第四章 课时作业5 三角函数的图像和性质-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数图象性质，通过三角恒等变换与逻辑推理构建性质应用体系，以题载法培养数学思维与表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |周期与单调性|4题（含2026模拟题）|公式法求周期、复合函数单调性分析|从三角函数定义到性质推导，结合图象直观理解| |图象变换|2题（含多选题）|平移伸缩顺序法则、逆向变换思维|由基本三角函数到复合函数的图象变换逻辑链| |最值与对称性|5题（含2024新课标II卷）|换元法转化二次函数、对称性代数表征|性质应用与代数运算结合，体现数形结合思想| |综合应用|2解答题|三角恒等变换化简、参数求解策略|概念生成-原理推导-综合应用的完整知识脉络|

课时5 三角函数的图象和性质 一、单选题 1．函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 2．下列函数中，以为周期且在区间，上单调递增的是　　 A． B． C． D． 3．函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 4．(2026·安徽安庆市一模)若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于坐标原点成中心对称，则的最小正值是（ ） A. B. C. D. 5．记函数的最小正周期为．若 ，且函数的图象关于点中心对称，则 A． B． C． D． 6、(2026·广东一模)已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题 7、要得到函数y＝cos （2x＋）的图象，只需将函数y＝cos x图象上所有点（　　） A. 向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） B. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 8、（2024·新课标II卷）对于函数和，下列结论正确的有（ ） A. 与有相同零点 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 9．(2026·安徽合肥市模拟)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的有(　　) A．函数f(x)的最小正周期为π B．点是y＝f(x)图象的对称中心 C．点是y＝f(x)图象的对称中心 D．直线x＝是y＝f(x)图象的对称轴 三、填空题 10、函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为 ． 11、函数f(x)＝sin的单调递减区间为________. 12．（2026·四川成都市玉林中学模拟）已知函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________. 四、解答题 13、已知函数f(x)＝sin (2π－x)sin－cos2x＋.求： (1)f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当x∈时，f(x)的最小值和最大值． 14．已知函数f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ，ω＞0，|φ|＜． (1) 若f(0)＝－，求φ的值． (2) 若f(x)在区间上单调递增，且f＝1，再从①②③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值． 条件①：f＝；条件②：f＝－1；条件③：f(x)在上单调递减 课时5 三角函数的图象与性质参考答案 1．B【解析】y＝＝＝cos22x－sin22x＝cos 4x，所以最小正周期.故选B. 2．A【解析】不是周期函数，可排除D；的周期为，可排除C；在处取得最大值，不可能在区间，上单调递增，可排除B．故选A． 3．B【解析】因为f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x＝ －2＋，又sin x∈[－1,1]，所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B. 4．C【解析】，将函数的图象向右平移个单位长度得 的图象.由该函数为奇函数可知，即，所以的最小正值为.故选C. 5．A【解析】，的函数图象关于点中心对称，则有，且，所以，则；解得.由得，，故．故选A. 6、D【解析】由题意，函数的最小正周期满足，即，所以.因为是函数图象的对称轴，所以，解得.又因为，所以.所以，则.故选D. 7、BC【解析】函数y＝cos x的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos的图象，再将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos的图象，B正确； 将函数y＝cos x的图象的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos 2x的图象，再向左平移个单位长度，得到y＝cos，即y＝cos的图象，C正确．故选BC. 8、BC【解析】对于选项A，令，解得，即为零点，令g(x)＝sin=0，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误； 对于选项B，显然，B选项正确； 对于选项C，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； 对于选项D，根据正弦函数的性质，图象的对称轴满足，图象的对称轴满足，显然图象的对称轴不同，D选项错误.故选BC. 9．AD【解析】f(x)＝sin x(sin x－cos x)＝sin2x－sin xcos x＝－sin 2x＝ －sin＋，T＝＝π，故A正确； 当x＝－时，2x＋＝0，此时sin＝0，则函数的图象关于点对称，故B错误； 当x＝时，2x＋＝，此时sin＝1，则函数的图象关于直线x＝对称，故C错误； 当x＝时，2x＋＝，此时sin＝－1，则函数的图象关于直线x＝对称，故D正确.故选AD. 10、－4【解析】因为f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cosx＋1，令t＝cos x，则t∈[－1，1]，所以f(t)＝－2t2－3t＋1.又函数f(t)图象的对称轴为直线t＝－∈[－1，1]，且开口向下，所以当t＝1时，f(t)有最小值－4.综上，f(x)的最小值为－4. 11、，k∈Z【解析】f(x)＝sin的单调递减区间是函数y＝sin的单调递增区间.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所给函数的单调递减区间为，k∈Z. 12．；，k∈Z【解析】若f(x)＝3sin＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z.又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.所以f(x)＝3sin＋1＝3cos 2x＋1.由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心为，k∈Z. 13、【解】(1)由题意，得f(x)＝(－sinx)(－cos x)－cos2x＋＝sinx cos x－cos2x＋＝sin2x－(cos 2x＋1)＋＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，所以f(x)的最小正周期T＝＝π；令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z). (2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，由函数图象(图略)可知，－≤sin≤1. 即0≤sin＋≤.故f(x)的最小值为0，最大值为. 14．【解】（1）因为f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ＝sin(ωx＋φ)，f(0)＝sin φ＝－．因为|φ|＜，所以φ＝－． （2）若选条件①：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，所以f＝无解，故条件①不能使函数f(x)存在． 若选条件②：因为f(x)在上单调递增，且f＝1，f＝－1，所以＝－＝π，所以T＝2π，ω＝＝1，所以f(x)＝sin(x＋φ)．又因为f＝－1，所以sin＝－1，所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z．因为|φ|＜，所以φ＝－．所以ω＝1，φ＝－． 若选条件③：因为f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在x＝－处取得最小值－1，即f＝－1．以下与条件②相同． . 学科网（北京）股份有限公司 $