课后作业41 等差数列-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题与模拟题为载体，系统整合等差数列通项公式、前n项和公式及性质应用，通过题型分层实现从概念理解到综合应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|3题|基本量法（a1,d）、Sn与an互化|从定义出发，通过方程思想建立量间关系| |性质综合|5题|等差中项、片段和性质、绝对值求和|性质推导基于定义，应用于简化计算| |实际应用|2题|数学建模（座位排列、天坛石板）|将实际问题抽象为等差数列模型| |证明与综合|2题|定义法证明、Sn最值求法|融合函数思想与方程思想，深化逻辑推理|

课后作业(四十一)　等差数列 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共88分 一、单项选择题 1．(2025·江西萍乡三模)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的公差为d，S4＝7S1，则a8＝ (　　) A．7d B．8d C．9d D．10d 2．(2026·广东深圳开学考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＝a5＋a7，S4＝34，则a5＝ (　　) A．8 B．9 C．10 D．11 3．(2026·辽宁大连模拟)已知数列{an}满足＝ (　　) A．12 B．16 C．18 D．20 4．(2024·九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝ (　　) A．120　　 B．140　　 C．160　　 D．180 5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝ (　　) A． 6．(2026·湖南长沙模拟)某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为 (　　) A．18 B．19 C．20 D．21 7．(2026·湖北重点中学模拟)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝ (　　) A． 8．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) (　　) A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 二、多项选择题 9．(2025·广东茂名二模)等差数列{an}中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2．记数列{an}的前n项和为Sn，下列选项正确的是 (　　) A．数列{an}的公差为2 B．Sn取最小值时，n＝6 C．S4＝S7 D．数列{|an|}的前10项和为50 10．(2025·江苏南京二模)已知数列{an}中，a3＝，an－an+1＝－3an+1an，n∈N*，其前n项和为Sn，则 (　　) A．a1＝ C．an≥a7 D．S10<0 三、填空题 11．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝___________． 12．在等差数列{an}中，a2＝，a3＋a4＝4，设bn＝[an]，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.2]＝0，[3.5]＝3，则数列{bn}的前6项和S6＝___________． 四、解答题 13. (13分) (2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1． (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 14．(13分)(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d． 课后作业(四十一) 1．C　2．D 3．B　[由＝2可得是公差为2的等差数列，故＋5×2＝16．故选B．] 4．C　[因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝＝8(a5＋a12)＝160．故选C．] 5．B　[由等差数列的性质知S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15，…是等差数列．由，可设S5＝t(t≠0)，则S10＝3t，于是S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15，…依次为t，2t，3t，4t，…，所以S20＝t＋2t＋3t＋4t＝10t，所以．] 6．C　[设第一排安排的座位数为a1，因为从第2排起后一排都比前一排多2个座位，所以每排座位数构成一个公差d＝2的等差数列{an}，且该数列的前21项和S21＝840，即S21＝21a1＋×2＝840，解得a1＝20．故选C．] 7．D　[因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，所以， 因为，所以可设Sn＝kn2，Tn＝kn(2n＋1)，则S5－S4＝9k，T4－T3＝15k， 所以．故选D．] 8．C　[由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n．设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝3 402．故选C．] 9．AD　[对于A，设等差数列{an}的公差为d，则由题意知 解得故A正确； 对于B，an＝－9＋2(n－1)＝2n－11， Sn＝－9n＋×2＝n2－10n＝(n－5)2－25， 则当n＝5时，Sn取最小值－25，故B错误； 对于C，S4＝42－10×4＝－24，S7＝72－10×7＝－21，则S4≠S7，故C错误； 对于D，数列{|an|}的前10项和为|－9|＋|－7|＋|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＋7＋9＝50，故D正确．故选AD．] 10．ABD　[由an－an+1＝－3anan+1，得＝－3，所以数列是以－3为公差的等差数列，故＋2×(－3)，又a3＝＝14，得a1＝，故A正确；＋(－3)(n－1)＝17－3n，得an＝，故B正确；令＝17－3n＝0，解得n＝，对于an＝，a1，a2，a3，a4，a5为正，且依次递增；a6，a7，…，an为负，且依次递增，所以an≥a6，故C错误； S10＝a1＋a2＋…＋a10＝－1－<＝0，故D正确． 故选ABD．] 11．2 12．10　[设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a4＝2a2＋3d＝＋3d＝4，即d＝，所以an＝a2＋(n－2)d＝n，故a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝3，所以b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝2，b6＝3，则数列{bn}的前6项和S6＝10．] 13．解：(1)证明：因为＋n＝2an＋1， 即2Sn＋n2＝2nan＋n，① 当n≥2时，2Sn-1＋ ＝2an-1＋，② ①－②得，2Sn＋n2－2Sn-1－＝2nan＋n－2an-1－， 即2an＋2n－1＝2nan－2an-1＋1， 即2an－2an-1＝2， 所以an－an-1＝1，n≥2且n∈N*， 所以是以1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8， 又a4，a7，a9成等比数列，所以＝a4 ·a9 ， 即，解得a1＝－12， 所以Sn＝－12n＋n2－n＝， 所以当n＝12或n＝13时，Sn有最小值，＝－78． 14．解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d， 所以an＝nd． 因为bn＝，所以bn＝， 所以S3＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝． 因为S3＋T3＝21， 所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝， 因为d>1，所以d＝3． 所以{an}的通项公式为an＝3n． (2)因为bn＝，且{bn}为等差数列， 所以2b2＝b1＋b3，即2×， 所以， 所以－3a1d＋2d2＝0， 解得a1＝d或a1＝2d． ①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝， S99＝＝99×50d， T99＝＝． 因为S99－T99＝99， 所以99×50d－＝99， 即50d2－d－51＝0， 解得d＝或d＝－1(舍去)． ②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝， S99＝＝99×51d， T99＝＝． 因为S99－T99＝99， 所以99×51d－＝99， 即51d2－d－50＝0， 解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去)． 综上，d＝． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $