精品解析：2026年广东省汕头市潮阳区 部分校中考前模拟数学试题

2026年广东省初中学业水平考试模拟卷 数学 （总分：120分时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的数更小，据此即可判断． 【详解】解：∵正数大于一切负数，， ∴排除选项； 又两个负数比较大小，绝对值越大，数本身越小； ， ， 因此，，排除 ，选项； ∵，且 ， ∴，符合要求． 2. 线锤在生活中的使用场景非常广泛，主要用于测量和定位．如图是一个线锤，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查判断几何体的三视图，根据简单几何体的三视图的特点判断即可，注意：可以看见的棱线为实线，看不见的棱线为虚线进行判断． 【详解】解：线锤的左视图为 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；根据不等式的解集在数轴上表示即可． 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示为： 故选：C． 5. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮 次，不一定能投中 B. 小星定点投篮 次，一定可以投中 C. 小星定点投篮次，一定投中次 D. 小星定点投篮次，一定投中 次 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，概率仅反映事件发生机会的大小，不代表事件一定发生或一定不发生，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：已知用频率估计得小星投中的概率为，根据概率的意义可得： ∵投中概率为只表示投篮 次投中的可能性为，不一定投中，也不一定不投中， ∴选项正确， 选项错误； ∵概率反映的是大量重复试验下的规律性，有限次投篮的结果是不确定的， ∴投篮次不一定恰好投中次，投篮次也不一定恰好投中 次，因此选项错误； 综上，答案选． 6. 如图，在中，，点分别为边的中点，连接，若，则的长度为（ ） A. 3 B. C. 3.5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线得出，再由余弦函数确定，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 题目主要考查解三角形，中位线的性质及斜边上的中线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值 金，每只羊值金，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据未知数，将今有牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金，两个等量关系具体化，联立即可． 【详解】解：设每头牛值x金，每头羊值y金， ∵牛5头，羊2头，共值10金；牛2头，羊5头，共值8金， ∴， 故选：A． 8. 在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接．    中， ， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为。以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，据此可得答案． 【详解】∵点的坐标为，点的坐标为， ， ∵四边形是矩形， ∵将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：B． 10. 如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（ ） A. x＜﹣1 B. ﹣0.5＜x＜0或x＞1 C. 0＜x＜1 D. x＜﹣1或0＜x＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，找出双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2， ∴若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个只含字母x，y的五次单项式___________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的有关概念即可得出答案，确定单项式的系数和次数的关键． 【详解】解：依题意，这个只含字母x，y的五次单项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 计算的结果是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】分母不变，把分子相减，再化为最简即可； 【详解】 ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的加减，能熟记同分母分式的加减法则的内容是解题的关键． 13. 如图为化学实验过滤操作的示意图，其中烧杯中的液面与漏斗架平行．若，，则的度数为___________⁠． 【答案】##度 【解析】 【分析】由两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 又∵，， ∴ ． 14. 若关于 的不等式组无解，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式中对应不等式的解集，再根据大大小小找不到（无解）的口诀求解即可． 【详解】解： 解不等式②得：， ∵原不等式组无解， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，是边上一点，连接 ，在右侧作，且，连接．若 ，，则四边形的面积为___________⁠． 【答案】15 【解析】 【分析】过点作 ，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到 ，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作 ，， 则： ， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵ ，， ∴， 设，则 ， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为15． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，根据绝对值的意义、特殊角三角函数值、二次根式的乘法、零指数幂将原式化简，再进行加减运算．掌握相应的运算法则、性质、公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 17. 最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … （1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； （2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】（1） （2）9.6×10-3 m2 【解析】 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． （2）将代入求解即可． 【小问1详解】 解：设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入， 得， ∴地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 【小问2详解】 解：将代入时， 则， ∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为平方米． 18. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： （1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离 米．求旗杆的高度． （2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【答案】（1）7.5米 （2）11.5米 【解析】 【分析】（1）证明 ，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出的值． （2）证明 ，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出的值，最后由线段的和差关系即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ． ∴． ∴． ∴ ． 答：旗杆的高度为7.5米． 【小问2详解】 解：∵，，均垂直于地面，与水平面平行， ∴ ， 米． ∵ ， ∴ ． ∴． ∵ （米）， 米， （米）， ∴． ∴． ∴ （米）． 答：旗杆的高度为11.5米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点，过点作且 ，连接、、． （1）求证：； （2）请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：； 条件③：连接AF， ． （注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分） 已知：________（填写序号） 【答案】（1）证明：∵平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵且 ， ∴四边形是平行四边形， ∴ ，， 又∵在平行四边形中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 已知：①，结论：四边形是矩形． 证明：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， 故是矩形； 已知：②；；结论：四边形是菱形． 证明：∵，四边形是平行四边形， ∴是菱形． 已知：③结论：四边形是菱形． 证明：连接， ∵ ，四边形是平行四边形， ∴是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定，全等三角形的判定，三角形内角和定理等知识． （1）由平行四边形，可得，，再由证明 ，结合，证明即可； （2）四边形是平行四边形，条件①证明 ，进而可得平行四边形是矩形；条件②：邻边相等的平行四边形即可判定平行四边形是菱形，条件③由对角线互相平分的平行四边形是菱形即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下： 如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题： ①调查总人数 ______人； ②请补充条形统计图； ③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？ ④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下： 项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身 甲 7 7 9 8 乙 8 8 7 9 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高； 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高． 【答案】①100； ②补充条形统计图如下： ③愿意改造“娱乐设施”的约有3万人； ④乙；甲． 【解析】 【分析】①根据健身的人数和所占的百分比即可求出总人数； ②用总数减去其他3项的人数即可求出娱乐的人数； ③根据样本估计总体的方法求解即可； ④根据加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】①（人）， 调查总人数人； 故答案为：100； ②（人） ∴娱乐的人数为30（人） ③（人） ∴愿意改造“娱乐设施”的约有3万人； ④若以进行考核， 甲小区得分为， 乙小区得分为， ∴若以进行考核，乙小区满意度（分数）更高； 若以进行考核， 甲小区得分为， 乙小区得分为， ∴若以进行考核，甲小区满意度（分数）更高； 故答案为：乙；甲． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，样本估计总体等知识，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键． 21. 综合与实践 【主题】扇面制作． 【背景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．某班组织同学们开展扇面制作展示活动，扇面的形状如图2中阴影部分所示，，弦与相切． 【素材】无刻度直尺、量角器、圆规、剪刀、如图3所示直径为 的卡纸． 【任务】 （1）猜想与证明：猜想 与 之间的数量关系，并证明． （2）设计扇面：若要求制作的扇面的宽 ． ①求要制作的扇面中弦的长． ②在中能否设计出满足条件的扇面？若能，请利用【素材】中的工具在图3中直接画出扇面（标出相关角的度数，保留作图痕迹）；若不能，请说明理由． 【答案】（1）猜想： ． 证明如下：如图1，记弦与相切于点，连接 ，则 ． ∴ ． ∵， ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． （2）解：①，②能， 【解析】 【分析】（1）记弦与相切于点，连接 ，则 ，根据圆切线的性质得出 ，根据等边对等角，以及三角形内角和定理得出 ，由含30度直角三角形的性质得出 ，进而可得出 ． （2）①由垂径定理得出 ，由（1）知 ．则，由勾股定理得出 ，进而可求出． ②画出直径，作的垂直平分线，再使用量角器量出的角与垂直平分线交于点，以点为圆心为半径画弧即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：①如图， ∵ ， ， ∴ ． 由（1）知 ． ∴． ∴在 中，， ∴． ②能，略； 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为 交于． （1）求证：； （2）若点P为的中点，正方形的边长为2，求的长； （3）若四边形为矩形，连接，，点P为的中点，点H为的中点，求的长． 【答案】（1）证明：如图： ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴， ∵ 分别在 上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得 ，由折叠得出，得出，即可证明； （2）设，则 ．由勾股定理知，求出x，再由相似三角形的性质求解即可． （3）延长，交于点M，连接．由翻折，得．根据角的和差关系得出，由等角对等边得出，由翻折，得 ．证明，由全等三角形的性质得出 ，．由勾股定理得出，进一步得出，根据勾股定理得出，证明 ，由相似三角形的性质得出，进而可求出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图1， 设，则 ． ∵点P为的中点，， ∴． 由，得， 解得， 由（1）知． ∴，即． ∴． 【小问3详解】 解：如图2，延长，交于点M，连接． 由翻折，得． ∴ ． ∵ ， ∴． ∴． ∵点P为的中点， ∴ ． 由翻折，得 ． ∵点H为的中点， ∴． ∵ ， ， ∴． ∴ ，． ∴ ． ∴， 在中，， ．∴． ∴， ∴， 在中，， 由翻折，得，． ∴． ∴ ． ∴，即 ∴． 23. 【问题背景】 已知抛物线( 为常数， ）的顶点为，对称轴与 轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． 【构建联系】 （1）如图1，当 ，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标； （2）如图2，当时，求的值； （3）【深入探究】如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求和k的值． 【答案】（1） （2）10 （3） ， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得 的值，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段 上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ，与交于点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴该抛物线顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ∵， ∴抛物线的对称轴为， 对称轴与 轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由 ，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； 【小问3详解】 过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段 上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得，， 解得 ，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东省初中学业水平考试模拟卷 数学 （总分：120分时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 线锤在生活中的使用场景非常广泛，主要用于测量和定位．如图是一个线锤，它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮 次，不一定能投中 B. 小星定点投篮 次，一定可以投中 C. 小星定点投篮次，一定投中次 D. 小星定点投篮次，一定投中 次 6. 如图，在中，，点分别为边的中点，连接，若，则的长度为（ ） A. 3 B. C. 3.5 D. 4 7. 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值 金，每只羊值金，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为。以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（ ） A. x＜﹣1 B. ﹣0.5＜x＜0或x＞1 C. 0＜x＜1 D. x＜﹣1或0＜x＜1 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个只含字母x，y的五次单项式___________ 12. 计算的结果是___________． 13. 如图为化学实验过滤操作的示意图，其中烧杯中的液面与漏斗架平行．若，，则的度数为___________⁠． 14. 若关于 的不等式组无解，则的取值范围为___________． 15. 如图，在中，，是边上一点，连接 ，在右侧作，且，连接．若 ，，则四边形的面积为___________⁠． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … （1）求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； （2）若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 18. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： （1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离 米．求旗杆的高度． （2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点，过点作且 ，连接、、． （1）求证：； （2）请从以下三个条件中选择一个作为已知，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：； 条件③：连接AF， ． （注：如果选择条件①、条件②、条件③分别进行了解答，按第一个解答计分） 已知：________（填写序号） 20. 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下： 如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题： ①调查总人数 ______人； ②请补充条形统计图； ③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？ ④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下： 项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身 甲 7 7 9 8 乙 8 8 7 9 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高； 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高． 21. 综合与实践 【主题】扇面制作． 【背景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．某班组织同学们开展扇面制作展示活动，扇面的形状如图2中阴影部分所示，，弦与相切． 【素材】无刻度直尺、量角器、圆规、剪刀、如图3所示直径为 的卡纸． 【任务】 （1）猜想与证明：猜想 与 之间的数量关系，并证明． （2）设计扇面：若要求制作的扇面的宽 ． ①求要制作的扇面中弦的长． ②在中能否设计出满足条件的扇面？若能，请利用【素材】中的工具在图3中直接画出扇面（标出相关角的度数，保留作图痕迹）；若不能，请说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为 交于． （1）求证：； （2）若点P为的中点，正方形的边长为2，求的长； （3）若四边形为矩形，连接，，点P为的中点，点H为的中点，求的长． 23. 【问题背景】 已知抛物线( 为常数， ）的顶点为，对称轴与 轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． 【构建联系】 （1）如图1，当 ，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标； （2）如图2，当时，求的值； （3）【深入探究】如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求和k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $