江苏省扬州市邗江区瓜洲中学2023-2024学年高一下学期期末模拟考数学试卷

高一数学期末模拟测试 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 2022i 的值为（ ） A. 1 B. －1 C. i D. i 2. 数据 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的 60百分位数为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 5.5 3. 向量 a与b  不共线，AB a kb    ，  ,AC la b k l R      ，且 AB  与 AC  共线，则 k， l应满足（ ） A. 0k l  B. 0k l  C. 1 0kl   D. 1 0kl   4. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为 1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ） A. 3π 4 B. π 2 C. π 4 D. 3π 24 5. 已知向量  cos ,sina   ，  2, 1b    ，若 //a b  ，则 πtan 4       （ ） A. 3 B. 1 3  C. 1 3 D. 3 6. 从长度为 2,4,6,8,10的 5条线段中任取 3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率 为（ ） A. 1 5 B. 3 10 C. 2 5 D. 12 7. 在 ABC 中，下列命题正确的个数是（ ） ① AB AC BC      ；② 0AB BC CA       ；③若 ( ) ( ) 0AB ABAC AC       ，则 ABC 为等腰三角形；④ 0ABAC     ，则 ABC 为锐角三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知锐角 ABC ，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 2 2sin sin sin sinB A A C   ， 3c  ，则 a的取值范围是（ ） A. 2 ,2 3       B.  1,2 C.  1,3 D. 3 ,3 2       二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 设复数 2i 2iz   ，则下列结论正确的是（ ） A. z的共轭复数为 2 i B. z的虚部为 1 C. z在复平面内对应的点位于第二象限 D. | 1 | 2z   10. 下列说法中错误的是（ ） A. 已知 (1,2), (1,1)a b    ，且 a  与 a λb   的夹角为锐角，则实数 5 , 3         B. 向量 1 (2, 3)e    ， 2 1 3( , ) 2 4 e    不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若 / /a b   ，则存在唯一实数 ，使得 =a b   D. 非零向量 a  和b  满足 a b a b       ，则 a  与 a b   的夹角为60o 11. 在 ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 45 , 2A c   ，下列说法正 确的是（ ） A. 若 3,a ABC  有两解 B. 若 3,a ABC  有两解 C. 若 ABC 为锐角三角形，则 b的取值范围是 ( 2, 2 2) D. 若 ABC 为钝角三角形，则 b的取值范围是 (0, 2) 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分， 12. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为____． 13. 已知向量  2,1a  ，  , 2b x  ，若b  在 a方向上的投影向量为 a，则 x的值为 __． 14. 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12cm，该纸片上的正方形 ABCD的中心为 , , , ,O E F G H 为圆O上的点， ABE ， BCF ， CDG ， ADH 分别是以 , , ,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 , , ,AB BC CD DA为折痕折起 ABE ， BCF ， CDG ， ADH 使得 , , ,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四 棱锥的侧面积是底面积的 2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为 __________． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.（13+15+15+17+17） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 i是虚数单位，设 1 3 i 2 2     . （1）求证：1＋ω＋ω2＝0； （2）计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)． 16. 已知 4sin 5  = ， , 2       ， 5cos 13    ，  是第三象限角． （Ⅰ）求 tan 2 的值； （Ⅱ）求  cos   的值． 17. 社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某 市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有 200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩 都在 40,100 内，将笔试成绩按照 40,50 、 50,60 、L 、  90,100 分组，得到如图 所示频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中 a的值； （2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组 数据以区间中点值为代表）； （3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数 线． 18. 如图，三棱锥 A BCD 中， ABC 为等边三角形，且 面 ABC 面 BCD，CD BC ． （1）求证：CD AB ； （2）当 AD与平面 BCD所成角为 45°时，求二面角 C AD B  的余弦值． 19. 设 ABC 是边长为 1的正三角形，点 1 2 3, ,P P P 四等分线段 BC（如图所示）． （1）求 1 1 2AB AP AP AP       的值； （2）Q为线段 1AP上一点，若 1 12 AQ mAB AC     ，求实数m的值； （3） P为边 BC上一动点，当 PA PC   取最小值时，求 cos PAB 的值． 高一数学期末模拟测试 数学试题参考答案 一．选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D A C B B D 二．选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分． 三．填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12． 120° 13. 3 2 14. 400 3  四、解答题：（13+15+15+17+17） 15. 13分 【小问 1详解】 证明：∵ 1 3 i 2 2     ， 2 2 21 3 1 1 3 3( i) 2 ( ) ( i) ( i) 2 2 4 2 2 2           1 3 3 1 3i i 4 2 4 2 2       ， ∴ 2 1 3 1 31 1 i i 0. 2 2 2 2          【小问 2详解】 由 1＋ω＋ω2＝0知， (ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0， 题号 9 10 11 答案 BCD ACD AC ∴ω3－1＝0， ∴ω3＝1. ∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2) ＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4. 16 15分 【详解】（Ⅰ）∵ 4sin 5  = ， , 2       ，∴ 2 3cos 1 sin 5       ， ∴ sintan s 4 3co      ，∴ 2 2 tan 24tan 2 1 tan 7      ． （Ⅱ）∵ 5cos 13    ，  是第三象限角，∴ 2 12sin 1 cos 13       ， 故 63cos( ) cos cos sin sin 65           ． 17 15分 【小问 1详解】 解：由题意有  0.005 0.010 0.030 0.015 10 1a a       ，解得 0.020a  . 【小问 2详解】 解：应聘者笔试成绩的众数为 70 80 75 2   ， 应聘者笔试成绩的平均数为 45 0.05 55 0.1 65 0.2 75 0.3 85 0.2 95 0.15 74.5            ． 【小问 3详解】 解： 150 0.75 200  ，所以，面试成绩的最低分为 25%百分位数， 前两个矩形面积之和为 0.05 0.1 0.15  ，前三个矩形的面积之和为 0.15 0.2 0.35  ， 设 25%百分位数为m，则  0.15 60 0.02 0.25m    ，解得 65m  . 因此，若计划面试150人，估计参加面试的最低分数线为65. 18. 17分 【小问 1详解】 在三棱锥 A BCD 中，平面 ABC 平面 BCD，平面 ABC平面 BCD BC ，而 CD BC ， CD 平面 BCD，因此有CD 平面 ABC，又有 AB 平面 ABC， 所以CD AB . 【小问 2详解】 取 BC中点 F，连接 AF，DF，如图， 因 ABC 为等边三角形，则 AF BC ，而平面 ABC 平面 BCD，平面 ABC平面 BCD BC ， AF 平面 ABC，于是得 AF 平面 BCD， ADF 是 AD与平面 BCD所成角，即 45ADF  ， 令 2BC  ，则 3DF AF  ，因CD BC ，即有 2DC  ，由(1)知，DC AC ， 则有 6AD BD  ， 过 C作CO AD 交 AD于 O，在平面 ABD内过 O作OE AD 交 BD于 E，连 CE，从而 得 COE 是二面角C AD B  的平面角， Rt ACD△ 中， 2 3 AC CDCO AD    ， 2 2 2 2 2 6( 2) ( ) 33 OD CD CO     ， ABD△ 中，由余弦定理得 2 2 2 2 2 2( 6) ( 6) 2 2cos 2 32 6 6 AD BD ABEDO AD BD            ， 6 cos 2 ODDE EDO    ， 2 2 30 6 OE DE OD   ，显然 E是Rt BCD 斜边中点， 则 1 6 2 2 CE BD  ， COE 中，由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 2 30 6( ) ( ) ( ) 6 23cos 2 2 302 63 CO EO CECOE CO EO           10 10  ， 所以二面角C AD B  的余弦值 10 10 . 19. 17分 【答案】（1） 13 8 ；（2） 1 4 ；（3） 5 13 26 ． 【解析】 【分析】（1）利用线段的中点向量公式将所求化为 2 12AP  ，再结合余弦定理求解； （2）利用平面向量的线性运算进行化简求解； （3）先讨论 P的位置，研究 PA PC   的符号，再设 PC x  ，将 PA PC   表示为关于 x的 函数，利用二次函数的最值判定 P的位置，再利用余弦定理进行求解． 【详解】（1）原式 2 1 2 1( ) 2AP AB AP AP        ， 在 1△ABP中，由余弦定理，得 2 1 1 1 131 2 1 cos60 16 4 16 AP        ， 所以 1 1 2 13 8 AB AP AP AP        （2）易知 1 1 4 BP BC   ，即 1 1 ( ) 4 AP AB AC AB       ， 即 1 3 1 4 4 AP AB AC     ， 因为Q为线段 1AP上一点， 设 1 3 1 1 4 4 12 AQ AP AB AC mAB AC             ， 所以 3 4 1 1 4 12 m        ，解得 1 3 1 4 m       所以 1 4 m  ； （3）①当 P在线段 2BP 上时， 0PA PC    ； ②当 P在线段 2PC上时， 0PA PC    ；要使PA PC   最小，则 P必在线段 2PC上， 设 PC x  ，则 cosPA PC PA PC APC        2 2 2 1 1 1cos 2 4 16 PA PC APB PC PP x x x                  ， 当 1 4 x  时，即当 P为 3P 时， PA PC   最小， 则由（1）可知 13 4 AP  ， 则由余弦定理得 2 2 2 13 91 516 16cos 13 2 26132 1 4 AB AP BPBAP AB AP          