第六章 课时作业2 等差数列的通项与求和公式-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦等差数列通项与求和公式的系统性应用，通过分层题型构建"公式-性质-综合"的方法体系，强化数学思维中的推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|6题（含高考题）|公式直接应用、Sn与an关系|从通项与求和公式概念生成，夯实基础运算| |性质综合|3题|片段和性质、等比中项性质|推导并应用等差数列核心性质，深化逻辑推理| |实际情境|1题|数学建模|将实际问题抽象为数列模型，发展应用意识| |综合探究|2题|定义证明、参数求解|综合运用公式与性质，提升综合分析能力|

课时2 等差数列的通项与求和公式 一、单选题 1．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．3 B．7 C．11 D．23 2．已知等差数列的前项和记为，若，，则（   ） A．51 B．102 C．119 D．238 3、（2026·广东汕头市模拟）已知等差数列的前项和为，，. 若， 则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝( 　) A．27 B．45 C．81 D．18 5．（2026·天津高考）已知数列的前n项和，则数列的前12项和为　　 A．112 B．48 C．80 D．64 6．(2026·山东青岛市模拟)已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7、(2026·广东一模)已知公差不为0的等差数列的前项和为，且是与的 等比中项，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 数列是递增数列 D. 当时，的最大值为8 8．（2026·山东临沂市期中）已知公差为的等差数列的前项和为，若，则有（   ） A． B． C．中的最大 D． 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，S5＝35，则有(　 　) A．nan的最小值为1 B．nSn的最小值为1 C．为递增数列 D．为递减数列 三、填空题 10、 (2026·陕西咸阳市二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝12，则S20＝____． 11、(2026·海南高三统考期末)在等差数列{an}中，若S15＝5(a2＋a6＋ak)，则k＝____． 12．(2026·湖北襄阳市模拟)蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图 为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个 等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D(第一 段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆 心，AE为半径逆时针画圆弧……依此类推．则当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度 为__ _． 　　 四、解答题 13．设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn－an＝n2＋1，n∈N*． (1) 求a1，a2的值，并证明：数列{an＋an＋1}是等差数列； (2) 求S20的值． 14、已知数列满足，（常数），对任意的正整数n，，且 满足． (1)求a的值； (2)试确定数列是否为等差数列. 若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由． 课时2 等差数列的通项与求和公式参考答案 1．C【解析】，解得，.故选C. 2．B【解析】等差数列中，，，即，所以，则.故选B. 3、B【解析】由，，得，解得，则等差数列的公差， 于是，由，得，所以.故选B. 4．B【解析】因为等差数列{an}，所以S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，可得2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，即2(36－9)＝9＋S9－S6，解得S9－S6＝45，即a7＋a8＋a9＝45.故选B. 5．C【解析】因为，所以当时，，当时，，当时，也满足上式，所以， 所以当时，，当时，，所以的前12项和为．故选． 6．D【解析】由为等差数列，且，所以.因为数列为递增数列，则，即从第二项开始，各项均为正数，又因为恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，所以，则有，解可得.综上可得，所以实数的取值范围是．故选D． 7、ABD【解析】设等差数列的公差为，由是与的等比中项，得，即，解得，故AB正确； 则，，，所以，又随的增大而减小，所以数列是递减数列，故C错误； 当时，，所以的最大值为8，故D正确.故选ABD. 8．CD【解析】对于选项A，由，得，由，得，所以，所以，故A错误； 对于选项B，由选项A的分析知，，故B错误； 对于选项C，因为，，，所以数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确； 对于选项D，由选项A的分析知，，，，所以，且，即，所以，故D正确.故选CD. 9． ABC【解析】设{an}的公差为d．由S5＝＝5a3＝35，得a3＝7，又a2＝4，所以d＝3，a1＝1，所以an＝3n－2，Sn＝． 对于选项A，nan＝n(3n－2)＝32－，故当n＝1时，nan取最小值1，故A正确； 对于选项B，nSn＝，令f(x)＝x3－x2，则f′(x)＝x2－x，可知f(x)在区间上单调递增，所以当n＝1时，nSn取得最小值1，故B正确； 对于选项C，＝n－，显然为递增数列，故C正确； 对于选项D，＝－＋，因为＝1，＝1，所以不是递减数列，故D错误．故选ABC. 10、90【解析】由数列{an}为等差数列，知S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16为等差数列．又S4＝2，S8＝12，则S8－S4＝10，故S12－S8＝18，S16－S12＝26，S20－S16＝34，即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56，S20＝34＋S16＝90． 11、16【解析】因为S15＝5(a2＋a6＋ak)，所以＝5(a2＋a6＋ak)，即15a8＝5(a2＋a6＋ak)，因此3a8＝a2＋a6＋ak，所以3(a1＋7d)＝a1＋d＋a1＋5d＋a1＋(k－1)d．由题意知d≠0，所以15＝k－1，所以k＝16． 12．80π【解析】 由题意，可知每段圆弧的圆心角为，设第n段圆弧的半径为rn，则rn＋1＝rn＋1，r1＝1，故数列{rn}是首项r1＝1，公差d＝1的等差数列，则rn＝1＋n－1＝n，则“蚊香”的长度为r1＋r2＋…＋r15＝(r1＋r2＋…＋r15)＝×＝80π． 13．【解】（1）当n＝1时，由条件得a1－a1＝2，所以a1＝4．当n＝2时，由条件得(a1＋a2)－a2＝5，所以a2＝2．因为Sn－an＝n2＋1，所以Sn－1－an－1＝(n－1)2＋1(n≥2)，两式相减得an－an＋an－1＝2n－1，即an＋an－1＝4n－2，所以(an＋1＋an)－(an＋an－1)＝[4(n＋1)－2]－(4n－2)＝4，从而数列{an＋1＋an}为等差数列． （2）由(1)知an＋an－1＝4n－2，数列{an＋1＋an}为等差数列，首项为a1＋a2＝6，所以S20＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＝＝＝420． 14、【解】（1）由已知，得，所以. （2）由得，则，所以，即，于是有，并且有，所以，即，而是正整数，则对任意正整数都有，所以数列是等差数列，因为，，所以公差所以通项公式是. . 学科网（北京）股份有限公司 $