第六章 课时作业4 数列求和-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列求和核心方法，通过典型例题系统呈现裂项相消、倒序相加、分组求和等技巧，强化数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法应用|单选2-6题、填空10-12题（8题）|裂项相消、倒序相加、分组求和|从递推关系推导通项，明确不同求和方法适用场景| |综合问题解决|解答题13-14题（2题）|错位相减、分类讨论|整合数列性质与求和技巧，形成“概念-方法-应用”完整链条|

课时4 数列求和 一、单选题 1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则ak＝(　 　) A．511 B．677 C．1 021 D．2 037 2．数列1，，，…，，…的前n项和为(　 　) A． B． C． D． 3．已知函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝1，若数列{an}满足an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)，则数列{an}的前20项和为(　 　) A．100 B．105 C．110 D．115 4．(2026·福建宁德市二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列的前9项和为(　 　) A．－ B． C．－ D． 5、(2026·湖南长沙市质检)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，lgan＋lgan＋1＝lg2n，n∈N*，则S9＝(　 　) A．511 B．61 C．41 D．9 6．(2026·广东佛山市高三联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足2(Sn＋1)＝3an(n∈N*)，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T2 025＝(　　) A．1－ B．1－ C．－ D．－ 二、多选题 7．(2026·吉林一模)已知公差不为零的等差数列{an}满足|a6|＝a8， ＝，则有(　 　) A．a7＝0 B．d＝±4 C．a1＝24 D．S15＝60 8、(2026·安徽淮北市模拟)已知数列的前n项和分别为(　 　) A． B． C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为 9．(2026·广东韶关市高三统考期末)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n，则有(　 　) A．a2 025＝4 049 B．设Sn是{an}的前n项和，则S100＝20 000 C．当n为偶数时，an＝2n＋1 D．{an}的通项公式为an＝2n－1 三、填空题 10、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋an＋1＝4×3n－1，则S2 026＝__ __． 11．已知等差数列{an}的公差大于0，若a1＋a6＝4a2，＝6，则a5＝__ __． 12、已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝，若Sn≤k恒成立，则实数k的最小值是__ __． 四、解答题 13、(2026·海南海口市模拟)已知Sn为正项数列{an}的前n项和，a1＝3且Sn＋Sn＋1＝a－． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若bn＝(－1)n＋1，求数列{bn}的前10项和T10． 14．记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 课时4 数列求和参考答案 1．B【解析】ak＝a1＋a2＋…＋a10＝a1＋a1－1＋a3＋a3－1＋…＋a9＋a9－1＝2(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)－5＝2×(1＋22＋24＋26＋28)－5＝2×(4＋16＋64＋256)－3＝677．故选B. 2．B【解析】因为＝＝2，所以该数列的前n项和为2＝2＝．故选B. 3．D【解析】因为函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝1，an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)①， 所以an＝f(1)＋f＋…＋f＋f＋f(0) ②. 由①＋②可得2an＝n＋1，所以an＝，所以数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为＝115．故选D. 4．A【解析】设等差数列{an}的公差为d．由Sn≤S5，得则即解得－≤d≤－，而a2为整数，则d＝a2－9为整数，所以d＝－2，an＝11－2n，＝＝－，所以数列的前9项和T9＝－＋－＋－＋…＋－＝－．故选A. 5、B【解析】由lgan＋lgan＋1＝lg2n可得lg(anan＋1)＝lg2n，即anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除可得＝2，即＝＝…＝＝＝…＝2，由a1＝1可得a2＝2，因此数列{an}的奇数项是以a1＝1为首项，公比为2的等比数列，偶数项是以a2＝2为首项，公比为2的等比数列，所以S9＝a1＋a2＋a3＋…＋a9＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8)＝＋＝61．故选B. 6．D【解析】2(Sn＋1)＝3an，当n＝1时，a1＝2；当n≥2时，2(Sn－1＋1)＝3an－1，两式相减得2an＝3an－3an－1，整理得an＝3an－1，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则an＝2·3n－1，Sn＝3n－1，bn＝＝－，所以T2 025＝＋＋…＋＋＝－．故选D. 7．AD【解析】由公差不为0，|a6|＝a8，得a6＋a8＝0，根据等差数列的性质知a7＝0，故A正确. 又a8＞0，所以d＞0，由 ＝，得＝＝＝＝，所以d＝4．由a7＝a1＋6d＝0，解得a1＝－24，故B，C错误； S15＝15a8＝15(a7＋d)＝60，故D正确．故选AD. 8. ABD【解析】因为an＝2n－1，所以{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以S10＝10×1＋×2＝100，故A正确； 令cn＝，则cn＝＝，所以c1＋c2＋…＋c10＝＝＝×＝，故C错误； 因为Tn＝2n＋1－2，所以bn＝Tn－Tn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n(n＞1，n∈N*)，又因为b1＝T1＝21＋1－2＝2符合上式，所以bn＝2n(n∈N*)，所以{bn}是首项b1＝2，公比q＝2的等比数列，所以b10＝210＝1 024，故B正确； 因为＝＝·n－1，所以是首项为，公比为的等比数列，则＋＋＋…＋＝＝，故D正确．故选ABD. 9．AD【解析】因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n，所以S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)＝＝10 000，故B错误； 由题意，an＋1＋an＝4n①， an＋2＋an＋1＝4(n＋1)②， 由②－①得，an＋2－an＝4，由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3，当n为奇数时，设n＝2k－1(k∈N*)，则an＝a1＋4(k－1)＝1＋4k－4＝4k－3＝2(2k－1)－1＝2n－1，当n为偶数时，设n＝2k(k∈N*)，则an＝a2＋4(k－1)＝3＋4k－4＝4k－1＝2n－1，综上所述，对任意的n∈N*，an＝2n－1，故C错误，D正确； a2 025＝2×2 025－1＝4 049，故A正确．故选AD. 10、【解析】根据题意得a1＋a2＝4×30＝4，a3＋a4＝4×32，…，a2 025＋a2 026＝4×32 024，所以S2 026＝4×30＋4×32＋…＋4×32 024＝4×(30＋32＋…＋32 024)＝4×＝． 11．【解析】设等差数列{an}的公差为d(d＞0)．因为a1＋a6＝4a2，所以a1＋a1＋5d＝4(a1＋d)，所以d＝2a1，所以an＝a1＋(n－1)2a1＝a1(2n－1)，所以＝＝(－)，故 ＝(－＋)＝(－＋)＝＝＝6，解得a1＝，所以a5＝9a1＝． 12、3【解析】因为Sn＝＋＋＋…＋，所以Sn＝＋＋＋…＋，两式相减可得Sn＝1＋＋＋＋…＋－＝1＋－＝－，所以Sn＝3－．因为＞0，所以3－＜3，即Sn＜3恒成立，故k≥3． 13、【解】（1）由题意知Sn＋Sn＋1＝a－，即2(Sn＋Sn＋1)＝a－3，当n≥2时，2(Sn－1＋Sn)＝a－3，两式相减可得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0．因为an＞0，所以an＋1－an＝2．因为a1＝3,2(S1＋S2)＝a－3，即a－2a2－15＝0，解得a2＝5或a2＝－3(舍去)，所以a2－a1＝2，从而an＋1－an＝2，所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1． （2） 由(1)得bn＝(－1)n＋1＝(－1)n＋1·＝(－1)n＋1，所以T10＝b1＋b2＋b3＋…＋b9＋b10＝－＋－…＋－＝1－＝，所以T10＝． 14．【解】（1）设的公差为，则，，解得，. 故. （2）由（1）可得，所以 ①， 则 ②. ①②，得 ，所以. . 学科网（北京）股份有限公司 $