，对团体购买《流浪地球2》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元． （1）求每张电影票的原定零售票价； （2）为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率． 【答案】（1）每张门票的原定票价为50元 （2）原定票价平均每次的降价率为 【解析】 【分析】（1）设每张门票的原定票价为元，则降价后的价格为元，根据按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元，列出方程，解方程即可； （2）设原定票价平均每次的降价率为，根据原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设每张门票的原定票价为元，则降价后的价格为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每张门票的原定票价为50元． 【小问2详解】 解：设原定票价平均每次的降价率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：原定票价平均每次的降价率为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，注意要对分式方程的解进行检验． 22. 某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） （1）内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） 解： （2）如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； （3）已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 【答案】（1）； （2），； （3）该跑道宽度符合规范．理由： 设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，则起跑线前移为两个跑道的长度差，即为， ∵际测量得到第8道起跑线比第1道前移了． ∴， 解得， ∵规范要求跑道宽度为， ∴， 即 ∵， ∴该跑道宽度符合规范． 【解析】 【分析】（1）设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，内圈（第1道）的长度为，据此列方程并解方程即可； （2）先求出第2道半圆形弯道的半径为，再用直道的长度加上第2道半圆形弯道的长度即可得到第2道的全长，用第2道的全长减去第1道的全长即可得到第2道起跑线比第1道应前移的长度； （3）设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，根据起跑线前移为两个跑道的长度差求出起跑线前移的长度，再与规范要求跑道的宽度范围比较即可． 【小问1详解】 解：设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，则 ， 解得， 即内圈（第1道）半圆形弯道的半径为； 【小问2详解】 解：∵每条跑道宽， ∴第2道半圆形弯道的半径为， ∴第2道全长， ∵， ∴第2道起跑线比第1道应前移； 【小问3详解】 略 23. 如图，在中，，， ，四边形为矩形，点D，E分别在线段上运动，点G，F在线段上． （1）边上的高_______； （2）当时，求的长度； （3）求矩形面积的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作于点K，设与相交于点P，利用三角形面积公式即可求出答案； （2）当时，四边形为正方形，设 ，则 ，证明，则，即，解方程即可求出的长度； （3）求出，证明，得到，设，则 ，得到 ，，根据矩形的面积列出二次函数，根据二次函数的性质即可求出矩形面积的最大值． 【小问1详解】 解：过点A作于点K，设与相交于点P， ∵， ， ∴ 解得， 即边上的高； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴当时，四边形为正方形， ∴ ，， ∴ ，，可设 ， 则 ， ， ，即， 解得， 即的长度为； 【小问3详解】 解： ， ， ， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴ ，， ∴， ∴， 设，则 ， ， ，， ∴矩形面积 ， ∵， ∴当时，矩形面积取得最大值为． 24. 对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y的取值范围为，且满足，则称此函数为“拉伸函数”． 例如：正比例函数，当时，，则，解得，所以函数为“拉伸函数”． （1）一次函数（）为“拉伸函数”，则k的值为________； （2）反比例函数（，，且）是“ 拉伸函数”，且，求出的值； （3）已知且 时，二次函数 是“拉伸函数”，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据一次函数单调性求出的取值范围，根据新定义计算的值； （2） 先根据反比例函数单调性结合定义推出，再利用完全平方公式计算； （3） 二次函数开口向下，对称轴，结合给定范围，分情况讨论求函数最值，得到关于 的表达式，进而求出的取值范围. 【小问1详解】 解： ，，随增大而增大， 当时，取最小值 ，当 时，取最大值 ， ∵ ， ∴ ，解得； 【小问2详解】 解：∵（，，且）， ∴反比例函数的图象在第一象限，且随的增大而减小， ∵，且 ∴当时，函数值最大，为，当时，函数值最小为， ∵反比例函数（，，且）是“ 拉伸函数”， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线 ， ∵，， ∴ ， 由定义得，其中是函数最大值， 是函数最小值， 函数最大值在顶点处取得， ， 分两种情况讨论： 当时，最小值在处取得，  ， ， ， 时随 增大而减小， ； 当，最小值在处取得， ， ， ​， 当时随 增大而增大， ∴； 综上： . 25. 如图1，矩形中，， ， 、分别是、的中点，折叠矩形使点 落在上的点处，折痕为． （1）用直尺和圆规在图1中的边上作出点 （不写作法，保留作图痕迹）；此时 ________， （2）如图2，若点是射线上的一个动点．将 沿 翻折，得 ，延长至Q，使 ，连接 ． ①当 是直角三角形时，的长为多少？ ②设 外接圆的圆心为 ，求 的最小值． 【答案】（1） （2）①的长为或 或或 ；② 的最小值为 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，交于点 ，点 即为所求；根据折叠的性质和线段垂直平分线的性质可证 是等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一定理即可求出 的度数； （2）①当 是直角三角形时，分四种情况求出的长度； ②四边形 是平行四边形，可得 ，证明点 、 、 、共圆，设圆心为 ，连接 ，则 ，证明，可得 ，可得点 在垂直于的直线上运动；进一步求解即可． 【小问1详解】 解：如下图所示，连接，作的垂直平分线，交于点 ，点 即为所求； 由折叠可知 ， 点 、分别是、的中点， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， ； 【小问2详解】 ①解： 是直角三角形， 当 时，如下图所示， ， ， 又 ， ， ， ； 当 时，如下图所示， 是等边三角形，， ， 由折叠可知 ， ， ， ， ， ， ， ； 当 时，如下图所示， 由折叠可知 ， ，， ， ， ， ， ； 当 时，如下图所示， 由折叠可知， ， ， 且 ， 四边形 是平行四边形， 且 ， ， ， ， 在 和 中，， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或 或或 ； ②解：如图所示， 连接 ， 且 ， 四边形 是平行四边形， ∴ ， 由折叠可知 ， ， 点 、 、 、共圆， 设圆心为 ，连接 ，则 ， ， 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 点 在垂直于的直线上运动； 当 重合时，， ∴ 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第二学期初三年级6月适应性训练 数学 本试卷共6页，满分120分，考试用120分钟． 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 如图，经过的圆心O，与相切于点 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，欢欢将自己的微信付款码打印在边长为的正方形纸上，为了估计图中黑色部分的面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，记录该点落在黑色部分上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计图中黑色部分面积约为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，中，，，请通过尺规作图的痕迹判断，下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 9. 为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒.已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图象如图所示． 　　　　　　　　　信息窗 1．药物8分钟燃毕，此时室内空气中的含药量为6． 2．空气中的含药量不高于1.6 时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于3时，对杀灭病毒有效． 则下列说法不正确的是（　　） A. 药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 B. 药物燃烧4时，才开始对杀灭病毒起效 C. 从消毒开始，至少需要30学生才能回到教室 D. 本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为16 10. 已知多项式，其中为实数： ①若，则 ②有最大值，最大值为3； ③无论取任何实数，恒成立； 以上结论正确的个数有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 单项式的次数是_______． 12. 要使分式有意义，则x的取值范围是________． 13. 如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，坡比是，则坡面的长度为_______． 14. 如果一组数据 x1，x2 ，x3 ，x4 ，x5 的平均数是3，那么另一组数据(x1-2)，（x2-2） ，（x3-2） ，（x4-2） ，（x5-2） 的平均数是______． 15. 刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是_______． 16. 如图，在等腰中，，，则____，若点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是 _________ ． 三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤。） 17. 解方程组 18. 已知：，，，求证：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 某校开展“逐梦科技强国”主题活动．调查小组对活动中模型设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），将其分成四组，A：，B：，C： ，D：．其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．绘制不完整的统计图如下． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________个学生的模型设计成绩，成绩的中位数是________分； （2）学校决定从模型设计成绩优秀的两名男生，两名女生中随机选择两位同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学都是女生的概率． 21. 2023年元宵节，某电影院开展“弘扬家国情怀，彰显中华气魄”系列活动，对团体购买《流浪地球2》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元． （1）求每张电影票的原定零售票价； （2）为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率． 22. 某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） （1）内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） 解： （2）如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； （3）已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 23. 如图，在中，，， ，四边形为矩形，点D，E分别在线段上运动，点G，F在线段上． （1）边上的高_______； （2）当时，求的长度； （3）求矩形面积的最大值． 24. 对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y的取值范围为，且满足，则称此函数为“拉伸函数”． 例如：正比例函数，当时，，则，解得，所以函数为“拉伸函数”． （1）一次函数（）为“拉伸函数”，则k的值为________； （2）反比例函数（，，且）是“ 拉伸函数”，且，求出的值； （3）已知且 时，二次函数 是“拉伸函数”，求k的取值范围． 25. 如图1，矩形中，， ，、分别是、的中点，折叠矩形使点 落在上的点处，折痕为． （1）用直尺和圆规在图1中的边上作出点 （不写作法，保留作图痕迹）；此时 ________， （2）如图2，若点是射线上的一个动点．将 沿 翻折，得 ，延长至Q，使 ，连接 ． ①当 是直角三角形时，的长为多少？ ②设 外接圆的圆心为 ，求 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $