外接球问题、内切球问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

外接球问题、内切球问题专项训练 外接球问题、内切球问题专项训练 考点目录 外接球问题 内切球问题 考点一 外接球问题 例1．（2025·河北·模拟预测）已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】设长方体的外接球半径为，且， 因为外接球表面积为，故，即， 又因为，可得，即， 所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立， 所以长方体的体积的最大值为. 故选：C． 例2．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，正四棱台的外接球半径，设， 根据正四棱台及其外接球的性质可知，球心位于正四棱台上、下底面对角线中点的连线上， 垂直于上下底面，且上下底面均为正方形，则 ，， ，， 设正四棱台的高为，则. 所以. 因为，设，则， 根据勾股定理. 所以外接球表面积. 故选：C. 例3．（25-26高三上·广东惠州·期中）在三棱锥中，平面，，且，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图， 设，，为的外心， 为三棱锥外接球的球心， 则平面，又平面， 所以，平面， 则，四边形是直角梯形， 设，，， 由平面，平面，得， 则，由余弦定理可知，，. 令，则，， ，当且仅当，即时等号成立， 所以三棱锥外接球表面积， 故选：B. 例4．（25-26高三上·重庆·月考）在正三棱柱中，，则该三棱柱的外接球表面积为 . 【答案】 【详解】由正弦定理，底面正三角形的外接圆半径， 又正三棱柱的高的一半， 则外接球的半径， 所以表面积， 故答案为:. 例5．（2025·浙江丽水·一模）在Rt中，是的中点，把沿翻折到，设二面角的平面角为，若，则三棱锥外接球表面积的范围是 ． 【答案】 【详解】由题可得，所以， 所以，故和分别为等边三角形和等腰三角形，且， 如图，分别为外接圆圆心，取中点，连接， 则，，， 且，故为二面角的平面角，所以， 分别过作平面和平面的垂线，则球心均在两垂线上，两垂线的交点即为球心O， 如图，当时，四边形为矩形,则， 所以由得； 若，如图，连接，则与相交于平面一点H， 则所以， 设三棱锥外接球半径为R， 则，，， 所以， 所以， 若，则，令， 则， 所以时，时，所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以， 综上所述，最小值为1，最大值为. 所以三棱锥外接球表面积最小值为，最大值为. 故答案为： 例6．（25-26高三上·江苏徐州·期中）一个正三棱台的上､下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为 . 【答案】 【详解】因为正三棱台的上､下底面边长分别为1和2， 所以上底面外接圆的半径， 下底面外接圆的半径， 设高为，外接球的半径，上底面外接圆圆心，下底面外接圆圆心，外接球球心为， 则，则， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以外接球体积的最小值为. 故答案为： 例7．（25-26高二上·湖北武汉·月考）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，平面平面PCD． (1)证明：； (2)若四边形ABCD为直角梯形，，，，，，球O为三棱锥的外接球． （i）求直线AO与平面PBC的夹角正弦值； （ii）求平面PBC截球O的截面面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【详解】（1）如图： 因为平面平面，面平面， 过作于，则平面， 平面，故. 又平面,平面,所以，， 所以平面,平面， 所以. （2）（i）点为的中点，理由如下： 由（1）知平面，平面，. 又平面,平面,所以. 点为的中点时，故O为三棱锥的外接球的球心. 因为平面,所以，又，， 所以平面，平面，所以平面平面， 过作于,则平面. 延长至使得，过作且， 则直线AO平面， 所以即为直线AO与平面PBC所成的角， 易得，  . 过作于，则, 设，则，， 由（1）知，则，即，解得. 故，又，解得. 所以直线AO与平面PBC的夹角正弦值； （ii）点为的中点，故点到面的距离是点到面的距离的二分之一， 又，所以点到面的距离等于点到面的距离， 点到面的距离为，故点到面的距离. 设平面PBC截球O的截面圆的半径为，球的半径， 由，即，解得， 所以平面PBC截球O的截面圆的面积为. 变式1．（25-26高二上·江西上饶·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为， 设圆台的高为，由体积可得， 解得， 圆台的轴截面如下：上底面圆心为，下底面圆心为，设球心在直线上，连接， 设，则， 则该圆台的外接球半径为， 由勾股定理可得：，解得，所以， 则该圆台的外接球表面积为. 故选：C. 变式2．（24-25高二下·云南昆明·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球半径的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，取中点，连接，，则，，    又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 所以三棱锥的外接球球心必在过的中心，且平行于的直线上，， 设，又， 所以，， 设三棱锥的外接球半径为， 则， 所以当时，，． 故选：D． 变式3．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球． 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C． 变式4．（25-26高三上·江西南昌·期中）在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，结合二面角的定义及球面的性质确定球心，进而求出球半径及球的表面积. 【详解】在Rt中，，则，， 由是的中点，得，为正三角形，， 令的外接圆圆心分别为，连接并延长交于，连接， 则，是二面角的平面角，， ，在中，由正弦定理得， 是正三角形，，在中，由余弦定理得， 令三棱锥外接球球心为，连接，则平面，而平面， 则，同理，而平面， 于是平面，而平面，则平面与平面重合， 即点四点共面，且这四点共圆，其直径为，由正弦定理得， ，三棱锥外接球半径， 所以三棱锥外接球表面积. 故答案为： 变式5．（25-26高三上·浙江·月考）已知正三棱锥满足，，则的外接球表面积为 ． 【答案】 【详解】因为三棱锥为正三棱锥，又， 所以，又， 设为三棱锥的高，则其外接球的球心在上，且为等边的中心， 如图所示，设外接球的半径为，延长交于点，则， 在等边中，可得，则， 所以， 所以，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：.    变式6．（24-25高一下·四川广元·期末）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面，若，，则这个四棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【详解】取BC中点E，连接EA、ED，取PC中点H，连接EH、BH， 等腰梯形中，，， 则有，则四边形为平行四边形， 则，又，则为等边三角形， 则，则为等边三角形 则，故点E为等腰梯形的外接圆圆心， 中，，则 又底面，则底面， 又， ， 即， 故点H为四棱锥的外接球球心， 球半径 则四棱锥外接球表面积为 故答案为：. 变式7．（25-26高三上·宁夏吴忠·月考）四棱锥的底面为正方形，面，动点在线段上， (1)求证： (2)求四棱锥的外接球表面积 (3)求的最小值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）连接， 因为底面为正方形，所以， 因为面平面，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面，故； （2）因为面，底面为正方形，如图，将该四棱锥补为长方体， 可知即为该长方体的一条体对角线， 且. 且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为， 表面积为； （3）如图将四棱锥沿剪开得到平面图，连结，交于点， 易知均为直角三角形，且全等， 且，，， 则，且， 即有， 所以，即的最小值为. 考点二 内切球问题 例1．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）如图是一个圆台的侧面展开图是一个半圆扇环（为扇形所在圆的圆心，圆心角为），若该圆台存在内切球，记该圆台的内切球表面积为，该圆台的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，内切球半径为，高为， 则， 而， 得， 又因为， 得， 得， 则， 得该圆台的内切球表面积为， 该圆台的表面积为， 则 故选：B 例2．（25-26高二上·湖北·月考）某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，内切球的半径为，体积为， 则，所以，所以，    由有，即， 所以，又， 化简整理得：，解得（舍）， 所以， 故选：A. 例3．（25-26高三上·湖南·月考）若一个圆锥的底面半径和母线长分别为3和5，则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的高为， 则圆锥的表面积为， 设圆锥的内切球半径为R，球心为O，如图， 可知，底面圆圆心为E，则，可得， 即，解得， 所以圆锥的内切球表面积为， 则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为. 故选：C 例4．（24-25高三上·甘肃武威·月考）已知一个直三棱锥的底面为边长为的等边三角形，其体积V的取值范围是，则其内切球半径r的取值范围是 . 【答案】 【详解】如图在直三棱锥中，底面，为等边三角形，边长为，三棱锥的高， 已知底面为边长为的等边三角形，根据等边三角形面积公式（为边长），可得底面面积为： 由直三棱锥体积公式，可得， 已知，，则，所以， 即. 在直三棱锥中，， 为等腰三角形，设中点为，连接，， 又底面，，， 即，， 由等体积法，可得， 又和在上单调递减且恒大于0， 所以在上单调递增， ，， 故答案为： 例5．（2025·天津红桥·模拟预测）一个正方体的棱长为，若一个球内切于该正方体，此球的体积是，则 . 【答案】2 【详解】依题意，正方体内切球的直径即为正方体的棱长，则内切球的半径为， 所以，解得. 故答案为：2. 例6．（24-25高三上·浙江·月考）已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为 ． 【答案】/ 【详解】因为圆台的一个底面面积为，则该底面圆的半径，不妨令其为上底面， 如图为该几何体的轴截面，其中圆为等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底分别切于点，，球的半径， 则圆台的高，又，，， 设，则，所以，解得， 所以圆台的体积. 故答案为： 例7．（25-26高二上·安徽池州·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，作交于点，作交于点． (1)求证：平面； (2)设是四棱锥的内切球的球心，，． （ⅰ）求内切球的半径； （ⅱ）已知是三棱锥外接球的球心，求二面角平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）因为平面，平面，所以平面平面 又四边形为正方形，所以，平面， 而平面平面，故平面，所以， 而，，平面， 故平面， 因为平面，所以 又，，平面， 故平面； （2） （ⅰ）由（1）平面，知，故为直角三角形， 同理可证为直角三角形． 因为，，平面，所以， ，，， 将内切球的球心与四棱锥各顶点连接， 可得到五个棱锥，，，，， 且球心到各棱锥底面的距离均为， 故，得 （ⅱ）由（ⅰ）知，均以为斜边的直角三角形， 故三棱锥外接球的球心为的中点． 以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 故，，． 设平面的法向量为， 则即令，解得，，即． 因为四边形为正方形，易知平面， 而平面，则平面的法向量可取， 所以 即二面角的平面角的余弦值． 变式1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为，在中可得到， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积， 令，则，所以. 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为4，母线长为. 因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径， 所以圆锥内切球的半径. 故选：D 变式2．（2024·重庆·模拟预测）已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设内切球的半径为，依题意可知圆柱的高和底面直径均为， 圆柱的体积，解得， 故圆柱内切球的表面积为, 故选：C. 变式3．（24-25高三上·浙江·开学考试）若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台与其内切球的体积之比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】将圆台母线延长交于点S，得圆锥，作圆锥的轴截面，等腰梯形为圆台的轴截面， 截内切球得大圆，并且是梯形的内切圆，令切圆于，如图， 设底面圆直径，依题意，，，， 设内切球半径为，则，，， ，于是，且为的中点，而内切球体积， 圆台的体积, 所以圆台与其内切球的体积比为. 故选：A 变式4．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知一圆锥底面半径与其内切球半径的比为，则圆锥表面积与其内切球的表面积之比为 ． 注：在圆锥内部，且与底面和任意一条母线都相切的球，称为圆锥的内切球． 【答案】 【详解】 由题意，过圆锥的高及内切球球心的截面图如图，设圆锥的高为，母线长为， 则在中，， 由得，又，故， 代入，可得，得，故， 圆锥的表面积为， 内切球的表面积为，故圆锥表面积与其内切球的表面积之比为， 故答案为： 变式5．（24-25高三上·河南南阳·月考）若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【详解】 过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆， 且两圆同圆心，即的内心与外心重合，所以为正三角形， 由题意的半径为， 所以的边长为6， 所以圆锥的底面半径为3， 所以圆锥的侧面积． 故答案为：. 变式6．（24-25高二下·江苏南京·月考）作高为8的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，如此下去，则前个内切球的半径和为 ． 【答案】 【详解】对于边长为的正四面体， 设正四面体的外接圆半径为，内切圆半径为，高为， 令为正三角形的中心，为正四面体的中心， 则，且平面， 可知， 因为，，且， 即，解得， 可知， 设第个内切球的半径为，第个外接球的半径为， 则，，可得， 可知是以首项，公比的等比数列， 所以前个内切球的半径和为. 故答案为：. 变式7．（24-25高二下·四川成都·期中）如图1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC的内切圆半径，设S是△ABC的面积，l是△ABC的周长，由等面积法，可以得到． (1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积是V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式R内（只写结论即可，不必写推理过程）； (2)若多面体的所有顶点都在同一球上，则该球为多面体的外接球，如图2，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA = PB = PC = 1，求三棱锥P－ABC的内切球半径和外接球的半径． 【答案】(1)R内 (2)内切球的半径，外接球半径． 【详解】（1）解题方法类比：三角形内切圆半径的求法是利用等面积法，那么三棱锥内切球半径的求法是等体积法. 设三棱锥的内切球的球心为，半径为，三棱锥的体积为，表面积为， 则， ， 所以. 所以三棱锥的内切球的半径公式R内． （2）因为PA，PB，PC两两垂直，PA = PB = PC = 1，所以△PAB的面积为 ， 于是，三棱锥P－ABC的体积为， 三棱锥P－ABC的表面积为， 所以，由（1）中的公式可得三棱锥的内切球的半径， 将三棱锥补形成正方体，如图： 则三棱锥与正方体共外接球， 则球的直径是长方体的对角线，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $外接球问题、内切球问题专项训练 外接球问题、内切球问题专项训练 考点目录 外接球问题 内切球问题 考点一 外接球问题 例1．（2025·河北·模拟预测）已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 例2．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·广东惠州·期中）在三棱锥中，平面，，且，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·重庆·月考）在正三棱柱中，，则该三棱柱的外接球表面积为 . 例5．（2025·浙江丽水·一模）在Rt中，是的中点，把沿翻折到，设二面角的平面角为，若，则三棱锥外接球表面积的范围是 ． 例6．（25-26高三上·江苏徐州·期中）一个正三棱台的上､下底面边长分别为1和2，则它的外接球体积的最小值为 . 例7．（25-26高二上·湖北武汉·月考）如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，平面平面PCD． (1)证明：； (2)若四边形ABCD为直角梯形，，，，，，球O为三棱锥的外接球． （i）求直线AO与平面PBC的夹角正弦值； （ii）求平面PBC截球O的截面面积． 变式1．（25-26高二上·江西上饶·月考）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·云南昆明·期末）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球半径的最小值为（   ）    A． B． C． D． 变式3．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·江西南昌·期中）在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是 ． 变式5．（25-26高三上·浙江·月考）已知正三棱锥满足，，则的外接球表面积为 ． 变式6．（24-25高一下·四川广元·期末）在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面，若，，则这个四棱锥的外接球表面积为 . 变式7．（25-26高三上·宁夏吴忠·月考）四棱锥的底面为正方形，面，动点在线段上， (1)求证： (2)求四棱锥的外接球表面积 (3)求的最小值 考点二 内切球问题 例1．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）如图是一个圆台的侧面展开图是一个半圆扇环（为扇形所在圆的圆心，圆心角为），若该圆台存在内切球，记该圆台的内切球表面积为，该圆台的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·湖北·月考）某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·湖南·月考）若一个圆锥的底面半径和母线长分别为3和5，则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25高三上·甘肃武威·月考）已知一个直三棱锥的底面为边长为的等边三角形，其体积V的取值范围是，则其内切球半径r的取值范围是 . 例5．（2025·天津红桥·模拟预测）一个正方体的棱长为，若一个球内切于该正方体，此球的体积是，则 . 例6．（24-25高三上·浙江·月考）已知圆台的一个底面面积为，且有半径为的内切球，则该圆台体积为 ． 例7．（25-26高二上·安徽池州·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，作交于点，作交于点． (1)求证：平面； (2)设是四棱锥的内切球的球心，，． （ⅰ）求内切球的半径； （ⅱ）已知是三棱锥外接球的球心，求二面角平面角的余弦值． 变式1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024·重庆·模拟预测）已知体积为的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（） A． B． C． D． 变式3．（24-25高三上·浙江·开学考试）若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台与其内切球的体积之比为（    ） A． B．2 C． D． 变式4．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知一圆锥底面半径与其内切球半径的比为，则圆锥表面积与其内切球的表面积之比为 ． 注：在圆锥内部，且与底面和任意一条母线都相切的球，称为圆锥的内切球． 变式5．（24-25高三上·河南南阳·月考）若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为 ． 变式6．（24-25高二下·江苏南京·月考）作高为8的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，如此下去，则前个内切球的半径和为 ． 变式7．（24-25高二下·四川成都·期中）如图1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC的内切圆半径，设S是△ABC的面积，l是△ABC的周长，由等面积法，可以得到． (1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积是V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式R内（只写结论即可，不必写推理过程）； (2)若多面体的所有顶点都在同一球上，则该球为多面体的外接球，如图2，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA = PB = PC = 1，求三棱锥P－ABC的内切球半径和外接球的半径． 2 学科网（北京）股份有限公司 $