精品解析：江苏省南菁高级中学2025-2026学年高二下学期数学期末模拟2

高二数学 期末模拟2 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，是小于 的正整数，则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 0 B. 10 C. D. 20 5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）． A. 14种 B. 16种 C. 18种 D. 20种 6. 随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 4 6 7 销售额y 20 30 40 44 46 （参考公式：，，参考数据：样本相关系数），则下列判断正确的是（ ） A. y与x呈负相关关系 B. 经验回归直线经过点 C. 经验回归方程为 D. y与x的线性相关程度较强 7. 已知，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为2%，1%，3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，70%，10%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，该次品来自第（ ）台车床的概率最大 A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法判断 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，则对任意的，，下列不等式中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正实数 ， 满足，则的最大值是______． 13. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 14. 现有8个外观相同的逻辑信号模块（分别编号为1至8，视为8个不同的元素），其中，有且仅有2个模块内部的信号流向为“向左”，记其特征值为-1，其余6个模块的信号流向“向右”，记其特征值为+1．现将这8个模块全部分配到 、 两个不同的运行系统中，系统中的模块无需排序，且必须同时满足以下两个条件： ①系统 的特征值之和的绝对值与系统 的特征值之和的绝对值相等（一个系统的特征值之和定义为该系统内所有模块的特征值相加）； ②系统 中必须至少包含一个信号流向为“向左”的模块． 符合条件的分配方案共有________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了250件，对两台机床的产品进行检验，得到如下列联表： 机床类型 产品质量 合计 良品 次品 新型国产机床 175 75 250 原有进口机床 150 100 250 合计 325 175 500 （1）以频率估计概率，估计新型国产机床的次品率； （2）根据小概率值 的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知集合 ，． （1）若，求 ； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． （3）求集合B． 17. 已知函数（ ）． （1）讨论函数的单调性； （2）若，在上单调递增，求实数 的取值范围． 18. 2024年3月14日，某班级为纪念“国际圆周率日”，特举办数学题答题比赛．已知赛题共6道（各不相同），其中3道为高考题，另3道为竞赛题，参赛者依次不放回地从6道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错或者6道题都答完即停止并记录答对题数． （1）举办方进行模拟抽题，设第X次为首次抽到竞赛题，求X的分布列； （2）A同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为，竞赛题答对的概率为 ． ①求A同学停止答题时答对题数为1的概率； ②已知A同学停止答题时答对题数为2，求这两题抽到竞赛题题数Y的均值． 19. 我们可以利用切割线放缩的方法解决导数中的不等式问题，阅读以下材料并解决后面的问题：（1）如图1，对于函数 ，若在其图象上任取两点，，除端点外，线段 始终在函数 的图象的上方，在 的图象上任取点 ，函数 在点C处的切线 除切点外，始终在 图象的下方，我们称 为下凸函数，对于下凸函数，可利用切割线进行放缩， ，当 时， ．（2）如图2，对于函数 ，若在其图象上任取两点，，除端点外，线段 始终在函数 的图象的下方，在 的图象上任取点 ，函数 在点C处的切线 除切点外，始终在 图象的上方，我们称 为上凸函数，对于上凸函数，可利用切割线进行放缩， ，当 时， . 已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 在 上是否存在极值点，请说明理由； （3）若 在 上存在两个不同的零点，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 期末模拟2 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，是小于 的正整数，则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合 ，求出交集中的元素个数即可. 【详解】若集合，是小于 的正整数， 则，则的子集个数为. 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定形式为：“，”. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A选项，当 时，即可判断；对于B选项，通过不等式的性质判断即可； 对于C选项，通过特殊值法判断即可；对于D选项，通过作差法判断即可. 【详解】对于A选项，当 时，，故A错误； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，当 ，时，，故C错误； 对于D选项，，因为，所以，所以，故D正确. 故选：D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 0 B. 10 C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】先求得展开式的通项公式，分别求和的项，结合题意即可求得答案. 【详解】由题意得展开式的通项公式为， 令，， 令，，所以的系数为0. 故选：A. 5. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）． A. 14种 B. 16种 C. 18种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】可以按照元素甲分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解. 【详解】按照甲是否在天和核心舱划分， ①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的4人中选取3人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能； ②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下5人中选取4人进入天和核心舱即可，则有种可能； 根据分类加法计数原理，共有种可能. 故选：C. 6. 随机抽取5家超市，得到其广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 1 2 4 6 7 销售额y 20 30 40 44 46 （参考公式：，，参考数据：样本相关系数），则下列判断正确的是（ ） A. y与x呈负相关关系 B. 经验回归直线经过点 C. 经验回归方程为 D. y与x的线性相关程度较强 【答案】D 【解析】 【分析】利用正负相关的概念即可作出选项A的判断，利用经验回归直线经过样本中心点，可通过计算判断B，利用公式求参数和，即可判断C，利用相关系数接近于1可判断D. 【详解】由样本相关系数可得y与x呈正相关关系，故A错误； 由数据可得: , 故经验回归直线经过点，故B错误； 由， 则，故经验回归方程为，故C错误； 由于样本相关系数较接近于1，则y与x的线性相关程度较强，故D正确； 故选：D. 7. 已知，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察 的式子结构，构造函数，利用导数判断得的单调性，从而判断得，再利用对数函数的单调性判断得，从而得解. 【详解】因为， 观察 的式子结构，构造函数，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为，所以，即， 所以，即，即； 又，所以，即； 综上，. 故选：B. 8. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为2%，1%，3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，70%，10%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，该次品来自第（ ）台车床的概率最大 A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式求解即可. 【详解】设事件 为“取到次品”，事件为“零件来自第台机床”（）. 由题意知， ， ； ， ； ， ， 由全概率公式得 . 所以， ， ， 因为，所以次品来自第2台车床的概率最大. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式通项公式判断A，利用赋值法来判断BC，利用求导法，结合赋值来判断D. 【详解】由，所以，故A正确； 令 得：， 令 得：， 所以，故B错误； 再令得：， 与相加得：，故C正确； 由，两边同乘可得; , 两边求导得：， 再令 得：，故D正确； 故选：ACD. 10. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，所以，所以A错误； 对于B中，根据正态分布密度曲线图像，可得时， 随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量 对应的曲线与围成的面积， 所以， 所以B正确； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像， 可得， ， 即，所以C错误； 对于D中，因为， 所以， 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间，所以D正确； 故选：BD. 11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且，则对任意的，，下列不等式中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用题意可构造函数在上单调递减，再利用赋值，借助单调性研究不等式即可得出BCD的判断，对于A则举反例判断即可. 【详解】由于，因为， 所以有， 即函数在上单调递减， 对于A，根据函数在上单调递减，不妨取，满足，此时，故A错误； 对于B，由，都有， 即 同向不等式可相加得：，故B正确； 对于C，由，可得， 即，故C正确； 对于D，不妨设任意的，都有， 即， ，故D正确； 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正实数， 满足，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求最大值. 【详解】因为正实数， 满足， 可由基本不等式可得：， 当且仅当取等号， 所以的最大值是， 故答案为： 13. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】对求导，化简得到，令，转化为直线与有两个交点，求解即可. 【详解】由题意可得，，所以等价于， 即在时，有两个不同的解，所以，令， 问题转化为直线与有两个交点时， 的取值范围，所以， 令 ，解得，解得，当时，，单调递增， 当时， ，单调递减，因此在处，取得最大值，所以， 当 时，，当时，，所以. 14. 现有8个外观相同的逻辑信号模块（分别编号为1至8，视为8个不同的元素），其中，有且仅有2个模块内部的信号流向为“向左”，记其特征值为-1，其余6个模块的信号流向“向右”，记其特征值为+1．现将这8个模块全部分配到 、两个不同的运行系统中，系统中的模块无需排序，且必须同时满足以下两个条件： ①系统 的特征值之和的绝对值与系统的特征值之和的绝对值相等（一个系统的特征值之和定义为该系统内所有模块的特征值相加）； ②系统 中必须至少包含一个信号流向为“向左”的模块． 符合条件的分配方案共有________种． 【答案】55 【解析】 【分析】根据组合知识，结合分类计数原理求解即可. 【详解】由题意知，8个模块总特征值为：. 设系统 的特征值之和为，则系统的特征值之和为， 由条件①知，，解得. 设系统 中有 个向左模块，结合条件②可得， 或. 当 时，则系统 中有1个向左模块，3个向右模块，方案数：； 当时，则系统 中有2个向左模块，4个向右模块，方案数：； 所以总方案数为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了250件，对两台机床的产品进行检验，得到如下列联表： 机床类型 产品质量 合计 良品 次品 新型国产机床 175 75 250 原有进口机床 150 100 250 合计 325 175 500 （1）以频率估计概率，估计新型国产机床的次品率； （2）根据小概率值 的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）认为产品的质量与使用机床的类型有关 【解析】 【分析】（1）用次品除以总数，即可求出次品率； （2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 样品中，新型国产机床的次品频率为， 利用样本估计总体，得新型国产机床的次品率约为． 【小问2详解】 零假设为：产品的质量与使用机床的类型无关． 由列联表可得，， 依据 的独立性检验，推断不成立， 即认为产品的质量与使用机床的类型有关． 16. 已知集合 ，． （1）若，求 ； （2）若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围． （3）求集合B． 【答案】（1） （2） ． （3）当 时， ；当 时，；当 时，B为 . 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合 ， ，再利用补集，交集的定义求解. （2）求出集合，再利用充分不必要条件定义列式求解. （3）对 的取值进行分类讨论，解得集合. 【小问1详解】 当 时， ， 则 或. 而， 所以. 【小问2详解】 当 时，. 由（1）知 ，由“ ”是“ ”成立的充分不必要条件， 得集合A是集合B的真子集， 则或，解得 或 . 所以正实数m的取值范围为 ． 【小问3详解】 当 时，； 当 时，； 当 时，B为 . 17. 已知函数（ ）． （1）讨论函数的单调性； （2）若，在上单调递增，求实数 的取值范围． 【答案】（1）时，在单调递减；时，在递增，在递减，在递增； （2） 【解析】 【分析】（1）分 ，，讨论，当时，分别解不等式，即可； （2）由在单调递增可得 恒成立，然后参变分离，令，利用导数求的最大值即可求解. 【小问1详解】 由题意得， ①当 时，在单调递减； ②当时，，在单调递减； ③当时，令；解得：或， 令，解得：， 故在递增，在递减，在递增； 综上：时，在单调递减； 时，在递增，在递减，在递增； 【小问2详解】 在上单调递增， 则对恒成立， 令，，则 令，解得：，令 ，解得：， 故在递增，在递减， 故，故， 即实数m的取值范围为. 18. 2024年3月14日，某班级为纪念“国际圆周率日”，特举办数学题答题比赛．已知赛题共6道（各不相同），其中3道为高考题，另3道为竞赛题，参赛者依次不放回地从6道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错或者6道题都答完即停止并记录答对题数． （1）举办方进行模拟抽题，设第X次为首次抽到竞赛题，求X的分布列； （2）A同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为，竞赛题答对的概率为 ． ①求A同学停止答题时答对题数为1的概率； ②已知A同学停止答题时答对题数为2，求这两题抽到竞赛题题数Y的均值． 【答案】（1）分布列见解析 （2）①，②. 【解析】 【分析】（1）写出可能取值，并分别求出对应的概率，列出分布列即可； （2）①设出事件，分析可能的情况，并求出概率即可； ②写出 可能的取值，并计算出各个取值的概率，列出分布列并计算出数学期望. 【小问1详解】 由题意知：可能取 ，. ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 【小问2详解】 ①设“A同学停止答题时答对题数为1”为事件 “A同学第一次抽中高考题，第二次抽中竞赛题并答错”为事件， “A同学第一次抽中竞赛题并答对，第二次还抽中竞赛题并答错”为事件， 则，， 所以. ②由A同学停止答题时答对题数为2， 设事件“第次选中竞赛题没答对”，“第次选中竞赛题并答对”，“第次选中选中高考题”， 答题结束时答对 2 题的概率为： ， 易知 可能取， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 1 2 所以 【点睛】本题解决的关键是，熟练掌握全概率公式与贝叶斯公式求得 的分布列，从而得解. 19. 我们可以利用切割线放缩的方法解决导数中的不等式问题，阅读以下材料并解决后面的问题：（1）如图1，对于函数 ，若在其图象上任取两点，，除端点外，线段 始终在函数 的图象的上方，在 的图象上任取点 ，函数 在点C处的切线 除切点外，始终在 图象的下方，我们称 为下凸函数，对于下凸函数，可利用切割线进行放缩， ，当 时， ．（2）如图2，对于函数 ，若在其图象上任取两点，，除端点外，线段 始终在函数 的图象的下方，在 的图象上任取点 ，函数 在点C处的切线 除切点外，始终在 图象的上方，我们称 为上凸函数，对于上凸函数，可利用切割线进行放缩， ，当 时， . 已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 在 上是否存在极值点，请说明理由； （3）若 在 上存在两个不同的零点，，证明：． 【答案】（1） （2） 存在唯一极大值点． （3）证明：由（2） 可得在取到极大值 ，且 . 又因为 ， 在 上存在两个不同的零点， 所以 ， . 所以当且仅当 时， 在 上和 上各恰有一个零点，即为，，不妨设. 因为 ，所以在点处的切线方程为 ，即 . 令 ，则 . 令 ， 则 . 所以 在 单调递减. 而 ， 所以对任意的 ， ，所以 在 单调递减. 又因为 ，所以对任意的 ， ． 即当 时， . ∴ ，即 .所以. 因为 ，所以在点处的切线方程为 ，即 . 令 ， 则 . 令 ， 则 . 所以 在 单调递减. 而 ， 所以对任意的 ， ，所以 在 单调递增. 又因为 ，所以对任意的 ， ． 即当 时， . ∴ ，即 . 所以. 所以. 【解析】 【分析】（1）利用 为函数在 处的斜率即可求得切线方程. （2）先求 ，再令 ，利用 恒成立，判断 在 上单调递减， 而 ， 可知存在 ，从而确定 在 的单调性，可得到 存在唯一极大值点. （3）利用（1）的切线方程， 以及上凸函数的切割线进行放缩，可得到零点，的范围，从而可证明结论. 【小问1详解】 当 时， . 所以 . 所以 . 又因为 ， 所以 在 处的切线方程为 . 【小问2详解】 由 ， 则 . 令 ， 则 因为对任意的 ，所以 ， ， . 所以对任意的 ， 恒成立. 所以 在 上单调递减. 而 ， ， 由零点存在性定理，存在 ，使得 . 于是 ， ， ， ， 因此 在 上单调递增，在 上单调递减. 所以 存在唯一极大值点． 【小问3详解】 略. 【点睛】本题立足凸函数新定义，运用导数研究单调性与极值，借助割线放缩建立零点约束，完成零点间距不等式证明，体现材料迁移与数形放缩的核心导数解题思路. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $