课下巩固精练卷(64) 两条直线的位置关系（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(六十四)　两条直线的位置关系 【基础巩固题】 1．(2024·河南三模)已知直线Ax＋By＋C＝0与直线y＝2x－3垂直，则(　　 ) A．A＝－2B≠0 B．A＝2B≠0 C．B＝－2A≠0 D．B＝2A≠0 解析：选D.直线y＝2x－3的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线Ax＋By＋C＝0的斜率为－，即且A≠0，B≠0，所以B＝2A≠0. 2．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知直线l1：ax＋3y－6＝0，直线l2：2x＋(a－1)y－4＝0，则“l1∥l2”是“a＝3或a＝－2”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若直线l1：ax＋3y－6＝0和直线l2：2x＋(a－1)y－4＝0平行， 则解得a＝－2， 所以“l1∥l2”是“a＝3或a＝－2”的充分不必要条件． 3．平行直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－by＋5＝0之间的距离为(　　 ) A． B．2 C．3 D．5 解析：选C.因为l1∥l2，所以b≠0，≠，解得b＝－，所以l2：2x＋y＋10＝0，故两平行直线间的距离d＝. 4．四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为(　　 ) A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 解析：选D.由kBC＝， ∵kBC＝kAD，kAB≠kCD， ∴BC∥AD，AB与CD不平行， ∴四边形ABCD为梯形， 又∵kAD·kAB＝－1， ∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形． 5．(2024·牡丹江模拟)直线y＝x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是(　　 ) A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋2＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0 解析：选C.直线y＝x与直线x＝1交于点A， 所以直线l的斜率为－且过点A， 所以直线l的方程为y－(x－1)， 即x＋y－2＝0. 6．(2024·重庆三模)当点P(－1，0)到直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0的距离最大时，实数λ的值为(　　 ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：选B.直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0，整理得λ(3x＋y－4)＋(x＋y－2)＝0， 由可得故直线恒过点A(1，1)， 当AP与直线l垂直时，点P(－1，0)到A(1，1)的距离为dmax＝， 故kPA＝； 直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0的斜率k＝－，故－＝－1，解得λ＝1. 7．(多选)已知在以C(2，3)为直角顶点的等腰直角三角形ABC中，顶点A，B都在直线x－y＝1上，下列判断中正确的是(　　 ) A．斜边AB的中点坐标是(3，2) B．|AB|＝2 C．△ABC的面积等于4 D．点C关于直线AB的对称点的坐标是(4，1) 解析：选ABD.如图，取AB的中点为P(x，y)， 因为△ABC为以C为直角顶点的等腰直角三角形，所以CP⊥AB，即CP垂直于直线x－y＝1，则kCP＝＝－1，且x－y＝1，解得则AB的中点P的坐标为(3，2)，故A正确； |CP|＝＝2|CP|＝故B正确； 所以S△ABC＝＝＝2，故C错误； 设点C关于直线AB的对称点为点C1，则CC1的中点为点P，即xP＝＝3，所以＝4，所以＝－1，解得＝1，即点C关于直线AB的对称点的坐标是(4，1)，故D正确． 8．(人教A版选择性必修一P80)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为_______． 解析：∵点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l的距离相等，∴＝|6a＋4|，∴27a2＋30a＋7＝0，∴a＝－或a＝－. 答案：a＝－或a＝－ 9．设点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点为Q，则点Q的坐标为__________，过点Q且与直线x＋y－3＝0垂直的直线方程为____________． 解析：依题意，设Q(a，b)， 则解得 即点Q的坐标为(－4，－1)， 设与直线x＋y－3＝0垂直的直线方程为x－y＋c＝0， 将Q(－4，－1)代入该式，得－4＋1＋c＝0，故c＝3， 所以所求直线方程为x－y＋3＝0. 答案：(－4，－1)　x－y＋3＝0 10．点A(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是________． 解析：直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0， 由解得 所以直线过定点P(9，－4)， 当AP与直线垂直时，点A(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为d＝； 当点A在直线上时，点A(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最小值为0， 故点A(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的取值范围是. 答案： 【综合应用题】 11．(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是(　　 ) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x＋1 解析：选BC.由题意知，当点M到直线的距离不超过4时，符合要求． 对于A，点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离为>4，故不符合； 对于B，点M(5，0)到直线y＝2的距离为2－0＝2<4，故符合； 对于C，点M(5，0)到直线y＝x的距离为＝4，故符合； 对于D，点M(5，0)到直线y＝2x＋1的距离为>4，故不符合． 12．若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是_____________． 解析：为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点． ①若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1； ②若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1； ③若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1， 当a＝1时，l1，l2与l3三线重合，当a＝－1时，l1，l2平行． ④若三条直线交于一点，由解得 将l2，l3的交点(－a－1，1)的坐标代入l1的方程，解得a＝1(舍去)，或a＝－2， 所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2. 答案：a≠±1且a≠－2 13．(1)已知点A(a，6)到直线3x－4y＝2的距离d＝4，求a的值； (2)在直线x＋3y＝0上求一点P，使它到原点O的距离与到直线x＋3y－2＝0的距离相等． 解：(1)由题意，得＝4，|3a－26|＝20，解得a＝2或a＝. (2)设点P(－3b，b)， 由题意，得|OP|＝. 点P到直线x＋3y－2＝0的距离为， 所以，解得b＝±. 即点P的坐标为或. 【创新拓展题】 14．(2024·南通统考)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，光线从AB边上的中点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(反射点分别为Q，R)，则光线经过的路径总长|PQ|＋|QR|＋|RP|＝________． 解析：以A为坐标原点，AB，AC分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，因为△ABC为等腰直角三角形，其中∠BAC＝90°，且AB＝2，则lBC：x＋y－2＝0，点P(1，0)，所以点P关于y轴的对称点为P1(－1，0)，设点P关于直线lBC：x＋y－2＝0的对称点为P2(x0，y0)，则＝1且－2＝0，解得x0＝2，y0＝1，即P2(2，1)，则|PQ|＋|QR|＋|RP|＝|P2Q|＋|QR|＋|RP1|＝|P1P2|＝. 答案： 15．已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为___________． 解析： 设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点， ∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|. 在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|， ∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|. 当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|. 设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)， 则由对称的充要条件知 解得∴A1(0，3)， ∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $