4.6　三角函数的图象与性质 练习-2027届高考数学一轮专题复习(通用版）

**基本信息** 以题载法系统覆盖三角函数图象变换与性质，通过区域真题构建“概念-性质-应用”逻辑链，培养数学眼光与逻辑思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象变换|3题|相位变换法、平移伸缩规则|从基本变换到复合图象生成| |性质应用|7题|对称性分析、区间相位法、复合函数单调性|奇偶性→周期性→最值/零点的递进| |综合问题|3题|三角恒等变换、参数范围转化|性质与函数、向量的综合应用|

4.6　三角函数的图象与性质 一、 单选题 1 [2025无锡期中]已知函数y＝sin 的图象为曲线C，为了得到函数y＝sin 的图象，只要将曲线C上所有的点(　　) A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 2 [2026镇江丹阳期初]若函数f(x)＝cos (2x＋φ＋)，φ∈R为奇函数，则下列能满足条件的φ的值为(　　) A. － B. － C. D. 3 已知函数y＝cos ，x∈既有最小值也有最大值，则实数t的取值范围是(　　) A. B. C. ∪ D. 4 [2025盐城、南京期末]设函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，若f(x)的图象经过点(0，1)，且f(x)在区间[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、 多选题 5 [2025镇江期中]已知函数f(x)＝cos x·|sin x|，则下列说法中正确的是(　　) A. f(x)是偶函数 B. f(x)的最小正周期为π C. f(x)的最大值为 D. f(x)在区间上单调递增 6 [2026金陵中学月考]已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A. f(x)的最小正周期为π B. f(x)在区间上单调递增 C. f(x)的图象可由g(x)＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数F(x)＝f＋f的最小值为－ 7 已知函数f(x)＝tan ，则下列结论中正确的是(　　) A. f(x)的一个周期为 B. f(x)是增函数 C. f(x)的图象关于点对称 D. 将函数y＝tan 2x的图象向右平移个单位长度可得到f(x)的图象 三、 填空题 8 [2025苏州期中]已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω>0)在区间[0，1]上的取值范围为[m，n]，且n－m＝3，则ω的值为________． 9 [2026南京中华中学学情调研]已知函数f(x)＝cos ωx＋sin ωx－1(ω>0)在区间上有且仅有3个零点，则ω的取值范围为________． 10 [2025淮安一调]已知函数f(x)＝cos x，将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上各点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象．设函数h(x)＝g(x)－2f(x)，若存在x∈R，使2h(x)－m2＋8m≥0成立，则实数m的取值范围为________． 四、 解答题 11 [2025苏州期中]已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，f(x)＝2a·b－1. (1) 求函数f(x)的解析式，写出函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程和对称中心坐标； (2) 试用“五点法”作出函数f(x)在一个周期上的简图(要求列表，描点，连线画图)； (3) 根据(2)中的图象写出函数y＝f(x)(x∈R)的单调增区间、最小值及取得最小值时相应x值的集合． 12 [2025扬州期中]已知函数f(x)＝sin 2x cos φ＋cos 2x cos ，且|f|＝1. (1) 求φ的值及f(x)的单调增区间； (2) 将f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．当x∈(0，π)时，求不等式g<g(x)的解集． 4．6　三角函数的图象与性质 1. A　解析：易知将函数y＝sin 的图象向右平移个单位长度可得y＝sin [2＋]＝sin 的图象． 2. C　解析：由题意，得φ＋＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝，显然φ的值不可能为－，－，. 3. C　解析：因为y＝cos ＝sin πx，x∈，所以πx∈，所以<πt≤或<πt，所以<t≤或 t>. 4. B　解析：因为f(x)的图象经过点(0，1)，所以sin φ＝.又|φ|<，所以φ＝，所以函数f(x)＝2sin (ωx＋)，ω>0.当x∈[0，π]时，ωx＋∈.因为f(x)在区间[0，π]上恰有2个零点，所以2π≤ωπ＋<3π，解得≤ω<，即实数ω的取值范围是. 5. AC　解析：因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝cos (－x)·|sin (－x)|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；因为f(x＋π)＝cos (x＋π)|sin (x＋π)|＝－cos x|sin x|＝－f(x)，所以f(x)的最小正周期不为π，故B错误；易得f(x)≤|sin x cos x|＝|sin 2x|≤，故C正确；由x∈，得sin x≥0，则f(x)＝sin x cos x＝sin 2x.当x∈时，2x∈，则f(x)在区间上单调递增；当x∈时，2x∈，则f(x)在区间上单调递减，故D错误．故选AC. 6. ABD　解析：由图象可知A＝2，＝－＝，则T＝π.又ω>0，T＝，所以ω＝2，所以y＝f(x)＝2cos (2x＋φ).将点代入y＝2cos (2x＋φ)，得cos ＝1，即＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝2cos (2x－＋2kπ)＝2cos (2x－).对于A，f(x)的最小正周期T＝π，故A正确；对于B，令2k1π－π≤2x－≤2k1π，k1∈Z，解得k1π－≤x≤k1π＋，k1∈Z，所以f(x)的单调增区间为[k1π－，k1π＋]，k1∈Z，当k1＝0时，f(x)在区间[－，]上单调递增，故B正确；对于C，将函数y＝2sin 2x 的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应的函数解析式为y＝2sin [2]＝2sin ＝2cos ≠f(x)，故C错误；对于D，由题意，得F(x)＝f＋f(x－)＝2cos (x－)＋2sin 2x＝(cos x＋sin x)＋4sin x cos x．令t＝cos x＋sin x＝sin ，t∈[－，]，则sin x cos x＝，原函数可化为y＝t＋2(t2－1)＝2t2＋t－2＝2(t＋)2－，所以当t＝－时，函数F(x)的最小值为－，故D正确．故选ABD. 7. AC　解析：对于A，f(x)＝tan 的最小正周期T＝，故A正确；对于B，令kπ－<2x－<kπ＋，k∈Z，解得－<x<＋，k∈Z，则f(x)的单调增区间为，k∈Z，故B错误；对于C，f(x)图象的对称中心满足2x－＝＋，k1∈Z，解得x＝＋，k1∈Z，即对称中心为点，k1∈Z，故C正确；对于D，将函数y＝tan 2x的图象向右平移个单位长度可得到y＝tan 的图象，故D错误．故选AC. 　 8. 　解析：由x∈[0，1]，得ωx＋∈.因为f(x)＝2sin 在区间[0，1]上的取值范围为[m，n]，且n－m＝3，所以n＝2，m＝－1.如图，作出f(x)的部分图象．由图可知，ω＋＝，解得 ω＝. 9. 　解析：易得f(x)＝cos ωx＋sin ωx－1＝2sin (ωx＋)－1(ω>0)，令ωx＋＝t，则y＝2sin t－1.由x∈，得t∈.令y＝0，得sin t＝.由题意，得函数y＝2sin t－1在区间(，π)上有且仅有3个零点，则<π≤，解得<ω≤. 10. [－1，9]　解析：由题意，得g(x)＝cos [2(x＋)]＝－sin 2x，则h(x)＝－sin 2x－2cos x，所以h(x)的最小正周期为2π，且h′(x)＝－2cos 2x＋2sin x．令h′(x)＝0，得－2(1－2sin2x)＋2sinx＝0，则sin x＝或sin x＝－1，解得x＝或x＝或x＝.当x∈时，h′(x)<0，所以h(x)在区间上单调递减，当x∈(，)时，h′(x)>0，所以h(x)在区间(，)上单调递增；当x∈时，h′(x)<0，所以h(x)在区间(，)上单调递减；当x∈时，h′(x)<0，所以h(x)在区间上单调递减．又h(0)＝－2，h＝，所以h(x)max＝.因为存在x∈R，使2h(x)－m2＋8m≥0成立，所以9－m2＋8m≥0，解得－1≤m≤9，所以实数m的取值范围为[－1，9]. 11. (1) 由题意，得f(x)＝2a·b－1＝2(sin x cos x＋cos2x)－1＝sin2x＋cos 2x＝2sin ， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π， 当2x＋＝＋k1π，k1∈Z时，x＝＋，k1∈Z， 当2x＋＝k2π，k2∈Z时，x＝－＋，k2∈Z， 故f(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k1∈Z，对称中心的坐标为，k2∈Z. (2) 列表如下： 2x＋ 0 π 2π x － y＝2sin 0 2 0 －2 0 描点，连线，画图如下： (3) 由图象可知f(x)的单调增区间为(k3π－，k3π＋)，k3∈Z，最小值为－2，取最小值时相应x值的集合为{x＋k4π，k4∈Z}． 12. (1) 由题意，得f(x)＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＝sin (2x＋φ), 因为＝1， 所以2×＋φ＝＋k1π，k1∈Z，解得φ＝＋k1π，k1∈Z， 又0<φ<，所以φ＝， 所以f(x)＝sin . 由－＋2k2π≤2x＋≤＋2k2π，k2∈Z， 解得－＋k2π≤x≤＋k2π，k2∈Z. 故f(x)的单调增区间为[－＋k2π，＋k2π](k2∈Z). (2) 由题意，得g(x)＝sin x， 由g<g(x)，得sin <sin x， 所以cos 2x<sin x，所以1－2sin2x<sinx， 即2sin2x＋sinx－1>0，所以sin x>. 又x∈(0，π)，所以<x<， 所以原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $