第七章 随机变量及其分布 单元测试卷-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 本卷为高二数学“随机变量及其分布”单元测试卷，以二项分布、正态分布、条件概率等为核心，通过校园歌手大赛、植树活动等真实情境，考查数学建模与数据分析能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二项分布方差（题1）、正态分布概率（题3）|基础概念辨析，情境贴近生活| |多选题|3/18|条件概率（题9）、独立事件（题11）|多角度考查逻辑推理| |填空题|3/15|二项分布概率（题12）、条件概率（题13）|聚焦计算与理解| |解答题|5/77|正态分布应用（题15）、全概率公式（题17）、二项分布期望（题19）|综合生活情境（春节促销、餐厅选择），体现数学建模与数据分析|

2025--2026学年第二学期高二数学随机变量及其分布测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．校园歌手大赛设有轮独立打分环节，某选手每一轮获得“高分”的概率为，获得“普通分”的概率为．设表示该选手在轮中获得高分的轮数，则（    ） A． B． C． D． 2．月日是我国的植树节，这一天，小明参加了学校组织的植树活动，种植了，两种树苗各棵，种树苗的成活率为，种树苗的成活率为，记，两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（     ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．已知随机变量服从正态分布，且，则（     ） A．0.21 B．0.22 C．0.28 D．0.32 4．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 则 （    ） A． B． C． D． 5．设A，B是两个随机事件，为A的对立事件，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 7．已知随机变量满足，，则（    ） A． B． C．8 D．24 8．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为2%，1%，3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，70%，10%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，该次品来自第（     ）台车床的概率最大 A．1 B．2 C．3 D．无法判断 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 10．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品.当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先从其他没有奖品的箱子中随机打开一个，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品（），用表示主持人打开3号箱子，则（    ） A． B． C．若甲不更改选择，则获奖的概率为 D．若甲更改选择，则获奖的概率变大 11．下列选项正确的是（     ） A．若随机变量， ，则 B．设随机变量服从正态分布，若 ，则 C．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 “第一次出现4点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件与互斥． D．对于随机事件与，若 ， ，则事件与独立． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________． 13．四个外观完全相同的密封不透明信封，每个信封内各装一张纸条．其中一张纸条写有“恭喜中奖”，其他三张纸条均写有“未中奖”，首先由A同学不放回抽取一个信封，但没有打开；然后B同学从剩下的三个信封中也抽取一个，并立刻打开，发现是“未中奖”．则A同学放弃手中未打开的信封，重新从剩下的两个信封中任取一个，打开后获奖的概率为________；A同学直接打开第一次抽取的信封，打开后中奖的概率为________． 14．小王到某公司面试，一共要回答3道题，每道题答对得2分，答错减1分，设他每道题答对的概率均为（），且每道题答对与否相互独立，记小王答完3道题的总得分为，则当取得最大值时，______________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 16．(本小题15分）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求： (1)第一次和第二次都摸到红球的概率； (2)在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率； (3)第二次摸到红球的概率． 17．(本小题15分）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 18．(本小题17分）某学校有、两个餐厅，经统计发现，学生在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐．此后，如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天还去餐厅的概率为 ；如果某同学某天去餐厅，那么该同学下一天去餐厅的概率为 ． (1)记甲、乙、丙3位同学中第2天选择餐厅的人数为 ，求随机变量的分布列和期望； (2)甲同学第天去餐厅就餐的概率为，求的通项公式 (3)记甲同学前天去餐厅就餐的次数为，求（提示：） 19．(本小题17分）为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动． (1)若数学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答题，答对不少于题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C B D C B ACD BCD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】先判断随机变量服从二项分布，再代入二项分布的方差公式计算即可. 【详解】由题意可知，轮打分环节相互独立，每轮获得高分的概率均为， 故随机变量服从参数为，的二项分布，即。 则，故A正确. 2．C 【分析】根据二项分布的期望性质直接计算即可. 【详解】，都服从二项分布，即， 则，，所以. 3．B 【详解】随机变量服从正态分布， 则 4．C 【详解】由随机变量分布列性质得： ，解得， 所以 ． 5．B 【分析】由题设及条件概率计算公式可得答案. 【详解】因为A的对立事件，且，则，又，则. 6．D 【分析】由题意求得随机变量的分布列，再利用公式可求，最后利用二次函数的性质可求其最大值. 【详解】由题意知，随机变量可能的取值为. ； . 所以. 所以当时，取得最大值，最大值为. 7．C 【分析】先利用二项分布的概率公式求出参数，计算的方差，最后根据方差的运算性质计算即可. 【详解】已知随机变量，则，解得. 所以.根据方差的性质，. 8．B 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式求解即可. 【详解】设事件为“取到次品”，事件为“零件来自第台机床”（）. 由题意知，，；，；，， 由全概率公式得 . 所以，， ，因为，所以次品来自第2台车床的概率最大. 9．ACD 【分析】由对立事件、和事件、条件概率计算公式逐项判断即可. 【详解】选项A： 对立事件概率公式 ​，A正确。 选项B： 和事件概率公式 ，B错误， 选项C： 条件概率公式 ，C正确 选项D： 事件是互斥事件与的和事件， 因此 ​，D正确. 10．BCD 【分析】根据条件概率、全概率公式、贝叶斯公式，结合主持人开箱子的规则求解判断即可. 【详解】选项A：当发生即奖品在1号箱时，甲选了1号箱，主持人可从2、3、4号箱中随机选一个打开，故，A错误. 选项B：易知. 奖品在2号箱时主持人只能开3、4号，故， 奖品在3号箱时主持人不能开3号，故， 奖品在4号箱时主持人只能开2、3号，故， 所以 ，B正确. 选项C：甲不更改选择时，获奖等价于1号箱有奖品，即，C正确. 选项D：甲更改选择时，需在剩余的2、4号箱中选择， 由贝叶斯公式得，同理可得， 因此不管选择哪个箱子，中奖概率均为，大于不更改时的，获奖概率变大，D正确. 11．ABD 【详解】选项A：由于，，得，解得，故A正确； 选项B：标准正态分布的密度曲线关于对称， 若，则，因此， 由对称性可得，故B正确； 选项C：互斥事件的定义是两个事件不能同时发生。当第一次出现4点（A发生）， 第二次出现奇数点时，两次点数之和为奇数（B也发生），说明A、B可同时发生， 不满足互斥事件的要求，故C错误。 选项D：由得， 又，整理得， 满足事件独立的充要条件，因此A与B独立，故D正确. 12． 【分析】由已知可判断随机变量，利用二项分布的概率公式计算，即与的概率之和. 【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品（试验）取得次品（成功）的概率为， 从中取3次（做3次试验），为取得次品（成功）的次数，则， ． 故答案为： 13． 【分析】空1：记同学第次抽取抽到中奖纸条为，B同学从剩下的三个信封中抽取一个抽到未中奖纸条为事件，利用全概率公式求得，进而求得，利用条件概率公式计算即可求解；空2：求出后，利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】空1：记同学第次抽取抽到中奖纸条为， B同学从剩下的三个信封中抽取一个抽到未中奖纸条为事件， 则， ，所以； 空2：，所以. 14． 【分析】设答对题的个数为，由条件可得，结合二项分布期望公式和方差公式求，，根据关系，结合期望性质和方差性质求，，由此可得的解析式，再根据二次函数性质求结论. 【详解】设答对题的个数为，由已知可得， 所以，， 因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分， 所以，所以， ， 所以，又， 所以当时，取最大值，最大值为. 15．(1)的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. (2)655（人） (3)115 【分析】（1）根据正态分布的概念即可求解； （2）根据正态分布的对称性求出成绩在区间内的学生的概率，然后再求人数即可； （3）由题意可得，即满足题意. 【详解】（1） 由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. （2），， 所以成绩在区间内的学生的概率， 故成绩在区间内的学生的人数为(人). （3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此， 根据参考数据：，满足要求， 而，因此. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可. （2）根据条件概率计算公式求解即可. （3）根据全概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球， 所以. 故第一次和第二次都摸到红球的概率为. （2）第一次摸到红球的概率为，所以. 故在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为. （3），则，所以， 所以.故第二次摸到红球的概率为. 17．(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算 【分析】（1）先求出顾客享受到免单优惠的概率，再根据独立事件的概率乘法公式求解即可. （2）结合离散型随机变量及二项分布的期望公式分别求出方案一、方案二的数学期望，比较即可. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为. （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000. ，， ，. 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 18．(1)随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 的期望为 (2) (3) 【分析】（1）不妨假设甲、乙、丙3位同学中第2天选择餐厅就餐相互独立，那么首先求出任意一位同学第天选择去餐厅就餐的概率，依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列，从而求出数学期望； （2）甲同学第天去餐厅的概率为，那么， 当时，， 即可得到数列是以为首项，为公比的等比数列，求出的通项. （3）令，则，所以， 再计算出. 【详解】（1）不妨假设甲、乙、丙3位同学中第2天选择餐厅就餐相互独立，那么 设一位同学第天选择去餐厅就餐的概率为，则． 则，所以，， ，， 故的分布列如下表所示： 0 1 2 3 则的期望为. （2）甲同学第天去餐厅的概率为，那么， 当时，，所以，， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，故. （3）令，则, 那么,由于 , 所以， . 19．(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据超几何分布列出分布列，计算数学期望即可； （2）先求每轮答题中取得胜利的概率，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数. 【详解】（1）由题意可知的可能取值有， ，，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 所以. （2）甲、乙两人在一轮竞赛中总共答对的题数为随机变量 Y ， 由题意可知，每人答 2 题，两人共答 4 题，每道题答对的概率均为,且各题答对与否相互独立， 因此 Y 服从二项分布，则他们在每轮答题中取得胜利的概率为： 设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，， 由，即，解得， 而，则，所以理论上至少要进行轮答题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $