第三章 课时作业6 利用导数研究函数的零点-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 该专项通过导数分析单调性、极值及参数分离等方法，系统构建“导数→函数性质→零点问题”逻辑链条，精选高考模拟与真题，强化数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明零点个数|1题|导数求单调区间+极值+零点存在定理|导数应用→函数单调性极值→零点存在判定| |已知零点个数求参数|1题|导数分析单调性极值+极限趋势|函数性质研究→极值与零点关系→参数范围推导| |方程唯一解|1题|参数分离+构造函数求单调最值|方程转化→函数模型构建→参数取值确定|

课时6 利用导数研究函数的零点 解答题 1、已知函数，证明：函数有两个零点． 2、（2025·江西吉安模拟节选）已知函数.若函数有2个零点，求的取值范围. 3、 (2025·福建厦门市模拟节选)设函数f(x)＝l n x＋x，若方程f(x)＝mx在区间[1，e2]上有唯一实数解，求实数m的取值范围． 4、 （2025·北京高考节选）已知函数， (1)求的导数的最大值； (2)设直线为（）处的切线，直线过A且与垂直，，与x轴的交点分别为与，求的取值范围． 课时6 利用导数研究函数的零点参考答案 1、【证明】由可得，所以．函数有两个零点即函数有两个零点．，当时，，单调递减；当时，，单调递增．又，，0， 所以，．由零点存在定理可得使得，使得，所以函数有两个零点． 2、【解】.若在上单调递增，不满足题意，若，令得，在上单调递减，在上单调递增，且当和时，，故，解得，即的取值范围是. 3、【解】由f(x)＝m x得l n x＋x＝m x，又x>0，所以m＝1＋，要使方程f(x)＝m x在区间[1，e2]上有唯一实数解，只需m＝1＋在区间[1，e2]上有唯一实数解.令g(x)＝1＋，x∈[1，e2]，则g′(x)＝，由g′(x)>0，得1≤x<e；由g′(x)<0，得e<x≤e2，所以g(x)在区间[1，e)上单调递增，在区间(e，e2]上单调递减．又g(1)＝1，g(e2)＝1＋＝1＋，g(e)＝1＋，则函数g(x)＝1＋，x∈[1，e2]的大致图象如图所示． 由图象可知，m＝1＋或1≤m<1＋.故m的取值范围是∪. 4.【解】（1）因为，设，， 由可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，所以直线的方程为,，.所以,由（1）知,当时，，所以,所以. . 【更多资料关注公众号：瀚升学堂】 学科网（北京）股份有限公司 $