江苏苏州市2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟冲刺卷2

**基本信息** 苏州高一数学期末模拟卷聚焦复数、向量、立体几何及解三角形核心知识，通过折叠问题（如18题）、测量情境（如7题）等设计，梯度覆盖基础运算与综合应用，体现数学眼光、思维与语言的素养融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部（1）、向量基底（2）、线面关系（5）|基础概念辨析，如5题考查空间线面逻辑推理| |多选|3/18|共轭复数性质（9）、三角形解的个数（10）|选项分层设计，10题结合锐角三角形判定与面积计算| |填空|3/15|三角恒等变换（12）、棱锥体积比（13）|14题以余弦定理为载体求面积最大值，渗透函数思想| |解答|5/77|向量数量积（15）、解三角形与对称（17）、折叠体体积（18）|18题通过正方形折叠考查空间垂直证明与体积计算，19题结合函数求最值，体现数学思维的严谨性与应用意识|

苏州2025-2026学年第2学期高一数学期末模拟冲刺卷2 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知，则的虚部为（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，故的虚部为. 故选：A 2. 在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，因为，则不共线，故A正确； 对于B，因为，则共线，故B错误； 对于C，因为，则共线，故C错误； 对于D，因为，则共线，故D错误. 故选：A. 3. 已知向量，若，则实数t的值为（ ） A. 16 B. 4 C. -4 D. -16 【答案】B 【解析】 【详解】，. 故选：B. 4. 化简的值为（ ） A. B. C. - D. - 【答案】A 【解析】 【详解】cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°=，故选A 5. 已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对A：若，则或，或或与相交，错误； 对B：若，则或，错误； 对C：若，则或，错误； 对D：若，则，正确. 故选：D 6. 在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，设，则， 因为在上的投影向量为，所以，又， 所以，所以，即， 因，，，则，解得，所以. 故选：C. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理可得， 所以. 故选：D. 8. 已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，， 所以，所以， 因为，即， 所以， 将代入上式得，解得（负值舍去）， 所以（负值舍去），所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 设是的共轭复数，则下列说法正确的有（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是实数 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】设复数，则， 所以，当时，为实数，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则只有一解 C. 若，则的面积为 D. 若为锐角三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若，则即， 所以且即， 所以为锐角三角形，故A正确； 对于B，若，则，所以有两解，故B错误； 对于C，若，则，则， 所以，故C正确； 对于D，由题，若为锐角三角形， 则，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 如图①，在长方形中，，，M，N为的三等分点，P，为的三等分点，连接，，，分别交于点K，G，O.如图②，将沿翻折至，形成三棱锥，则（ ） A. 平面 B. 当时，直线与所成角 C. 当二面角为时， D. 直线上的点到直线的最短距离为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，在矩形中，因为为的三等分点，故， 同理，而，故四边形为平行四边形，故， 同理. 在直角三角形中，，故， 而为锐角，故，同理，故， 故，故，同理， 故在三棱锥中，有， 而平面，故平面，故A正确； 对于B，连接，由A分析可得，， 故或其补角为异面直线所成的角， 且， 而，， 故在图②中，， 而， 同理， 由余弦定理可得， 故直线与所成的角不是，故B错误； 对于C，当二面角为时，在平面中，过作， 垂足为，连接， 由A的分析可得,，故为二面角的平面角， 故，故，故， ，其中，， 故，故，所以， 故， 因为平面，而平面，故平面平面， 而平面平面，平面，故平面， 因为平面，故，故， 故，故C正确； 对于D，由A的分析可得，， 故为与的公垂线， 故直线上的点到直线的最短距离为即为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 所以 故答案为：. 13. 已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面与棱分别交于.若三棱锥的体积是三棱锥体积的倍，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【详解】 因为底面为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面，即平面， 所以， 所以点到平面的距离是点到平面距离的， 即，所以. 故答案为：. 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【详解】由题意，所以， 而，解得， 由余弦定理有， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最大值为12，所以的面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【小问1详解】 根据题意，， 又. 【小问2详解】 根据题意， ，即，，解得. 16. 已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 方法一： 因为， 分母不能为0，故， 所以， 即. 方法二： 由得角的终边在第一象限或第三象限， （）当角的终边在第一象限时， 全由得， 所以， 所以； （）当角的终边在第三象限时， 由得， 所以， 所以. 综上所述，. 17. 如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）设D为的中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得. 所以即，所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，，由余弦定理得，即， 所以，， 连接，，则，设为，，设为y， 在中，由余弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得，解得， 所以. 18. 如图（1），正方形的边长为分别为的中点，与对角线的交点分别为，对角线交于，沿图中虚线折起，使三点重合于点，得到图（2）所示的多面体. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【小问1详解】 证明：由图（1），分别为的中点， 所以，即， 又平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）得，因为， 所以，即，，即. 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 【小问3详解】 因为且都在平面内，所以平面， 所以， 图（1）中，因为，所以， 所以，所以，所以. 19. 在中，，设分别为. （1）若. （i）求的值； （ii）求最小值； （2）若，求的值. 【答案】（1）（i）0；（ii）3 （2） 【解析】 【小问1详解】 （i）因为， 所以. （ii）方法一： 由得， 即 ， 所以， ，当且仅当时等号成立，即， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3. 方法二： 设，则， 因为，故， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3； 【小问2详解】 设，则， 在中， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，① 在中，由余弦定理得，② ，③ 由②③得， 由①②得， 故，即，所以， 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州2025-2026学年第2学期高一数学期末模拟冲刺卷2 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知，则的虚部为（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 2. 在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数t的值为（ ） A. 16 B. 4 C. -4 D. -16 4. 化简的值为（ ） A. B. C. - D. - 5. 已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 设是的共轭复数，则下列说法正确的有（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是实数 D. 10. 已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则只有一解 C. 若，则的面积为 D. 若为锐角三角形，则 11. 如图①，在长方形中，，，M，N为的三等分点，P，为的三等分点，连接，，，分别交于点K，G，O.如图②，将沿翻折至，形成三棱锥，则（ ） A. 平面 B. 当时，直线与所成角 C. 当二面角为时， D. 直线上的点到直线的最短距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______. 13. 已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面与棱分别交于.若三棱锥的体积是三棱锥体积的倍，则的值为_____. 14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 16. 已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 17. 如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）设D为的中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求. 18. 如图（1），正方形的边长为分别为的中点，与对角线的交点分别为，对角线交于，沿图中虚线折起，使三点重合于点，得到图（2）所示的多面体. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求四棱锥的体积. 19. 在中，，设分别为. （1）若. （i）求的值； （ii）求最小值； （2）若，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $