第三章 课时作业1 导数的概念及运算-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习同步练，聚焦导数的概念及运算，分层梯度清晰，从基础概念到综合应用递进，强化运算能力与几何直观，适配课时目标，助力知识巩固与思维提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|导数定义、基本运算、切线方程基础|直接考查导数计算（如解答13），夯实概念理解| |中档综合|含参数导数、切线与几何图形、导数计算辨析|多选题辨析导数运算正误（如多选7），提升推理能力| |拔高应用|奇偶性与导数结合、二阶导数（凸函数）、过点切线|结合实际情境（如2026·海南期末题），综合应用导数解决最值与切线问题（如解答14（3））|

课时1 导数的概念及运算 一、单选题 1、若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 2．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)=(　　) A．1 B．－9 C．－6 D．4 4．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 5、（2026·海南海口期末）已知函数的定义域为，是偶函数，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．2 D． 6．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 7．下列命题正确的有(　　) A．若f(x)＝xsin x－cos x，则f′(x)＝sin x－xcos x＋sin x B．设函数f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝e C．已知函数f(x)＝3x2ex，则f′(1)＝12e D．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝－ 8、已知函数f(x)＝ex，则下列结论正确的有(　　) A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1 B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1 C．过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条 D．过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条 9．若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．下列函数在上是凸函数的有(　　) A．f(x)＝－x3＋3x＋4 B．f(x)＝ln x＋2x C．f(x)＝sin x＋cos x D．f(x)＝xex 三、填空题 10．（2026·浙江校联考模拟）过点可作的斜率为1的切线，则实数 . 11、 若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值为 . 12．设点P在曲线y=ex上，点Q在直线y=上，则PQ的最小值为 . 四、解答题： 13．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．已知函数.求： （1）斜率为1的曲线的切线方程； （2）曲线在点P（2，4）处的切线方程； （3）曲线过点P（2，4）的切线方程. 课时1 导数的概念及运算参考答案 1、B【解析】由题意知，. 故选B. 2．C【解析】设曲线在点处的切线方程为.因为，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为.故选C. 3．C【解析】f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，则f′(1)＝3＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝12－20＋2＝－6.故选C. 4．A【解析】，所以，故切线方程为，故切线的横截距为，纵截距为，故切线与坐标轴围成的面积为.故选A. 5、C【解析】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则， 当时，，，，则，，即曲线在点处切线的斜率为2.故选C. 6．B【解析】由题意，得，过点作曲线的两条切线，设切点坐标为，则，即.由于，故，.由题意，可知，为的两个解，则，，故.故选B. 7．BD【解析】对于选项A，f′(x)＝sin x＋xcos x＋sin x，故选项A不正确. 对于选项B，f′(x)＝ln x＋1，则f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e，故选项B正确. 对于选项C，f′(x)＝6xex＋3x2ex，则f′(1)＝6e＋3e＝9e，故选项C不正确. 对于选项D，f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，则f′(2)＝4＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－，故选项D正确．故选BD. 8、 AC【解析】因为函数f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex，对于选项A，令f′(x)＝ex＝1，得 x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故A正确； 对于选项B，令f′(x)＝ex＝－1无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故B错误； 对于选项C，因为(0，1)在曲线上，所以点(0，1)是切点，则f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，所以过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故C正确； 对于选项D，设切点(x0，ex0)，则切线方程为y－＝(x－x0)，因为点(0，0)在切线上，所以＝x0，解得x0＝1，所以过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故D错误．故选AC. 9．ABC【解析】对于选项A，f(x)＝－x3＋3x＋4，f′(x)＝－3x2＋3，f″(x)＝－6x，当x∈时，f″(x)<0，故A为凸函数； 对于选项B，f(x)＝ln x＋2x，f′(x)＝＋2，f″(x)＝－，当x∈时，f″(x)<0，故B为凸函数； 对于选项C，f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝－sin， 当x∈时，f″(x)<0，故C为凸函数； 对于选项D，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex，当x∈时，f″(x)>0，故D不是凸函数．故选ABC. 10．2-2ln2【解析】由，设切点的横坐标为.由，解得， 故，由过点且斜率为1的切线方程：.令，得.，即. 11.【解析】设直线y＝kx＋1在曲线y＝ln x上的切点为P(x0，y0).因为y＝ln x，所以y′＝，所以切线斜率k＝，所以曲线y＝ln x在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0).又y0＝ln x0，所以切线方程为y＝·x－1＋ln x0.又切线方程为y＝kx＋1，所以解得 12．【解析】令y'=ex=，得x=-1，代入曲线y=ex中，得P（-1，），所以PQ长的最小值即为点（-1，）到直线y=x的距离d=. 13．【解】（1）. （2）. （3）. （4）. 14.【解】（1）设切点为,所以，得，故所求的切线方程为或 （2）因为点P（2，4）在曲线上且，所以在点P（2，4）处的切线斜率, 所以在点P（2，4）处的切线方程为，即. （3） 设函数与过点的切线相切于点，则切线的斜率为，所以切线方程为，即.因为点 在切线上，所以，即，所以，解得 或，所以所求的切线方程为或. . 学科网（北京）股份有限公司 $