第五章 课时作业1 平面向量的概念与线性运算-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习同步练，聚焦平面向量的概念与线性运算，以分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|向量概念、线性运算基础|单选题（6题）考概念辨析（如向量相等与共线）、简单线性表示（如平行四边形中点问题）| |综合应用|多知识点结合、辨析推理|多选题（3题）考共线向量性质、三点共线判断；填空题（3题）考参数计算（如向量共线求k值）| |深化提升|复杂情境与综合推理|解答题（2题）考向量表示与共线证明（如△OBC中向量关系）、参数最值（如三点共线求xy最大值）|

课时1 平面向量的概念与线性运算 一、单选题 1.(2026·甘肃平凉市模拟)在平行四边形中，为的中点，为上一点，则（    ） A． B． C． D． 2.下列说法正确的是(　 　) A．若a＝b，则3a>2b B．若a和b都是单位向量，则a＝b C.若a∥b，b∥c，则a∥c D．若|a－b|＝|a|－|b|，则a∥b 3.(2026·四川乐山市期末)在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2DA.记＝m，＝n，则=(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 4、(2026·河北辛集中学模拟)如图，梯形ABCD的腰CD的中点为E，且BC＝3AD，记＝m，＝n，则＝(　 ) A．－m＋2n B．m＋2n C．－2m＋n D．－m＋n 5.已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R).若A，B，C三点共线，则(　 　) A．λμ＝1 B．λμ＝－1 C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2 6.已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，＝3e1－6e2，则(　 　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 二、多选题 7.下列命题不正确的有(　　) A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与共线，则A，B，C，D四点共线 C．若非零向量a与b共线，则a＝b D．若四边形ABCD是平行四边形，则必有||＝|| 8.（2026·山东滨州市模拟）如图，在△ABC中，已知D，E分别为边BC，AC的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，则有(　　) A． B． C． D． 9.(2026·江西景德镇一中期末)已知在平面内，是直线外一点，是直线上给定的两点，是直线上的动点，且满足，则下列说法正确的有（    ） A．当时，C为线段的中点 B．当C为线段的三等分点时， C．当时，点C在线段上 D．当点C在线段的延长线上时， 三、填空题 10、已知e1，e2不共线，向量a＝3e1－2e2，b＝ke1＋6e2，且a∥b，则实数k＝__ __． 11、（2026·湖北荆州市模拟）在□ABCD中，AC与BD交于点O，点E为AO中点．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝__ __． 12．在△ABC中，D是BC的中点，直线l分别与AB，AD，AC交于点M，E，N，且＝，＝2，＝λ，则λ＝__ __． 四．解答题 13.(2026·四川自贡市月考)如图，在△OBC中，A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点，设＝a，＝b． (1) 用向量a与b表示向量，； (2) 若＝，试判断C，D，E三点是否共线，并说明理由． 14.已知向量a，b不共线，＝a＋2b，＝2a－b，＝xa＋yb(x，y∈R). (1)若＝－2，求x，y的值； (2)若A，B，C三点共线，求xy的最大值． 课时1 平面向量的概念与线性运算参考答案 1.A【解析】因为为的中点，则，所以. 故选A. 2.D【解析】因为向量不能比较大小(除非相等)，故A错误； 单位向量模都为1，方向任意，故B错误； 当b＝0时，a和c可能不平行，故C错误； 若|a－b|＝|a|－|b|，则a，b方向相同，所以a∥b，故D正确．故选D. 3.B【解析】因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B. 4、A【解析】因为BC＝3AD，又＋＋＋＝0，所以＝－－－＝－m－3n＋n＝－m－2n．又E为腰CD的中点，所以＝＋＝＋＝3n－m－n＝－m＋2n．故选A. 5.A【解析】因为与有公共点A，所以若A，B，C三点共线，则存在一个实数t，使＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，＝a＋b，此时存在实数，使＝，故与共线．因为与有公共点A，所以A，B，C三点共线．故选A. 6.C【解析】对于选项A，因为＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，不存在实数λ使得＝λ，故A，B，C三点不共线，故A错误； 对于选项B，因为＝e1＋2e2，＝3e1－6e2，不存在实数λ使得＝λ，故A，B，D三点不共线，故B错误； 对于选项C，因为＝＋＝－2e1＋4e2，＝3e1－6e2，则＝－，故A，C，D三点共线，故C正确； 对于选项D，因为＝－3e1＋2e2，＝－－＝－3e1＋6e2－e1－2e2＝－4e1＋4e2，不存在实数λ使得＝λ，故B，C，D三点不共线，故D错误．故选C. 7.ABC【解析】对于选项A，相等向量的始点相同，则终点也一定相同，A不正确. 对于选项B，与共线，只能说明，所在直线平行或在同一条直线上，B不正确. 对于选项C，非零向量a与b共线，则a与b的方向相同或相反，但a与b不一定相等，C不正确. 对于选项D，因为四边形ABCD是平行四边形，所以||＝||，D正确．故选ABC. 8.BD【解析】＝(＋)＝＋，故A错. ＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝＋.B正确. ，C错误. ，D正确.故选BD. 9.AC【解析】由题意，得，故，即. 当时，，即C为线段的中点，A正确. 当点C为线段的三等分点时，C可能是靠近B的三等分点，也可能是靠近A的三等分点， 故或，B错误. 当时，，由于同向，故点C在线段上，C正确. 当点C在线段的延长线上时，反向，故，D错误.故选AC. 10、－9【解析】因为a∥b，所以∃λ∈R，使得b＝λa成立，即ke1＋6e2＝3λe1－2λe2．因为e1，e2不共线，所以解得 11、【解析】＝＋＝＋×＝＋＝λ＋μ，所以λ＋μ＝＋＝． 12．【解析】如图，由＝2，得＝＝(＋)＝＝＋．因为M，E，N三点共线，所以＋＝1，解得λ＝． 13.【解】（1）因为点A是线段BC的中点，点D是线段OB上一个靠近点B的三等分点，所以＝－，＝2，＝．因为＝a，＝b，所以＝＋＝－－＝－a－b，＝＋＝2＋＝2＋(＋)＝＋＝a＋b． （2） C，D，E三点不共线．理由如下：因为＝，所以＝＋＝＋＝－－＝a＋b－b＝a＋b．由(1)知＝a＋b，所以不存在实数λ，使得＝λ， 所以C，D，E三点不共线． 14.【解】 (1)由题意，可得＝－2＝(2a－b)－2(a＋2b)＝－5b，且＝xa＋yb，所以x＝0，y＝－5. (2)若A，B，C三点共线，则＝λ＋(1－λ)，λ∈R，则λ(a＋2b)＋(1－λ)(2a－b)＝(2－λ)a＋(3λ－1)b＝xa＋yb，可得x＝2－λ，y＝3λ－1，则xy＝(2－λ)(3λ－1)＝－3λ2＋7λ－2＝－3＋.当λ＝时，xy取到最大值. . 学科网（北京）股份有限公司 $