第五章 课时作业5 复数-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题与模拟题为载体，系统覆盖复数概念、运算、几何意义及性质，融合数学眼光（几何直观）与数学思维（推理运算），构建“概念-运算-应用”的完整训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|多选题7、9|纯虚数判定、共轭复数性质推理|从复数定义出发，通过命题判断深化概念内涵| |代数运算|单选1-4、填空10-11|加减乘除法则、i幂运算规律|以四则运算为基础，结合高考真题强化运算准确性| |几何意义|单选5、填空12|模的轨迹法（圆）、最值求解|从复平面点表示到模的距离转化，体现数形结合| |综合应用|解答题13-14|参数分类讨论、代数几何综合|整合概念与运算，解决含参数复数问题，培养数学语言表达|

课时5 复数 一、单选题 1．（2025·全国甲卷） 设，则（ ） A. B. C. 10 D. 2．（2026·湖南长沙市模拟）已知是虚数单位，则复数的值是（ ） A. 1 B. C. i D. 3．（2025·北京高考）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 4．（2026·浙江温州市模拟）在复平面内，复数对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 5．已知复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为(　　) A．1 B.－1 C.＋1 D．3 6. (2026·河南安阳市模拟)欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数z＝eθi＝cos θ＋isin θ(i是虚数单位).已知复数z1＝1－i，z2＝(1＋i)，设eαi＝z1z2，则α的值可能是(　 　) A．－ B．－ C． D． 二、多选题 7.（2026·江苏南京市期初）已知复数，下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若，则 D. 若，则 8.(2026·宁夏银川市模拟)若复数z满足z(1－2i)＝10，则有(　　) A.＝2－4i B．z－2是纯虚数 C．复数z在复平面内对应的点在第三象限 D．若角α的始边为x轴非负半轴，复数z对应的点在角α的终边上，则sin α＝ 9、设z1，z2是复数，则下列命题为真命题的有(　 　) A．若|z1－z2|＝0，则＝ B．若z1＝，则＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2· D．若|z1|＝|z2|，则z＝z 三、填空题 10、已知i 是虚数单位，则　 　 ． 11.（2025·天津高考）已知i是虚数单位，则　 　 ． 12．(2026·河北邢台市模拟)已知i是虚数单位，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，则|z－3＋i|的最小值为 . 四、解答题 13.已知复数 （1）若,且，求实数的值； （2）若为纯虚数，且，求复数z的模． 14. (2026·浙江宁波市期末)已知复数，，其中i为虚数单位． (1)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数a的取值范围； (2)若，求z的共轭复数 课时5 复数参考答案 1．A【解析】由，则.故选A. 2．D【解析】根据复数乘方运算，有.故选D. 3．B【解析】，所以.故选B. 4．C【解析】由题意，可知，所以.故选C. 5．B【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－2|＝|x－2＋yi|＝＝1，所以(x－2)2＋y2＝1，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x－2)2＋y2＝1，如图， 又|z－i|＝|x＋(y－1)i|＝，所以|z－i|表示圆C上的动点到定点A(0,1)的距离，所以|z－i|min＝CA－1＝－1.故选B. 6. B【解析】z1＝2＝2，z2＝＝，z1z2＝ ＝＋i＝cos＋ isin＝e.依题意，α＝－＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，α＝－，故B正确，A，C，D错误．故选B. 7.AB【解析】对于选项A，设，由得，则也是实数，正确； 对于选项B，设，由得，那么的虚部为，正确； 对于选项C，若，则，此时，错误； 对于选项D，若，为实数，所以不一定是实数，错误.故选AB. 8.AB【解析】对于选项A，z＝＝＝2＋4i，所以＝2－4i，故A正确； 对于选项B，z－2＝2＋4i－2＝4i，为纯虚数，故B正确； 对于选项C，z＝2＋4i，其在复平面内对应的点为(2,4)，在第一象限，故C错误； 对于选项D，复数z在复平面内对应的点为(2,4)，则sin α＝＝，故D错误．故选AB. 9、ABC【解析】 对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以＝为真； 对于选项B，若z1＝，则z1和z2互为共轭复数，所以＝z2为真； 对于选项C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，若|z1|＝|z2|，则＝，即a＋b＝a＋b，所以z1·＝a＋b＝a＋b＝z2·，所以z1·＝z2·为真； 对于选项D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|，而z＝1，z＝－1，所以z＝z为假．故选ABC. 10、【解析】根据复数的除法运算法则，可得. 11.【解析】因为，所以 ． 12．4【解析】因为z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－i＝a＋(b－1)i，z＋2－i＝(a＋2)＋(b－1)i.由|z－i|＝|z＋2－i|，可得，解得a＝－1，则z＝－1＋bi，所以z－3＋i＝－4＋(b＋)i，因此|z－3＋i|＝≥4，当且仅当b＝－时，等号成立，故|z－3＋i|的最小值为4. 13.【解】（1）当m=－1时，(2－3i)z1+z2=(2－3i)(1－i)+2+3i=1－2i=x+yi，故 （2），若为纯虚数，则， 解得，z=z1－i=－2－i，. 14.【解】(1) 因为复数，，所以.因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以解得.所以实数a的取值范围是. (2) 因为，所以  . 学科网（北京）股份有限公司 $