第七章 课时作业5 直线、平面平行的判定与性质-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习同步练，聚焦直线、平面平行的判定与性质，通过基础辨析、模型应用到高考综合的三层设计，强化空间观念与逻辑推理，适配分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|线面/面面平行的基本概念与判定|以易混命题辨析为主（如单选3），巩固定义与定理| |能力应用|空间几何体中的平行关系|结合正方体、三棱锥等模型（如单选4），培养几何直观| |综合创新|高考真题与探究性问题|动态探究与综合证明（如解答14存在性问题），发展推理能力|

课时5 直线、平面平行的判定与性质 一、单选题 1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　 　) A．α内的所有直线都与直线a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内的直线都与a相交 D．直线a与平面α有公共点 2．平面α与平面β平行的一个充分条件可以是(　 　) A．α内有无穷多条直线与β平行 B．α内的任何一条直线都与β平行 C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α D．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内 3．下列命题中，正确命题的个数是(　　) ①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α； ⑤如果平面α的同侧有A，B两点到平面α的距离相等，那么AB∥α． A．0　　 B．1 C．2 D．3 4．如图，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有(　 　) A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 5、（2025·江西师范大学附属中学期末）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是(　 　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α D．若m∥α，α∥β，则m∥β 6．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为(　 　) A． B． C．1 D．2 二、多选题 7．在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有( 　) 　　　　　　 A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　D 8．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为线段AA1，A1C1，C1B1，BB1的中点，则下列说法正确的有 ( ) A．E，F，G，H四点共面 B．平面EGH∥平面ABC1 C．直线A1A与FH异面 D．直线BC与平面AFH平行 9、(2026·湖南长沙市第一中学期末)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在此几何体中，下列结论正确的有(　 　) A．平面EFGH∥平面ABCD B．PA∥平面BDG C．EF∥平面PBC D．EF∥平面BDG 三、填空题 10、在四面体A-BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中，与直线MN平行的是 ． 11．如图，A是△BCD所在平面外一点，M是△ABC的重心，N是△ACD的中线AF上的点，且MN∥平面BCD，则当MN＝时，BD＝ ． 12．在棱长为4的正方体中，是棱的中点，过点作与截面平行的截面，则所得截面的面积为____________. 四、解答题 13．（2025秋·上海高考）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面圆直径，且． （1）若直线与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； （2）已知是母线的中点，点，在底面圆周上，且弧的长为，．设点在线段上，证明：直线平面． 14．(2026·浙江宁波市模拟)如图，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分别是线段AC，DF的中点． (1)求证：GH∥BF. (2)线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP∥平面BCF？若存在，指出点P的具体位置并给出证明；若不存在，请说明理由． 课时5 直线、平面平行的判定与性质参考答案 1． D【解析】直线a不平行于平面α，包括两种情况：a⊂α或a∩α＝P．当a⊂α时，α内的所有直线都与直线a共面，A错误； 当a⊂α时，α内必然有直线与直线a平行，B错误； 由B知C也错误； 当a⊂α时，直线a和平面α有无数个公共点，当a∩α＝P时，直线a与平面α有唯一公共点P，D正确．故选D. 2． B【解析】对于选项A，α内有无穷多条直线与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误； 对于选项B，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与平面β平行，故B正确； 对于选项C，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，当直线a∥b时，不能保证平面α与平面β平行，故C错误； 对于选项D，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，当直线a平行于平面α与平面β的相交直线时满足上述条件，但平面α与平面β不平行，故D错误．故选B. 3．C【解析】在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确； AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确； AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确； ④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；⑤显然正确.故选C． 4．D【解析】 如图所示，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于点N，M，连接MN，由面面平行的性质得MN∥平面ABCD，由于平面KSHG有无数多个，所以平行于平面ABCD的MN有无数多条．故选D. 5、 C【解析】由题意，作长方体ABCD－A1B1C1D1，如图所示．对于选项A，当平面α＝平面ABCD，m＝A1B1，n＝B1C1时，显然m∥α，n∥α，但m∩n＝B1，故A错误； 对于选项B，当平面α＝平面ABCD，平面β＝平面A1ADD1，m＝B1C1时，显然m∥α，m∥β，但α∩β＝AD，故B错误； 对于选项C，因为m∥α，所以∃a⊂α，m∥a．因为m∥n，所以a∥n．因为a⊂α，n⊄α，所以n∥α，故C正确； 对于选项D，当平面α＝平面ABCD，平面β＝平面A1B1C1D1，m＝B1C1时，显然m∥α，α∥β，但m⊂β，故D错误．故选C. 6．A【解析】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG．因为AD∥平面PEF，AD⊂平面ADC，平面ADC∩平面PEF＝FG，所以AD∥FG．因为D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是△PBC的重心，所以＝＝．故选A. 7． AB【解析】对于选项A，如图①，设P为AB的中点，底面为平行四边形BEFC，连接MP，PC，则PM∥BE，PM＝BE．而BE∥CF，BE＝CF，故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，故MN∥PC．又PC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，故MN∥平面ABC，A正确. 图① 对于B，如图②，设P为AB的中点，底面为平行四边形BCFE，连接MP，PC，则PM∥BE，PM＝BE，而BE∥CF，BE＝CF，故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，故MN∥PC．又PC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，故MN∥平面ABC，B正确； 图② 对于选项C，如图③，设P为AE的中点，底面为平行四边形BEFG，连接NP，PB，设NP交AC于点H，连接BH，则PN∥FE，PN＝FE，而FE∥GB，FE＝GB，故PN∥BM，PN＝BM，即四边形PNMB为平行四边形，故MN∥PB．又MN⊂平面PNMB，MN⊄平面ABC，平面PNMB∩平面ABC＝BH，假设MN∥平面ABC，则MN∥BH，即在平面PNMB内过点B有两条直线和MN都平行，这是不可能的，故此时假设不成立，C错误. 图③ 对于选项D，如图④，设底面为平行四边形ANEF，连接AE，FN交于点H，FN交AC于点G，则H为FN的中点，连接BH，BG.由于B为MF的中点，故BH∥MN．又MN⊂平面NMF，MN⊄平面ABC，平面NMF∩平面ABC＝BG，假设MN∥平面ABC，则MN∥BG，即在平面NMF内过点B有两条直线和MN都平行，这是不可能的，故此时假设不成立，D错误．故选AB. 图④ 8． ABC【解析】如图，由题意可知EH∥A1B1，FG∥A1B1，则EH∥FG，故A正确． 易知GH∥BC1，EH∥AB，GH⊄平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，EH⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，所以GH∥平面ABC1，EH∥平面ABC1．又GH∩EH＝H，GH，EH⊂平面EGH，所以平面EGH∥平面ABC1，故B正确． A， A1，F三点确定一个平面，点H不在此平面内，故C正确． 取A1B1的中点为M，连接FM，则FM∥B1C1，所以FM∥BC．又点F在平面AFH内，点M在平面AFH外，所以直线FM与平面AFH不可能平行，即直线BC与平面AFH不可能平行，D错误．故选ABC. 9、 ABC【解析】先把平面展开图还原为一个四棱锥如图所示，对于选项A，因为E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，所以EF∥AD，GH∥BC，因为AD∥BC，所以EF∥GH，所以EF，GH确定平面EFGH，因为EF⊂平面EFGH，AD⊄平面EFGH，所以AD∥平面EFGH，同理可得AB∥平面EFGH．因为AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD，所以A正确． 对于选项B，连接AC，BD交于点O，则O为AC的中点，连接OG，因为G为PC的中点，所以OG∥PA，因为OG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，所以PA∥平面BDG，所以B正确． 对于选项C，由E，F分别为PA，PD的中点，可得EF∥AD，又由AD∥BC，可得EF∥BC．因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，所以C正确． 对于选项D，若EF∥平面BDG，因为PA∥平面BDG，且EF∩PA＝E，EF，PA⊂平面PAD，可得平面PAD∥平面BDG，显然不正确，所以EF与平面BDG不平行，所以D不正确．故选ABC. 10、 平面ABC，平面ABD【解析】如图，连接AM并延长，交CD于点E，连接BN并延长，交CD于点F， 由重心性质可知，E，F重合，且E为CD的中点，因为＝＝，所以MN∥AB.又AB平面ABD，MN平面ABD，所以MN∥平面ABD.又AB平面ABC，MN平面ABC，所以MN∥平面ABC. 11．4【解析】因为MN∥平面BCD，MN平面AEF，平面AEF∩平面BCD＝EF，所以MN∥EF.又M是△ABC的重心，N是△ACD的中线AF上的点，所以E，F分别是BC，CD的中点，N是△ACD的重心，所以EF＝BD.又因为M，N分别是△ABC和△ACD的重心，所以＝＝且MN＝EF＝BD＝，所以BD＝4. 12．【解析】如图，取CD，A1B1的中点M，N，连结C1M，MA，AN，NC1. 因为C1N//PC，B1P∥AN，B1P∩CP=P，C1N∩AN=N，所以平面C1MAN//平面PCB1，所以平面C1MAN就是过点A与界面平行的截面.由图可知,平面为菱形，且.在正方体中，.根据余弦定理，，且.所以.所以截面的面积. 13． （1）【解】如图，连接， 依题意及圆锥的性质,得，，，所以，所以圆锥的侧面积． （2）【证明】连接，，.因为是母线的中点，是底面圆的直径，所以.又平面，平面，所以平面.因为，所以.因为，所以，则△为等边三角形，所以， 所以△为等边三角形，，所以，所以四边形是平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.而，，平面，所以平面平面.又平面，所以平面． 14．(1)【证明】如图，连接BD. 因为四边形ABCD为平行四边形，由题意可得，G是线段BD的中点，则G，H分别是线段BD，DF的中点，故GH∥BF. (2)【解】存在，P是线段CD的中点.理由如下：由(1)可知，GH∥BF，GH平面GHP，BF平面GHP，所以BF∥平面GHP，连接PG，PH.因为P，H分别是线段CD，DF的中点，则HP∥CF，HP⊂平面GHP，CF平面GHP，所以CF∥平面GHP，BF∩CF＝F，BF，CF⊂平面BCF，故平面GHP∥平面BCF. . 学科网（北京）股份有限公司 $