第五章 课时作业4 平面向量的综合运用-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量数量积、模、夹角等核心概念，通过几何与代数结合的题型设计，系统训练运算能力与推理意识，体现数学思维的逻辑性与数学语言的应用价值。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|8（单选1-6、填空10-11）|数量积、模、坐标运算|从定义到坐标表示的推导，强化运算准确性| |几何应用|6（单选2-3、多选7-9、填空12）|结合菱形、矩形等图形|向量运算与几何性质转化，培养几何直观| |综合应用|2（解答13-14）|垂直、投影与三角函数综合|知识交叉运用，提升推理与模型构建能力|

课时4 平面向量的综合运用 一、单选题 1、已知向量a，b夹角的余弦值为－，且|a|＝4，|b|＝1，则 (a－b)·(b－2a)＝(　　) A.－36 B.－12 C.6 D.36 2、已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　) A. －a2 B. －a2 C. a2 D. a2 3.如图，在平行四边形中，，点E满足，则（    ）． A． B． C． D． 4、(2026·四川绵阳市模拟)若向量，满足，，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 5.平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1，0)的夹角是钝角，则b＝(　　) A.(－3，－4) B.(4，3) C.(－4，3) D.(－4，－3) 6.已知向量，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7、设向量a＝(1，－1)，b＝(2，0)，则下列说法正确的有(　　) A. |a－b|＝|a| B. (a－b)∥a C. (a－b)⊥a D. a在b上的投影向量为(1，0) 8．(2026·湖北武汉市调研)设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的有(　　) A.若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b B.若|a|＝|b|，则(a＋b)⊥(a－b) C.若a·c＝b·c，则a－b不与c垂直 D.(b·c)a－(a·c)b不与c垂直 9、矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，动点P满足＝λ＋μ，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列说法正确的有(　　) A．若μ＝1，则△ABP的面积为定值 B．若λ＝1，则||的最小值为4 C．若μ＝，则满足⊥的点P不存在 D．若λ＝，μ＝，则△ABP的面积为 三、填空题 10、已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，0)，e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为________（用e表示）. 11、（2026·重庆模拟）已知向量满足，则 12、(2026·云南曲靖市第一中学期末)已知在菱形ABCD中，，若点M在线段AD上运动，则的取值范围是 ． 四、解答题 13.已知平面内两个不共线的向量a，b，其中a＝(1，2)，|b|＝2. (1)若(a＋2b)⊥(2a－b)，求向量a与向量b夹角的余弦值； (2)若向量a在向量b上的投影向量为－b，求向量b的坐标． 14．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈[0，]. (1) 若|a|＝|b|，求x的值； (2) 设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 课时4 平面向量的综合运用参考答案 1、A【解析】(a－b)·(b－2a)＝a·b－2a2－b2＋2a·b＝3a·b－b2－2a2＝3×4×1×－1－2×16＝－36.故选A. 2、D【解析】由题知·＝(＋)·＝a2.故选D. 3.A【解析】由题意知，点满足，可得，则.故选A. 4、B【解析】因为，所以，所以，所以，其中是的夹角，所以.故选B. 5.D【解析】设b＝(x，y)，则由题意得即解得或 设c＝(1，0)，当b＝(4，3)时，cos〈b，c〉＝＝>0，又因为向量的夹角范围为[0，π]，故此时夹角为锐角，舍去；当b＝(－4，－3)时，cos〈b，c〉＝＝－<0，故此时夹角为钝角，符合题意.故选D. 6.D【解析】，，，. ，因此，.故选D. 7、ACD【解析】因为a＝(1，－1)，b＝(2，0)，故|a|＝，a－b＝(－1，－1)，所以|a－b|＝＝，故A正确； 因为(－1)×(－1)－(－1)×1＝2≠0，故(a－b)，a不平行，故B错误； 因为(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，故(a－b)⊥a，故C正确； 由于a·b＝1×2＋(－1)×0＝2，|b|＝2，故a在b上的投影向量为·＝·＝ (1，0)，故D正确．故选ACD. 8．AB【解析】a，b，c是三个非零向量，对于选项A，|a＋b|＝|a－b|两边平方得(a＋b)2＝ (a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，则a⊥b，故A正确； 对于选项B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，因为|a|＝|b|，所以(a＋b)·(a－b)＝0，故(a＋b)⊥(a－b)，故B正确； 对于选项C，a·c＝b·c，故a·c－b·c＝(a－b)·c＝0，则a－b与c垂直，故C错误； 对于选项D，[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，故(b·c)a－(a·c)b与c垂直，故D错误.故选AB. 9、ACD【解析】以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则点B(0，2)，D(4，0)，A(0，0)， 则＝(0，2)，＝(4，0).因为＝λ＋μ＝λ(0，2)＋μ(4，0)＝(4μ，2λ)，即点P(4μ，2λ).对于选项A，当μ＝1时，P(4，2λ)，则点P到直线AB的距离为4，则S△ABP＝|AB|· 4＝×2×4＝4，故A正确； 对于选项B，当λ＝1时，P(4μ，2)，则＝(4μ－4，2)，因为0≤μ≤1，则－4≤4μ－4≤0，则 ||＝≥2，当且仅当μ＝1时，等号成立，故B错误； 对于选项C，当μ＝时，则P(2，2λ)，＝(－2，－2λ)，＝(－2，2－2λ)，·＝ 4－2λ(2－2λ)＝4λ2－4λ＋4＝(2λ－1)2＋3>0，所以若μ＝，则满足⊥的点P不存在，故C正确； 对于选项D，若λ＝，μ＝，则P，此时，点P到直线AB的距离为，则S△ABP＝AB·＝×2×＝，故D正确．故选ACD. 10、－2e 【解析】设a与b所成的角为θ，则cos θ＝＝＝－，故a在b上的投影向量为(|a|cos θ)e＝－2e. 11、【解析】可得，故. 12、【解析】，记的交点为，以为原点，所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，， 故，，则，故，又则． 13.【解】(1)因为a＝(1，2)，所以|a|＝＝.因为(a＋2b)⊥(2a－b)，所以(a＋2b)· (2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝2×()2＋3a·b－2×22＝2＋3a·b＝0，所以a·b＝－，则cos〈a，b〉＝＝＝－. (2) 由题意，得|a|·cos〈a，b〉＝－1，则cos〈a，b〉＝－.设b＝(x，y)，则 解得 或 所以b＝ 或 b＝(－2，0) . 14．【解】(1) 由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sin x)2＝1，|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝. (2) f(x)＝a·b＝sin x cos x＋sin2x＝sin2x－cos 2x＋＝sin＋，当 x＝∈时，sin取得最大值1，所以f(x)的最大值为. . 学科网（北京）股份有限公司 $