平面向量的数量积、坐标运算、以数量积为背景的最值问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

平面向量的数量积、坐标运算、以数量积为背景的最值问题专项训练 平面向量的数量积、坐标运算、以数量积为背景的最值问题专项训练 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 以数量积为背景的最值问题 考点一 平面向量的数量积 例1．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 两式相减得，即. 又，所以，所以，从而. 故选：B. 例2．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 例3．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，由于， 可得：， 又，可得：. 故选：D 例4．（25-26高三上·广东惠州·月考）已知向量与的夹角为，，，则 【答案】2 【详解】， 又， 所以，则. 故答案为：2 例5．（25-26高三上·贵州·月考）已知向量垂直，且，，则 ． 【答案】 【详解】由题意，，，， 则. 故答案为：. 例6．（25-26高三上·北京西城·月考）在梯形中，，，，则 ． 【答案】12 【详解】方法一：过点作. 因为，所以梯形为等腰梯形，所以，. 在中，. 在中，, . 所以. 方法二：过点作. 以点为原点，，所在直线为轴、轴建立直角坐标系， 因为，所以梯形为等腰梯形，所以，. 在中，. 所以，，， ，， 所以. 故答案为：12. 例7．（2025高二上·辽宁营口·学业考试）已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 即， ， 解得. 又，. （2） . 变式1．（25-26高三上·湖南常德·月考）设单位向量，的夹角为，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得， ， ， 因此在上的投影向量为. 故选：B 变式2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为， 则， 又因为向量夹角的范围为，所以两两的夹角相等，且为， 所以. 故选：B. 变式3．（2025·云南·一模）在中，为的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．11 B．14 C． D． 【答案】D 【详解】 因为N为的中点，则，所以． 如图，分别取线段的中点为，因为M为的外接圆圆心， 所以，则 ， ， 因此． 故选：D． 变式4．（25-26高三上·天津·月考）已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为 ． 【答案】 【详解】在上的投影向量为，则， 因，则，则， 因，则， 则平面向量和的夹角为. 故答案为：. 变式5．（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】0 【详解】在正方形中，，且， ，， . 故答案为：0. 变式6．（25-26高三上·湖北咸宁·月考）已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【详解】由，，得，. 由， 所以， 所以. 故答案为： 变式7．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知平面向量，且.求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2)1. 【详解】（1）因 则 可得； （2）因， ， 设向量与的夹角为， 则. 考点二 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知平面向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，解得，即，可得. 故选：A. 例2．（2025·云南·模拟预测）已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】设向量与的夹角为， 因为，，所以， 所以，故. 故选：C. 例3．（25-26高三上·天津·月考）平面向量，，，其中，则下列正确的是（   ） ①        ②若，则 ③        ④若，则 A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【详解】对于①， 因为，所以. 同理，， ，①正确； 对于②，由，两边平方得. 因为，所以，即. 当时，，不满足等式，故②不正确； 对于③， ，， 由和差化积公式得， 所以，③正确； 对于④，由得. 结合③的结论得，，因为为非零向量，故， 所以又，所以，故④正确. 综上，①③④正确. 故选：D. 例4．（25-26高三上·福建·月考）若向量，且，则 . 【答案】/ 【详解】由题意可得，则，解得. 故答案为：. 例5．（2025·安徽·二模）已知向量，，则在方向上的投影向量的模为 ． 【答案】 【详解】因为，，则在方向上的投影向量的模为． 故答案为： 例6．（25-26高二上·贵州·期中）已知向量，满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 设，则，且． 因为，所以，即的取值范围是． 故答案为： 例7．（2025高三上·江苏·学业考试）已知点，向量. (1)求向量与的夹角； (2)若点在轴上，且，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）， 又，所以， 则向量与的夹角； （2）设， ，， ， ， 解得或， 所以点的坐标为或． 变式1．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】. . 由，得， 即, 展开并化简：，即，解得. 故选：A 变式2．（2025·河北·模拟预测）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，而， 因此，所以. 故选：B 变式3．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，， 所以. 故选：A 变式4．（2025·江苏·模拟预测）已知向量，若与的夹角的余弦值为，则 . 【答案】 【详解】设与的夹角为， 由夹角公式得，解得. 故答案为： 变式5．（25-26高三上·福建·月考）已知向量，，若，则 ． 【答案】/0.5 【详解】因为向量，，所以. 因为，所以， 所以，解得. 故答案为：. 变式6．（25-26高三上·福建福州·月考）已知向量，向量满足，则的最大值是 . 【答案】6 【详解】因为向量，则，且， 可得，当且仅当与反向时，等号成立， 所以的最大值是6. 故答案为：6. 变式7．（25-26高二上·重庆·期中）已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得：，， 则， ∵，∴向量与的夹角为． （2）， ∵与夹角为锐角，∴且与不共线. 由，可得，解得① 当与共线时，存在实数，使得. 即，解得，∵与不共线，∴②， 由①②得. 考点三 以数量积为背景的最值问题 例1．（25-26高三上·重庆·月考）如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】D 【详解】要使最大，与的夹角小于， 当点在弧上时，， 当点在弧上时，， 当点在弧上时，取线段中点为， 则 ， 所以当与同向时，， 此时最大值为， 故选：D. 例2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 令， 则， ∴， 当且仅当，即2（此时）时等号成立． 即的最大值为． 故选：C． 例3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知是边长为4的等边三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最大值是（　　） A．8 B．8 C． D．12 【答案】D 【详解】如图，取等边的中心为，的中点为， 则， 因为， 所以，则， 故点在以为圆心，1为半径的圆上． 过作交圆于点，且与方向相同， 由向量数量积的几何意义知，当点与点重合时，取最大值， 此时，过点作的垂线，垂足为，易知， 所以． 故选：D． 例4．（25-26高三上·上海·期中），若平面向量满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】如图，设， 因为， 所以，故， 如图，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设，由得，由，得, 故. 由，得， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示两点间的距离， 所以的最大值为. 故答案为：. 例5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知平面向量 满足 ，则 的最大值是 . 【答案】5 【详解】已知 且 ， 由点积公式 ，所以夹角 ， 设 ，因为 ， ，设 ， 则 ，解得 ，不妨取 ， 设 ，则 ， 由 ，得 ，化简得 ， 即向量 对应的点的轨迹是以 为圆心，半径为 1 的圆， 则 ，需在圆上求 的最大值， 因为圆心横坐标为 ，半径 1， 故 的最大值为 ， 因此 的最大值为 ，即 的最大值为5， 故答案为: 5 . 例6．（24-25高三上·北京·月考）已知，，，．若，则的最大值为 ． 【答案】3 【详解】因为，所以以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系， 因为，所以， 则， 因为，所以， 又，即， 所以， 因为，即， 平方化简为， 设，则， 所以的最大值为. 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·上海·开学考试）在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（    ）. A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】设与的夹角为， 因为，， 所以， 所以， 因为是平面内垂直的单位向量，所以，所以， 因为，所以， 即当与的夹角为0时，. 故选：B 变式2．（2025·四川遂宁·模拟预测）若点为的外心，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点为的外心， 所以， 因为， 即， 即，即， 化简得， 可知，化简得， 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 因为，，所以， 所以的最大值为. 故选：C. 变式3．（25-26高三上·北京·月考）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】连接、、、，则为的中点， 由正六边形性质得，，而， 因此 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：B 变式4．（25-26高二上·湖北荆州·月考）如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为 .    【答案】4 【详解】因为，， 所以， 因为为等边三角形，，所以， 设向量，的夹角为， 则， 所以， 又当时，因为，故，， 因为，所以， 此时，的夹角为，等号成立， 所以的最大值为， 故答案为： 变式5．（2025·上海奉贤·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】因为和是互相垂直的单位向量，所以设， 向量满足，表示以为圆心，半径为1的圆， ， 向量满足， 表示长轴为，焦距的椭圆，且为椭圆焦点， 因为表示以为圆心，半径为1的圆上的点到椭圆上的点距离， 则. 故答案为：16． 变式6．（2025·四川南充·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为 ． 【答案】4 ，由辅助角公式表示出的最大值，再由二次函数的性质求出答案. 【详解】因为和是互相垂直的单位向量，所以设，， 设，由可得： ， 表示动点到两点的距离之和为， 则， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，， 则点的轨迹方程为：， 设，由可得：， 表示动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以动点的轨迹方程为， 所以可设，， ， 所以，， 所以 ，其中， 所以当时，的最大值为， ， 当时，的最大值为. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量的数量积、坐标运算、以数量积为背景的最值问题专项训练 平面向量的数量积、坐标运算、以数量积为背景的最值问题专项训练 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的坐标运算 以数量积为背景的最值问题 考点一 平面向量的数量积 例1．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知为单位向量，且，若，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·广东惠州·月考）已知向量与的夹角为，，，则 例5．（25-26高三上·贵州·月考）已知向量垂直，且，，则 ． 例6．（25-26高三上·北京西城·月考）在梯形中，，，，则 ． 例7．（2025高二上·辽宁营口·学业考试）已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 变式1．（25-26高三上·湖南常德·月考）设单位向量，的夹角为，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知两两不共线的三个平面向量满足：，使得，则（    ） A．3 B． C． D． 变式3．（2025·云南·一模）在中，为的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．11 B．14 C． D． 变式4．（25-26高三上·天津·月考）已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为 ． 变式5．（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 变式6．（25-26高三上·湖北咸宁·月考）已知向量，满足，，且，则 . 变式7．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知平面向量，且.求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值. 考点二 平面向量的坐标运算 例1．（25-26高三上·江苏淮安·月考）已知平面向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·云南·模拟预测）已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（   ） A．1 B． C． D．2 例3．（25-26高三上·天津·月考）平面向量，，，其中，则下列正确的是（   ） ①        ②若，则 ③        ④若，则 A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 例4．（25-26高三上·福建·月考）若向量，且，则 . 例5．（2025·安徽·二模）已知向量，，则在方向上的投影向量的模为 ． 例6．（25-26高二上·贵州·期中）已知向量，满足，，则的取值范围是 ． 例7．（2025高三上·江苏·学业考试）已知点，向量. (1)求向量与的夹角； (2)若点在轴上，且，求点的坐标. 变式1．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 变式2．（2025·河北·模拟预测）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·江西鹰潭·月考）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2025·江苏·模拟预测）已知向量，若与的夹角的余弦值为，则 . 变式5．（25-26高三上·福建·月考）已知向量，，若，则 ． 变式6．（25-26高三上·福建福州·月考）已知向量，向量满足，则的最大值是 . 变式7．（25-26高二上·重庆·期中）已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 考点三 以数量积为背景的最值问题 例1．（25-26高三上·重庆·月考）如图，在直角梯形中，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是（    ） A．8 B．16 C． D． 例2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知是边长为4的等边三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最大值是（　　） A．8 B．8 C． D．12 例4．（25-26高三上·上海·期中），若平面向量满足，则的最大值为 . 例5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知平面向量 满足 ，则 的最大值是 . 例6．（24-25高三上·北京·月考）已知，，，．若，则的最大值为 ． 变式1．（25-26高二上·上海·开学考试）在同一个平面上，已知是两个相互垂直的单位向量，向量满足，则的最大值等于（    ）. A．1 B． C． D．2 变式2．（2025·四川遂宁·模拟预测）若点为的外心，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·北京·月考）如图，正六边形的边长为 ，半径为 1 的圆 的圆心为正六边形的中心，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于圆心 对称，则 的最大值为（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 变式4．（25-26高二上·湖北荆州·月考）如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为 .    变式5．（2025·上海奉贤·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值是 ． 变式6．（2025·四川南充·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最大值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $