精品解析：浙江宁波市镇海中学2025-2026学年第二学期期末考试高一年级数学试卷

镇海中学2025学年第二学期期末考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 4. 从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 6. 已知某5个数的平均数为2，方差为3，现加入数据2，则这6个数的方差为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 7. 在空间直角坐标系中，，，点满足 ，则点到轴距离的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 已知三棱锥中，二面角为，棱与平面和平面所成的角均为，与所成的角为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知盒子中有8个质地均匀的小球，红色小球个，其余均为黑色小球．现从中任意抽取5个小球，若事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则可以为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（ ） A. 至少有一枪命中目标的概率为 B. 恰好有一枪命中目标的概率为 C. 若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D. 若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 11. 已知三棱锥 的底面是一个边长为的正三角形，且三棱锥的外接球球心为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 、 与平面所成的角相等 B. 二面角 的大小可能为 C. 若二面角 的正切值为，则三棱锥 的高为 D. 若，则球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 13. 已知在直三棱柱中，，，，点为棱靠近点的三等分点，点为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 14. 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，侧面 为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为_________． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． （1）用基底表示向量，并求出线段的长度； （2）直线与平面 交于点求的值 16. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 17. 在长方体中，底面边长为2的正方形，侧棱，点，分别在棱和棱上，且 ， ． （1）求证：． （2）平面与平面夹角的余弦值． （3）直线与平面夹角的正弦值． 18. 如图，四棱锥的底面是平行四边形且 ， ，为等边三角形，， 为中点． （1）证明： 平面； （2）设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 19. 学期末，某学校对这一学期食堂的菜品在学生中进行喜好调查，方便下学期改进．每位同学给每道菜打分，喜欢记为1，不喜欢记为．每位同学对道菜品的喜好可以表示为一个维向量，其中每个分量（ ， ， ， ）．我们称为该生的 维喜好向量．已知，为两位同学的喜好向量，定义两个向量的数量积为：．若 ，则称他们“口味互补”． （1）试构造出一组4名学生对4道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． （2）证明：不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． （3）设有8名学生，对本学期96道菜的喜好向量两两口味互补．已知96道菜中有 道菜，这8名同学都喜欢，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海中学2025学年第二学期期末考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中关于平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数. 【详解】在空间直角坐标系，关于平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数， 所以P关于平面对称点是， 故选:C 2. 一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】这组数据按从小到大排序为3，5，6，7，7，9， 由可知第30百分位数是第2个数据，即为. 3. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 【答案】A 【解析】 【分析】利用线性变换 下平均数满足 、方差满足的性质分步计算，分别求出变换后数据的平均数与方差. 【详解】设原数据的平均数为，方差为，由题意得 ， . 设新数据 的平均数为， 则 设新数据的方差为， 则 新数据的平均数为 ，方差为. 4. 从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件 表示选到的数能被2整除，事件 表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】从1~10共10个整数中随机选数，总共有10种等可能结果. 表示选到的数能被2整除，且不能被3整除. 在1~10中，能被2整除的数为， 排除能被3整除的6，剩余符合条件的数共4个，即. 则. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 6. 已知某5个数的平均数为2，方差为3，现加入数据2，则这6个数的方差为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，原5个数的平均数，原方差. 根据方差公式，则， 加入新数据后，新总和为，新平均数， 因此加入数据2后，6个数的方差为. 7. 在空间直角坐标系中，，，点 满足 ，则点 到轴距离的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析点 的轨迹，再求 到轴距离的最大值. 【详解】设，则，， 由 可得， ， 整理得： . 所以 点轨迹是以为球心，以为半径的球面. 因为点到轴的距离为， 所以点 到轴距离的最大值为. 8. 已知三棱锥中，二面角为，棱与平面和平面所成的角均为，与所成的角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作垂线构造直角三角形，利用线面角相等求边长，由异面直线角得 ，向量分解平方后解方程得. 【详解】 过作平面于，过作于，连接， 由三垂线定理得，故二面角平面角. 因为与平面、平面所成角均为，设 ， 则到平面的距离. 在中，​， 同理可得面内垂直于的线段. 由于方向与 方向平行，与所成角为， 故​，得. 已知，其中与夹角为，对两边取模平方得 ， 即， 即，可得. 因此，得​， 由于为锐角，故​​. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知盒子中有8个质地均匀的小球，红色小球个，其余均为黑色小球．现从中任意抽取5个小球，若事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则可以为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】AB 【解析】 【详解】由事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，则， 又由事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，则， 又由事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则， 所以可以为2或3. 10. 甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，．若他们3人分别向目标各发一枪，且他们相互之间没有影响，则这3枪中（ ） A. 至少有一枪命中目标的概率为 B. 恰好有一枪命中目标的概率为 C. 若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪 D. 若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪 【答案】AD 【解析】 【分析】由独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式、互斥事件和事件概率公式可判断AB，分别计算甲、乙、丙在第2枪时，连续命中两枪的概率，即可判断CD. 【详解】对于A：三枪全不中的概率， 故至少有一枪命中目标的概率为，A正确； 对于B：恰好有一枪命中目标的概率，B错误； 对于C、D： 设枪连续命中的概率为， 枪连续命中的概率为，三枪都中的概率为， 则由题意至少连续两枪命中的概率， 若甲在第2枪：乙在第1枪，丙在第3枪， 若甲在第2枪：乙在第3枪，丙在第1枪， 即甲在第2枪，连续命中两枪的概率为， 同理：若乙在第2枪， 连续命中两枪的概率为， 若丙在第2枪： 连续命中两枪的概率为， 因此丙在第2枪时概率最大，C错误，D正确. 11. 已知三棱锥的底面是一个边长为 的正三角形，且三棱锥的外接球球心为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 、与平面所成的角相等 B. 二面角 的大小可能为 C. 若二面角 的正切值为，则三棱锥的高为 D. 若，则球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设等边的中心为点，连接、，利用线面角的定义可判断A选项；利用二面角的定义结合余弦定理可判断B选项；利用二面角的定义结合两角和的正切公式可求出三棱锥的高，可判断C选项；求出、的长，结合勾股定理可求出的长，再利用球体表面积公式可判断D选项. 【详解】设等边的中心为点，连接、， A，因为为等边的中心，则 ， 因为三棱锥的外接球球心为线段的中点，所以 平面， 所以直线与平面所成的角为 ，直线与平面所成的角为 ， 因为 ，易知 、 均为锐角，故 ， 所以、与平面所成的角相等，A对； B，连接，过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，连接 ， 因为 ， ，，所以 ，则， 因为， ， ，所以 ， 所以，所以二面角 的平面角为， 设 ，则 ， 显然 、 、 三点不共线，则 ，即 ，可得， 易知为球的一条直径，则， 因为 ，则 ，则 ，所以 ， 由余弦定理可得， 由图可知，所以， 故二面角 的大小不可能是，B错； C，取的中点，连接、 、 ，则 、、三点共线， 因为 ，，，所以 ， 所以， 因为为的中点，所以 ， 因为 ，为的中点，所以 ， 所以二面角 的平面角为 ，由题意可得， 设点 在平面内的射影点为，连接，则为外接圆的一条直径， 因为 平面， 平面，所以 ， 因为为的中点，所以 ， 因为是边长为 的等边三角形，所以， 因为为的中心，所以， ，则 ， ， ， 整理可得 ，解得或（舍去）， 故三棱锥的高为，C对； D，因为，若，则，故， 所以， 又因为，，所以， 故球的表面积为，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率的定义和斜率垂直的知识计算即可. 【详解】因为直线与经过，两点的直线垂直，直线 的斜率为. 所以直线的斜率为. 13. 已知在直三棱柱中， ，，，点为棱 靠近点 的三等分点，点 为的中点，则直线与 所成角的余弦值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的概念构造异面直线所成的角，再利用余弦定理求角的余弦. 【详解】如图： 取 中点 ，连接，则，所以即为异面直线与 所成的角. 在中，，，. 所以. 14. 已知四棱锥的底面 是边长为2的菱形，侧面 为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】 与交于点，连接，先证明 平面，得 ， ，将 分别用的三角函数表示，接着表示出的面积，进而求出四棱锥体积的表示式，借助于余弦函数与二次函数的性质即可求得其最大值. 【详解】设菱形 的对角线 与交于点，连接， 因为 是菱形，所以， 因 ， 平面， 则 平面，因 平面，则 ， 设 ，依题意， ，因 ，则 ， ，在 中， ， 在中，因 ，则， ， 则的面积为， 于是四棱锥体积为 ， 因 ，则 ， ， 故当时， . 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中， 为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． （1）用基底表示向量，并求出线段的长度； （2）直线与平面 交于点 求的值 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将 分解为基底向量的线性组合；根据向量的模结合数量积定义可计算长度. （2）设，利用点 在平面 上，根据共面向量定理，利用 且 的条件，建立方程组求解 . 【小问1详解】 由题意， ， 因为 为 的中点， 所以 . 所以 . 因为 ，且 － ， 所以 ， 所以 ，即线段的长度为. 【小问2详解】 设 ， 因为点 在平面 上， 所以关于基底 的系数之和为1， 即 ，解得 . 所以 . 16. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 【答案】（1） （2） （3）95克 【解析】 【分析】(1)根据频率之和为 求得. (2)根据平均数的求法求得这批蜜桔的平均质量. (3)根据百分位数的求法求得合格品的质量的最小值. 【小问1详解】 频率分布直方图中所有矩形的面积之和等于1，各组的组距均为10. 因此. 整理得，解得. 【小问2详解】 各组组中值依次为， 对应频率依次为. 因此. 据此估计这批蜜桔的平均质量为91.5克. 【小问3详解】 由题意，次品为质量较轻的前55%的数据，合格品的最低质量对应样本数据的第55百分位数. 各组累计频率：区间累计频率为，区间累计频率为， 区间累计频率为，区间累计频率为. 因此第55百分位数位于区间内， 设该百分位数为，则. 解得，即合格品的质量应不低于95克. 17. 在长方体中，底面 边长为2的正方形，侧棱，点， 分别在棱和棱上，且 ， ． （1）求证：． （2）平面与平面夹角的余弦值． （3）直线 与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图： 可得 , 所以，， 所以， 因此， 即. （2） （3） 【解析】 【分析】(1)以为原点，建立空间直角坐标系，求出和的坐标，通过计算两个向量的数量积即可判断垂直关系； (2)分别求出平面和平面的法向量，所以利用向量夹角公式计算法向量夹角的余弦值即可； (3)求出直线的方向向量和平面的法向量，再由线面角的向量公式代入计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知， 设 为平面的一个法向量， 则  ，令，得， 即, 又易知，则 ，， 设平面的法向量， 可得 ，令，得， 即， 设平面和平面的夹角为，， 可得， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 易知，则，， 设直线和平面的夹角， 因此, 即直线与平面夹角的正弦值为. 18. 如图，四棱锥的底面 是平行四边形且 ， ，为等边三角形，， 为中点． （1）证明： 平面 ； （2）设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点 到面的距离为． 【答案】（1）证明：为等边三角形， 为中点，故. 由 得 ，则 ，. 平行四边形 中 ， ，在中，且， 即，故. 在中，由余弦定理得 已知，则 ，满足， 故. 又 ， 平面 ， 因此 平面 . （2）（i）平面， 平面 ，平面 平面 ， 所以由线面平行的性质定理得. （ii）存在，理由如下： 以 为坐标原点，方向为 轴正方向，过 作的平行线为 轴正方向， 方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 各点坐标为，，，，. 由，， 由得. 由，，取直线的一个方向向量为. ， 设平面的法向量为， 则， 故可设 ，点 到平面的距离： 令，则，整理得 ， 解得（，符合取值范围）. 因此存在，使得点 到面的距离为. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证得 平面 . （2）（i）利用线面平行的性质定理，通过两平面的交线直接推导线线平行. （ii）建立空间直角坐标系，通过平面的法向量，结合点到平面的距离公式列方程，求解得到参数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 学期末，某学校对这一学期食堂的菜品在学生中进行喜好调查，方便下学期改进．每位同学给每道菜打分，喜欢记为1，不喜欢记为．每位同学对道菜品的喜好可以表示为一个维向量，其中每个分量（ ， ， ， ）．我们称为该生的 维喜好向量．已知，为两位同学的喜好向量，定义两个向量的数量积为：．若 ，则称他们“口味互补”． （1）试构造出一组4名学生对4道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． （2）证明：不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． （3）设有8名学生，对本学期96道菜的喜好向量两两口味互补．已知96道菜中有 道菜，这8名同学都喜欢，求证： ． 【答案】（1）， （2）假设存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补， 设这6个向量为， 因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的数量积不变， 所以不妨设， 因为 ，所以有3个分量为， 设的前3个分量中有 个，则后3个分量中有 个，， 则 ，则，矛盾， 所以不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． （3）任取，不妨设前 个分量都为1，计算数量积， 将所有这些数量积求和得到，则， 设的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为， 所以， 令 ，所以 . 【解析】 【分析】（1）由 维信号向量的定义可写出4个两两口味互补的4维喜好向量； （2）先假设存在，设6个向量为，根据题意不妨设，利用，可得有3个分量为，进而可得的前3个分量中有 个，则后3个分量中有 个，，由题意可得 ，可证结论； （3）任取，不妨设前 个分量都为1，计算数量积，，设的第个分量之和为，利用 ，可得结论. 【小问1详解】 由题意，构造4个4维向量，每个分量为1或， 设， 则 ， ， ， ， ， ， 所以这4个向量两两口味互补. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $