第三章 课时作业2 导数与函数的单调性-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数与函数单调性的系统性训练，以“求导→符号分析→单调区间判定”为主线，融合参数讨论与实际应用，培养逻辑推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|3题|定义法求单调区间、导数符号直接判定|导数概念→导数正负与单调性关系| |含参讨论|5题|参数分类讨论、恒成立问题转化|导数应用→含参函数单调性分析| |综合应用|6题|导数图象解读、新定义函数迁移、切线与单调性综合|单调性判定→比较大小/充要条件/实际问题|

课时2 导数与函数的单调性 一、单选题 1.函数f(x)＝xln x的单调递减区间为(　　) A. B. C.(1，＋∞) D.(0，1) 2．（2026·湖南怀化市期末）已知函数的图象如图所示，为函数的导数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3、已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　　) A．f>f>f(1) B．f(1)>f>f C．f>f(1)>f D．f>f(1)>f 6、(2026·山东聊城市模拟)若f(x)＝－x3＋x2＋2ax在(1，＋∞)上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] B.(－∞，0) C.[0，＋∞) D.(0，＋∞) 二、多选题 7．下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的有(　 　) A．y＝x－ B．y＝x＋sin x C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 8、如图为y＝f(x)的导数f'(x)的图象.下列说法正确的有(　　) A.f(x)有三个单调区间 B.f(－2)<f(－1) C.f(－1)<f(1) D.f(x)在[－1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减 9．如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)，都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的有(　　) A.f(x)＝ex B.f(x)＝x2 C.f(x)＝ln x D.f(x)＝sin x 三、填空题 10、函数y＝的单调递减区间为　　　　.  11、(2026·四川成都市模拟)若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是 . 12．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 四、解答题 13．已知函数.试讨论函数的单调性. 14．已知函数f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x的图象在x＝1处的切线方程为y＝bx＋(a，b∈R). (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)在(1，＋∞)上单调递增. 课时2 导数与函数的单调性参考答案 1.A【解析】函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，由已知f'(x)＝ln x＋1，由f'(x)＝ln x＋1<0得0<x<所以单调递减区间为.故选A. 2．C【解析】由图象可知，在区间上，在区间上，所以不等式的解集为.故选C. 3、A【解析】f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立且不恒为零，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A. 4．A【解析】因为，所以.因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立.因为在上单调递减，所以，故.故选A. 5.D【解析】因为f(x)＝xsin x，x∈R，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f＝f.又当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f(x)在上单调递增，所以f<f(1)<f，即f>f(1)>f.故选D. 6、D【解析】f(x)＝－x3＋x2＋2ax在(1，＋∞)上存在单调递增区间，只需f'(x)>0在(1，＋∞)上有解即可.由已知得f'(x)＝－x2＋x＋2a，该函数图象开口向下，对称轴为x＝故f'(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以f'(1)＝2a>0，解得a>0.故选D. 7．ABD【解析】对于选项A，因为y＝x与y＝－，都是增函数，所以y＝x－在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 对于选项B，y＝x＋sin x，其导数y′＝1＋cos x，由y′≥0在R上恒成立，则这个函数在区间 (0，＋∞)上单调递增，符合题意； 对于选项C，y＝3－x，是一次函数，在R上是减函数，不符合题意； 对于选项D，y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，是二次函数，其图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，则这个函数在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意．故选ABD. 8、CD【解析】对于选项A，由图象可以看出，f'(x)的符号是先负后正，再负再正，所以函数f(x)有四个单调区间，故A错误； 对于选项B，当x∈[－2，－1]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以f(－2)>f(－1)，故B错误； 对于选项C，当x∈[－1，2]时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，所以f(－1)<f(1)，故C正确； 对于选项D，当x∈(2，4]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，显然D正确.故选CD. 9．ACD【解析】依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数.对于选项A，g(x)＝xex，g'(x)＝(x＋1)ex，当x∈(－∞，－1)时，g'(x)<0，所以g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于选项B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”； 对于选项C，g(x)＝xln x，x>0，g'(x)＝1＋ln x，当x∈时，g'(x)<0，所以g(x)在上单调递减，故C中函数不是“F函数”； 对于选项D，g(x)＝xsin x，g'(x)＝sin x＋xcos x，当x∈时，g'(x)<0，所以g(x)在上单调递减，故D中函数不是“F函数”.故选ACD. 10、(1，＋∞)【解析】函数y＝的定义域为(0，＋∞)，y'＝令y'<0得x>1，所以y＝的单调递减区间为(1，＋∞). 11、【解析】若函数f(x)有3个单调区间，则f′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2. 12．【解析】.由题意知，在上有实数解，即有实数解，当时，显然满足，当时，只需.综上所述，. 13．【解】函数的定义域是，. ①若，则在上单调递增；②若，则当时，单调递减；当时，单调递增.综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增. 14．(1)【解】因为f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x，所以f'(x)＝x＋a－aln x－＝x－－aln x.依题意，可得即解得 (2)【证明】由(1)可得f(x)＝＋2x－(2x＋1)ln x，则f'(x)＝x－－2ln x.令g(x)＝f'(x)＝x－－2ln x，x∈(1，＋∞)，则g'(x)＝1＋>0，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增.又g(1)＝0，所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，即f'(x)>0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增. . 学科网（北京）股份有限公司 $