第3章 图形的相似 本章复习与测试 导学案（课前预习）2026--2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“图形的相似”单元，围绕相似三角形判定、性质、位似变换及实际应用设定学习目标，通过课前预习、知识点梳理、例题讲解、分层练习等模块递进设计，构建“比例线段—相似三角形—位似图形”完整知识链条，引导学生系统建构知识体系。 亮点在于“动手操作+问题探究”的活动设计，如“用A4纸画相似三角形”师生互动理解判定定理，“周长比与面积比关系”小组探究深化性质应用，结合测电线杆高度等实际任务培养数学思维与应用意识。学案提供易错点分析和分层练习，既支持学生深度学习，又为教师单元复习教学提供清晰指导。

【2026-2027学年】初中数学湘教版九年级上册——第3章 图形的相似 本章复习与测试（新授课）导学案（课前预习） 【模块一 学习目标】 1. 能够准确复述相似三角形的三个判定定理，看到图形能快速联想到对应的判定方法，看到比例线段能迅速联想到对应的相似模型。 2. 能灵活运用相似三角形的性质，解决求线段长度、证明比例关系、求面积比等综合问题，尤其是那些需要设未知数列方程才能搞定的复杂题目。 3. 理解位似变换的核心规律，画位似图形不出错，能在坐标系中准确写出位似变换后的对应点坐标。 4. 会用相似三角形的知识测量旗杆、楼高等不可直接测量的物体高度，把书本知识与生活实际结合起来。 5. 通过本章的系统复习，建立起"比例线段—相似三角形—位似图形"这一完整的知识链条，能画出清晰的知识网络图。 【模块二 课前预习】 第1题：我们学过的相似三角形的判定定理有哪三条？请你用自己的话写出每条定理的内容，并各举一个符合该定理的基本图形例子（可以用语言描述图形）。 第2题：如果一个三角形边长分别是3cm、4cm、5cm，另一个与它相似的三角形最大边长为10cm，那么另外两条边长是多少？这里容易踩坑，注意"最大边"对应的是哪条边。 第3题：假期里你和朋友出去玩，看到一根电线杆，你只有一根1米长的竹竿和一把卷尺。你怎样利用相似的原理，测出这根电线杆的高度？请写出你的测量步骤和计算方法。这是下节课要讨论的内容，提前想一想。 图1 利用相似三角形测量高度示意图 【模块三 知识点梳理】 一、相似三角形的判定体系 1. 三条黄金判定：书中给出了三条判定定理，我帮你梳理一下——【预备定理】平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似。这道菜是基础，后续所有判定都能从它演变出来。【判定1】两角分别相等，两三角形相似。这是用得最多的，看到两个角相等，立刻锁定相似。【判定2】两边成比例且夹角相等，两三角形相似。注意啦，"夹角"两个字是关键，必须是成比例那两边的夹角，别的角不行。这里容易踩坑，有些同学看到两个条件满足就激动，结果角不是夹角，全错了。【判定3】三边成比例，两三角形相似。这个方法直接，但需要算出三组比例，计算量大一些。 图2 相似三角形预备定理（DE∥BC） 2. 直击考场：在湘教版的题目里，最常见的出场方式是——在网格中判断两个三角形是否相似。别急着写，网格中边长往往带根号，算比例时要养成保留根号、最后看比值是否相等的习惯。说白了，就是先算各组对应边长度，再列比例，看是否相等。 3. 师生互动设计：教师引导："谁能只用一张A4纸和一支笔，在没有量角器的情况下，画出一个与右图给定三角形相似的三角形？"学生思考后回答。有学生可能提出对折纸张找角度，有学生提出测量边长再按比例放大。教师点评：角度可以通过对折重合来复制，这正好对应判定1；按比例放大对应判定2或3。这个活动让你亲身体会到，判定定理不是死记硬背的，是有实际操作意义的。 二、相似三角形的性质锦囊 1. 对应边成比例，这是相似的本职工作。但更重要的是它衍生的【三条性质】——对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。这里我给出一个原创理解：相似三角形就像把原三角形按相似比"缩放"了一样，所有与边长同维度的线段，比例关系一致。 2. 面积比等于相似比的平方。这是一个巨大的陷阱。学生最常见的错误就是直接把面积比当相似比用。打个比方，一个三角形边长放大到原来的2倍，面积不是2倍，而是4倍。同理，缩小到原来三分之一，面积缩到九分之一。想想为什么？因为面积公式里带有平方运算。 图3 相似三角形面积比示意图 3. 小组探究活动：给你两个三角形，它们的周长比是5:3，那么对应中线比、面积比、内切圆半径比各是多少？请四人小组讨论，3分钟后小组代表发言。引导你去思考：周长比与相似比关系、中线比与相似比关系、面积比与相似比关系、圆的半径这种长度维度与相似比的关系。结论是——中线比、半径比都等于相似比5:3，面积比等于25:9。这个活动帮你打通性质之间的脉络，避免死记。 4. 情境导入：想象一下，建筑师在设计模型，他把实际长20米的大楼缩小到只有40厘米的模型上展示。这个模型是按1:50的相似比制作的。那么，实际大厅70平方米的面积，在模型上占据多大面积？用面积比算一算，别直接除以50。这是相似性质最经典的实际应用场景。 三、位似图形的核心规律 1. 位似图形是相似家族里的特殊成员——不仅形状相同，对应边平行（或共线），而且对应顶点的连线交于一点，这点就是【位似中心】。判定一个图形是不是位似图形，先看它是否相似，再看对应顶点连线是否共点。缺一不可。 2. 坐标系中的位似变换，是考试的热门。以原点为位似中心，相似比为k，那么点（x,y）的对应点就是（kx,ky）或（-kx,-ky）。注意啦，这里有两种情况，分别在位似中心的两侧。很多同学只写一种，丢了另一种，白白丢分。你自己动手画一画，位似中心在原点时，一个点（2,3），相似比为2，对应点可能是（4,6），也可能是（-4,-6），这两个点关于位似中心对称。 图4 位似图形坐标变换示意图 3. 思考性问题：位似图形和普通的相似图形，究竟有什么区别？为什么教材要把位似单独列为一节？你能否举出一个是相似但不是位似的例子？举个例子，两个形状完全相同但摆放角度不同、对应顶点的连线不交于一点的三角形，就是相似但不位似。位似是"有秩序的相似"，对应点的连线必须共点，这在放缩设计中非常有用，比如放大一张照片、绘制地图。 4. 板书设计框架描述：黑板左侧列出相似判定的三种情况及基本图形；中部列出相似性质，用彩色粉笔标注面积比等于相似比平方这一条；右侧列出位似图形的定义、性质及坐标系变换公式，并配以简单坐标示例。最下方用大括号串联"比例线段→相似三角形→位似图形"，形成知识链。 【模块四 例题讲解】 例1：（基础题） 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=5，求EC的长。 【图像说明：三角形ABC，点D在边AB上，点E在边AC上，DE平行于BC】 解：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。这是预备定理的直接应用。得到比例关系AD/AB = AE/AC。把已知线段代入：6/(6+3) = 5/(5+EC)，即6/9 = 5/(5+EC)。化简2/3 = 5/(5+EC)。交叉相乘得 2(5+EC)=15，10+2EC=15，2EC=5，EC=2.5。 方法总结：平行线是产生相似三角形的天然温床。看到"平行"两个字，立刻联想到相似，然后用对应边成比例列方程。设未知数这类方法在求线段长度时非常管用，把几何问题代数化。 例2：（中等题） 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点。连接CE，已知AD=4，AB=6，求AC的长及CE的长。 【图像说明：四边形ABCD，角ADC和角ACB是直角，AC平分角DAB，点E是AB的中点，连接CE】 解：先看求AC。AC平分∠DAB，所以∠DAC=∠CAB。又因为∠ADC=∠ACB=90°，两个角分别相等，△ADC∽△ACB。这是判定1的应用，找对了三角形很关键。得到比例 AD/AC = AC/AB。为什么要把AC放在分母和分子的对应位置？因为AC是两个三角形的公共边，这个比例关系正好能求出AC。代入得 4/AC = AC/6，AC²=24，AC=2√6。 再看求CE。E是Rt△ACB斜边AB的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这个性质别忘了。AB=6，所以CE=AB/2=3。 方法总结：这道题的难点在于从复杂图形中分离出相似的那一对三角形。把无关线条暂时用手挡住，只画出△ADC和△ACB，相似关系立刻清晰了。另外，求出一条线段后，马上联想到相关图形的特有性质，比如直角三角形斜边中线，这就是串联知识的本事。 【模块五 课堂练习】 基础巩固 第1题：（选择题）下列命题中，正确的是（ ） A. 相似三角形一定是全等三角形 B. 位似图形一定是相似图形 C. 有一个角相等的两个等腰三角形一定相似 D. 全等三角形不一定是相似三角形 第2题：（填空题）已知△ABC∽△DEF，相似比为3:4，且△ABC的周长为18cm，则△DEF的周长为cm。 第3题：（填空题）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将点A（-2，5）的横纵坐标都乘以-1/2，得到对应点A'的坐标是。 第4题：（解答题）如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5，点P在边AB上，AP=2.4，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似。请问这样的直线最多能作几条？请说明理由。 【图像说明：三角形ABC，AB=6，AC=4，BC=5，点P在AB上且AP=2.4】 能力提升 第5题：（选择题）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ） 【图像说明：一个正方形网格，网格中有一个三角形ABC，顶点都在格点上。A、B、C、D四个选项分别给出四个不同形状的阴影三角形，分布在同样大小的正方形网格中，要求找出与△ABC相似的三角形。三角形ABC的边长分别为：AB为根号5，AC为根号2，BC为根号5】 A. 三边分别是：1，1，根号2 B. 三边分别是：根号2，根号5，根号5 C. 三边分别是：根号2，2，根号10 D. 三边分别是：1，根号5，根号8 第6题：（解答题）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE。F为AE上一点，且∠BFE=∠C。若AB=3，AD=5，BE=2.4，求BF的长。 【图像说明：平行四边形ABCD，BE垂直CD于点E，连接AE，点F在AE上，角BFE等于角C】 第7题：（解答题）一块直角三角形木板的一条直角边AB长2.5米，另一条直角边BC长1.8米。要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两位木匠的加工方法如图所示。请你用学过的相似知识，通过计算比较哪位木匠的加工方法更符合要求，并求出两个方案中正方形桌面的边长各是多少米。 【图像说明：图甲：直角三角形ABC，角B为直角，在三角形内部有一个正方形，正方形的一个顶点在直角B处，另外两个顶点分别在AB和BC边上。图乙：直角三角形ABC，角B为直角，在三角形内部有一个正方形，正方形的一条边在AC边上，另外两个顶点分别在AB和BC边上。】 第8题：（填空题）如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在x轴上。以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA₁B₁与△OAB对应线段的比为2:1，请画出△OA₁B₁。那么点B₁的坐标可能是或。 【图像说明：一个平面直角坐标系，横轴为x轴，纵轴为y轴，单位长度为一个格。三角形OAB，O在原点，A在x轴正半轴上坐标为(2,0)，B在第一象限坐标为(1,2)】 【模块六 参考答案】 第一部分：课堂练习参考答案 基础巩固第1题：【答案】B 【解析】A选项错误，相似三角形是形状相同大小不一定相同，全等三角形形状和大小都相同，混淆了概念。B选项正确，位似图形是特殊的相似图形，符合定义。C选项错误，有一个角相等的两个等腰三角形，这个"一个角"如果是顶角，底角不相同则不相似；如果是底角，有可能相似，但若一个等腰三角形中这个角是顶角，另一个中是底角，那就完全不相似了。必须说明"两个底角对应相等"或"顶角与底角的比例关系对应"才行。D选项错误，全等三角形的相似比是1，全等三角形一定是相似三角形。 基础巩固第2题：【答案】24 【解析】相似三角形周长的比等于相似比。把已知量代入公式：△ABC周长/△DEF周长 = 3/4。18/△DEF周长 = 3/4。交叉相乘得3×△DEF周长 = 72，△DEF周长 = 24。注意单位，填空只写数字24。 基础巩固第3题：【答案】（1，-2.5） 【解析】A（-2，5）的横纵坐标都乘以-1/2，横坐标 -2×(-1/2)=1，纵坐标 5×(-1/2)=-2.5。注意乘以的是-1/2，这里负号表示在位似中心的两侧，如果只写乘以1/2对应的是同侧情况。 基础巩固第4题：【答案】最多能作3条 【解析】过点P截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，关键看P点位置。AP=2.4，AB=6，所以P不是中点。过点P可以作直线平行于BC，交AC于一点，截得三角形与原三角形相似。过点P可以作直线平行于AC，交BC于一点，也相似。过点P还可以作直线交AC于某点，使得∠AP交角=∠B，即判断判定2或判定1是否成立。经分析，这三种情况均能截出相似三角形，画图验证即可，最多3条。 能力提升第5题：【答案】B 【解析】先在网格中计算原图△ABC的三边长。AB=√(1²+2²)=√5，AC=√(1²+1²)=√2，BC=√(2²+1²)=√5。它是一个AB=BC的等腰三角形。逐个看选项：A项三边是1,1,√2，对应边比值为(√5)/1、(√5)/1、(√2)/(√2)不都相等，不相似。B项三边是√2, √5, √5，比值与原图√2/√2=1, √5/√5=1, √5/√5=1，完全相等。所以正确答案是B。B项的三边与原图一对一对应成比例，故相似。C项三边√2, 2, √10，比例为1:1:2，与原图比例不统一。D项比例也不对。 能力提升第6题：【答案】BF=2.34（或75/32） 【解析】第一步，找相似。在平行四边形中，AB∥CD，所以∠C+∠ABC=180°，而∠BFA+∠BFE=180°，已知∠BFE=∠C，推得∠BFA=∠ABC。通过一系列角的转化，可证△ABF∽△EAB。第二步，求AE。BE⊥CD，在Rt△ABE中，AB=3，BE=2.4，AE=√(3²+2.4²)=√14.76=3.84。第三步，利用相似△ABF∽△EAB，得到BF/AB = AB/AE。BF/3 = 3/3.84，BF=9/3.84=75/32≈2.34。 能力提升第7题：【答案】甲方案边长约为1.05米，乙方案边长约为1.2米，乙方案更符合要求 【解析】甲方案：正方形顶点在直角处。设边长为x，利用相似三角形列方程：(2.5-x)/2.5 = x/1.8，解出x≈1.05米。乙方案：正方形一边在斜边上，利用相似，设边长为y，先求斜边上的高h=2.5×1.8/√(2.5²+1.8²)≈1.47米。方程(h-y)/h = y/AC，解出y≈1.2米。乙方案边长更长，面积更大，更符合要求。 能力提升第8题：【答案】（2，4）或（-2，-4） 【解析】B点原坐标（1，2）。以O为位似中心，相似比为2:1（即放大到2倍）。对应点B₁有两种情况：同侧时，坐标都乘以2，得（2，4）；异侧时，坐标都乘以-2，得（-2，-4）。两个答案都必须写出，缺一个扣分。 第二部分：课后巩固参考答案 课后巩固第1题：【答案】见解析 【解析】（1）∠AEB=∠C，有一个公共角∠A，所以△ABE∽△ACB，判定1。（2）相似比k=AE/AB=6/7.5=0.8。S△ABE:S△ACB=k²=0.64。注意面积比是平方，别直接写0.8。 课后巩固第2题：【答案】20/9 【解析】正方形边长为4，AE=3，得BE=1。∠AEF=∠B=90°，∠AEB加∠FEC=90°，所以∠EAB=∠FEC，△ABE∽△ECF。AB/EC=BE/CF，4/3=1/CF，CF=3/4。DF=4-3/4=13/4=3.25。 课后巩固第3题：【答案】三个小三角形的面积都等于S 【解析】已知△ABC中D、E、F三等分AB、BC、CA，连接成新三角形DEF。通过等底同高或相似比分析，所有小三角形等面积。三等分点连线形成的三角形面积等于原面积的1/3。 课后巩固第4题：【答案】（1）B₁（-3，6）或（3，-6）。（2）C₁（0，4）或（0，-4） 【解析】（1）B（2，-4），位似中心O，相似比k= -3/2。用k乘坐标：B₁（2×(-3/2)， -4×(-3/2)）=（-3，6）。考虑异侧：B₁（3，-6）或（-3，6）。（2）C在y轴上坐标为（0，-2），C₁同样乘以k或乘以-k，得（0，4）或（0，-4）。 【模块七 课后巩固】 第1题：（本题8分）如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD=6，BD=3，AC=7.5，BC=10。过D作DE∥BC交AC于E。 （1）找出图中的相似三角形并证明。 （2）求△ADE与四边形DBCE的面积比。 【图像说明：三角形ABC，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC，AD=6，BD=3，AC=7.5，BC=10】 第2题：（本题10分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E是CD的中点。把矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处。求线段BF的长及△FEC的面积。 【图像说明：矩形ABCD，E是CD的中点，将三角形ADE沿AE翻折，点D落到BC上的点F】 第3题：（本题12分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC延长线上一点，以AD为边在AD的右侧作等边三角形ADE，连接CE。 （1）求证：△ABD≌△ACE。 （2）如果AB=4，CD=2，求CE的长。 （3）点D在BC延长线上移动，∠DCE的度数是否发生变化？如果变化，说明如何变化；如果不变，求出它的度数。 【图像说明：等边三角形ABC，D在BC延长线右侧，以AD为边向外作等边三角形ADE，E在AD右侧，连接CE】 第4题：（本题6分）在平面直角坐标系中，△OBC的顶点坐标分别为O（0，0），B（2，-4），C（0，-2）。 （1）以原点O为位似中心，相似比为-3/2，写出点B的对应点B₁的坐标。 （2）作出△OBC关于y轴对称的图形，并写出点C的对应点C₁的坐标。 【模块八 易错点分析与学法指导】 【易错点1】判定相似时条件不匹配。 错误表现：看到两个三角形有两边成比例，就判定相似，忘了检查夹角是否相等；或者看到两个角相等，但这两个角不是对应角，导致比例关系搭错桥。正确做法：每写一个判定，都问自己三个问题——我找到的是对应边吗？相等的角是这两边的夹角吗？两个三角形的对应关系理清楚了吗？画个简单草图，把对应关系标注清楚，别靠脑子想。 【易错点2】面积比与相似比混淆。 错误表现：在求面积或面积比时，直接用相似比计算，完全忘了要平方。或者反过来，已知面积比，求相似比时直接照搬，不开方。正确做法：在草稿纸上写下"相似比:k，面积比:k²"这句口诀。每做一道涉及面积的相似题，先列出对应相似比，再平方或开方转化为面积比，养成条件反射式的习惯。 【易错点3】位似图形漏解或多解判断失误。 错误表现：坐标系中位似变换，只写出同侧的对应点坐标，忘了异侧情况；或者在有些几何位似图形问题中，不需要考虑异侧时又多写了。正确做法：读完位似中心位置后，画一条从位似中心出发过原顶点的射线，再反向延长。两种情况对应两个答案，坐标系中用k和-k区分。如果题目有"在第一象限"等限定条件，再据此取舍。 【学法建议1】构建章节地图。 找张大白纸，中间写"相似"，向外发散"判定三定理""性质四条""位似定义与坐标变换"。每条定理旁用一两句话写核心条件和易错提醒，再用箭头串联定理与性质的推导关系。比如"判定1"旁注"两角相等即可"，箭头指向"对应边成比例"，再指向"面积比k²"。每周对着这张图讲给自己听一遍。 【学法建议2】别贪多，分层练。 第一阶段，只练相似三角形的判定，拿到图形不看问题，先找相似，再写依据，连续做15道。第二阶段，加入性质计算，重点练面积比和方程求解。第三阶段，解决位似与坐标系综合。每个阶段确保正确率稳定在85%以上再进入下一层。千万别跳步，判定不熟练就去做综合计算，越做越乱。 【学法建议3】用好错题本，记录"为什么错"。 这道题我错在把面积比当相似比了，为什么？因为题目给了面积是4倍，我脑子里直接反应成边长放大4倍。下次遇到面积倍数，先开方找相似比。把错误原因用红色笔写出来，下次考前翻一翻，这是最高效的复习方式。 知识网络：比例的基本性质（内项积等于外项积）→平行线分线段成比例→相似三角形的判定→相似三角形的性质（对应边、对应高、面积比）→相似三角形实际应用（测高、测距）→位似图形（特殊相似，对应点连线共点，坐标系变换）。本章与八上全等三角形是遥相呼应的，全等是相似比为1的特殊相似，很多全等题的思路可以迁移到相似中来，类比学习效果翻倍。 学科网（北京）股份有限公司 $