精品解析：2026年河北省邯郸市曲周县中考前模拟数学试题

2026年河北省初中学业水平考试临考预测卷 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 计算下列各式，值为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列中国古典园林花窗纹样中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 回纹 B. 橄榄纹 C. 风车纹 D. 套三角纹 3. 函数的自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将直尺和含角的直角三角板按如图所示的位置摆放，若的度数减少，则的度数（ ） A. 增加 B. 减少 C. 不变 D. 不能确定 5. 国家数据局将2026年定为“数据价值释放年”．某大模型每处理1个词元（ ，大模型处理信息的最小单元）需执行1400亿次浮点运算，则处理2000个词元需执行的浮点运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点E，连接，则（ ） A. B. C. D. 7. 嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（ ） A. B. C. 1 D. 3 9. 某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（ ） A. 共有12种等可能的结果 B. 顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C. 顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D. 顾客获得5元奖金的概率为 10. 某数学活动小组利用无人机测量一温室大棚的高度．如图，无人机在距离水平地面20 m的点P处，测得大棚左端底部A的俯角为，测得大棚最高点C的俯角为．已知大棚的跨度，曲线可看作一段圆弧，则大棚的最大高度（点C到地面的距离）约为（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 11. 某市开展青少年足球比赛，5所中学各派1支球队参加．每2支球队之间都要进行一场比赛，规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，各球队积分都不相同．已知各场比赛均分出了胜负，则这5支球队积分的中位数是（ ） A. 3分 B. 6分 C. 9分 D. 12分 12. 如图，菱形的边长为3，点E在边上，，点F是的中点，延长，交于点P，与，分别交于点G，H．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 14. 化简：________． 15. 如图，在等边三角形中，，点D，E分别在边，上，且，则当线段最短时，的长为________． 16. 如图，正方形的顶点均在坐标轴上，点E从点出发，沿正方形的边按逆时针方向（）以每秒个单位长度的速度运动．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，线段与正方形的边交于点．当点运动时，点的坐标为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数轴上的单位长度为1，点A，B是数轴上两点． （1）若点A，B表示的数互为相反数，则点A表示的数为________； （2）若点A，B表示的数的和为，求点A，B表示的数． 18. 某校为了解七年级学生上下学的交通方式，随机抽取了100名学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）若将此调查结果绘制成扇形统计图，求“公交”所对应的扇形圆心角的度数． （2）若该校七年级共有500名学生，估计其中“步行”上下学的学生有多少人． （3）淇淇说：“从被抽查的100人中随机抽取25人，一定会抽到2人骑车．”淇淇的说法正确吗？请简要说明理由． 19. 如图，在中，，，，过点C作，使（点D在上方），过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，求点C到的距离． 20. 现有一张矩形卡片，卡片的边长如图1所示（ ），将这张卡片沿虚线剪成4个完全相同的小矩形，再将这4个小矩形围成如图2所示的正方形． 图1 图2 （1）用含a，b的式子表示图2中正方形的周长． （2）嘉嘉结合图形猜想：两整数和的平方减去这两个整数差的平方，结果一定是4的倍数．请用代数式的相关运算验证这个猜想． （3）若图1中1个小矩形的面积为7，图2中正方形的面积为36，直接写出a的值． 21. 某商场为了庆祝开业，计划租赁A，B两款人形机器人共20台进行表演．已知每台A款机器人比每台B款机器人的日租金贵0.4万元，若租用一天，则用8万元租赁的B款机器人的台数是用6万元租赁的A款机器人台数的2倍． （1）求每台A款机器人和每台B款机器人的日租金分别为多少万元． （2）若该商场计划租赁一天，其中租赁的A款机器人不超过12台，且租赁的A款机器人的台数不低于B款机器人台数的． ①求共有多少种租赁方案． ②实际租赁时，若A款机器人的日租金每台降低万元，B款机器人的日租金不变，请通过计算说明：当租赁多少台A款机器人时，总费用最少？最少总费用为多少万元（用含m的式子表示）？ 22. 善于动手实践的嘉嘉制作了如图1所示的一把“U”形尺，已知，，，．利用该“U”形尺可以测量圆的半径，进行探索后，他设计出如下问题，请你解答． 图1 图2 图3 （1）如图2，点A，B，C，D恰好都在圆上，点P是上一点，且． ①利用无刻度的直尺作出该圆的圆心M．（不写作法，保留作图痕迹） ②求的长． （2）如图3，与相切于点Q，与相交于点D，E．若点Q在“U”形尺上的读数为，求的半径． 23. 在中，，，，点P是 边上一动点，将 沿直线 折叠得到． （1）如图1，当点落在 边上时，求证：四边形是菱形． （2）当时，如图2，求的长． （3）连接． ①当点在内部，且与的某条边垂直时，直接写出的长，并选择其中一种情况写出求解过程． ②如图3，点Q在上，且，连接，当最短时，直接写出的值． 24. 如图，抛物线 与直线 交于点A，B，抛物线 的顶点为P． （1）直接写出点A，B的坐标． （2）若抛物线经过点A，B中的一个点，求a的值． （3）若点P在x轴上方，求a的取值范围． （4）若抛物线，交于点 ， （其中）． ①当 的中点M恰好落在直线l上时，求点M的坐标； ②若当时，函数 的最小值为，直接写出点P的横坐标h的取值范围． （温馨提示： ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平考试临考预测卷 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 计算下列各式，值为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数加减和乘除的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】，即选项A符合题意； ，即选项B不符合题意； ，即选项C不符合题意； ，即选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握有理数加减和乘除运算的性质，从而完成求解． 2. 下列中国古典园林花窗纹样中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 回纹 B. 橄榄纹 C. 风车纹 D. 套三角纹 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形：沿一条直线对折后，直线两侧的部分可以完全重合；中心对称图形：绕图形中心旋转后，旋转后的图形可以和原图形完全重合；据此求解即可． 【详解】解：A、选项图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B、选项图形既不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； D、选项图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意． 3. 函数的自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围并在数轴上表示出来即可． 【详解】∵， ∴x−2≥0，解得x≥2， 在数轴上表示为： 故选：B． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知二次根式有意义的条件是解答此题的关键． 4. 将直尺和含角的直角三角板按如图所示的位置摆放，若的度数减少，则的度数（ ） A. 增加 B. 减少 C. 不变 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作，利用平行线的性质得出，若的度数减少，根据等式的基本性质即可判断的度数减少． 【详解】解：如图，过点A作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 若的度数减少， 则，即的度数减少． 5. 国家数据局将2026年定为“数据价值释放年”．某大模型每处理1个词元（ ，大模型处理信息的最小单元）需执行1400亿次浮点运算，则处理2000个词元需执行的浮点运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：亿， ． 6. 如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点E，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知，直线是线段的垂直平分线，则，，再由三角形内角和定理求出，然后根据求解． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 7. 嘉嘉和淇淇在体育课上跑步锻炼，操场的跑道一圈是，嘉嘉跑一圈需要，淇淇跑一圈需要，若两人同时同向出发，后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是同向追及行程问题，可将一圈长度看作单位1，先表示两人的速度，再根据“嘉嘉的路程减去淇淇的路程等于1圈”列方程即可． 【详解】解：∵将跑道一圈的长度看作单位1， ∴嘉嘉的速度为，淇淇的速度为， ∵s后嘉嘉恰好比淇淇多跑一圈，路程差为1， ∴嘉嘉路程为，淇淇路程为，可得方程， 因此正确选项为A． 8. 在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据自变量的条件，分和两种情况，结合反比例函数的增减性得到函数的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． 当时，，、都满足，均为可能的函数值； 当时，当时，，结合函数增减性可得时，∴3是可能的函数值； 因此是不可能的函数值． 9. 某超市举行有奖促销活动，顾客在超市购物满200元有一次抽奖的机会，规则如下：如图，抽奖转盘被等分成四个扇形区域，每个扇形上分别写有1元、2元、3元、5元，抽奖时，顾客转动转盘两次，转盘停止后，指针所指区域内的金额之和即为顾客获得的奖金（当指针指向分界线时，重转）．顾客抽奖一次，关于抽奖结果，下列说法正确的是（ ） A. 共有12种等可能的结果 B. 顾客获得的奖金金额有7种不同的可能 C. 顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为 D. 顾客获得5元奖金的概率为 【答案】C 【解析】 【详解】画树状图如图所示： 由树状图可知，共有16种等可能结果，故A选项不正确； 顾客获得的奖金金额有8种不同的可能，故B选项不正确； 顾客获得4元或6元奖金的等可能结果数均为3，高于其它金额，故顾客获得4元或6元奖金的概率最大，概率均为，故C选项正确； 顾客获得5元奖金的可能结果数均为2，其概率为，故D选项不正确． 10. 某数学活动小组利用无人机测量一温室大棚的高度．如图，无人机在距离水平地面20 m的点P处，测得大棚左端底部A的俯角为，测得大棚最高点C的俯角为．已知大棚的跨度，曲线可看作一段圆弧，则大棚的最大高度（点C到地面的距离）约为（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先构造直角三角形，利用给定的三角函数值先后求出与后即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A与点C作地面的垂线，分别交过P点的水平线于点E与点D，其中交于点O， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵C点是圆弧的最高点，大棚的跨度， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 11. 某市开展青少年足球比赛，5所中学各派1支球队参加．每2支球队之间都要进行一场比赛，规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．比赛结束后，各球队积分都不相同．已知各场比赛均分出了胜负，则这5支球队积分的中位数是（ ） A. 3分 B. 6分 C. 9分 D. 12分 【答案】B 【解析】 【分析】先计算总比赛场数和每支球队的比赛场数，结合题干条件推出各队的积分，排序后即可求出中位数． 【详解】解：∵共有5支球队，每2支球队之间赛1场， ∴每支球队共进行场比赛，总比赛场数为场，所有比赛共产生个胜场． ∵各场比赛都分出胜负，胜一场得分，负一场得分， ∴每支球队的积分胜场数，必为的倍数． 又∵各队积分互不相同，胜场数只能取，对应总胜场数为，刚好等于总胜场数，符合题意， ∴把5支球队的积分从小到大排列为， ∵个数的中位数为从小到大排列的第个数， ∴积分的中位数为，故选B． 12. 如图，菱形的边长为3，点E在边上，，点F是的中点，延长，交于点P，与，分别交于点G，H．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，结合点F是的中点，可判断选项A；证明，求得，可判断选项B；证明和，求得，，可判断选项C；由与在顶点的高相等，求得，，据此求解可判断选项D． 【详解】解：∵菱形的边长为3，， ∴，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵与在顶点的高相等， ∴， ∴，， ∴，故选项D错误，符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 化简：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 如图，在等边三角形中，，点D，E分别在边，上，且，则当线段最短时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用勾股定理列式得到，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，则， ∵等边三角形中，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在中， 由勾股定理得 ， ∵， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∴当线段最短时，的长为． 16. 如图，正方形的顶点均在坐标轴上，点E从点出发，沿正方形的边按逆时针方向（）以每秒个单位长度的速度运动．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，线段与正方形的边交于点．当点运动时，点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出正方形的边长为，可以求出正方形的周长为，根据点运动的速度和时间可知第时点的运动路程为个单位长度，可知点沿着正方形的边运动了圈又个单位长度，可知第时点运动到边上，且，过点作轴于点，作轴，过点作，根据等腰直角三角形的性质可知，，可证，根据全等三角形的性质可以求出点的坐标，利用待定系数法分别求出直线、的解析式，把这两个解析式联立成二元一次方程组，求出方程组的解即为点的坐标． 【详解】解：四边形是正方形， ， 点的坐标为， ， ， ， 正方形的周长为， 点的运动速度为每秒个单位长度，运动了， 点的运动路程为个单位长度， ， 点运动到边上，， 如下图所示，过点作轴于点，作轴于点N，过点作于点M， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ，， ，， 由旋转可知， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， 点是与轴的交点，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， ， 直线的解析式为， 四边形是正方形，点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 点的坐标为． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数轴上的单位长度为1，点A，B是数轴上两点． （1）若点A，B表示的数互为相反数，则点A表示的数为________； （2）若点A，B表示的数的和为，求点A，B表示的数． 【答案】（1） （2）点A表示的数为，点B表示的数为 【解析】 【分析】（1）根据相反数的定义，结合数轴即可求解； （2）设点A表示的数为x，则点B表示的数为，根据点A，B表示的数的和为，即可得关于x的方程，解方程即可求解； 【小问1详解】 解：∵点A，B表示的数互为相反数，点A，B间的距离是4，且点A在左侧， ∴点A表示的数为； 【小问2详解】 解：设点A表示的数为x，则点B表示的数为， 由题意得， 解得， ∴点A表示的数为， 点B表示的数为． 18. 某校为了解七年级学生上下学的交通方式，随机抽取了100名学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）若将此调查结果绘制成扇形统计图，求“公交”所对应的扇形圆心角的度数． （2）若该校七年级共有500名学生，估计其中“步行”上下学的学生有多少人． （3）淇淇说：“从被抽查的100人中随机抽取25人，一定会抽到2人骑车．”淇淇的说法正确吗？请简要说明理由． 【答案】（1） （2）160人 （3）不正确． 理由：“从被抽查的100人中随机抽取25人，抽到2人骑车”是随机事件，不是必然事件，故淇淇的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）用360度乘以公交所占的比例即可； （2）用总人数乘以步行所占的比例即可； （3）根据随机事件的定义判断即可． 【小问1详解】 ． 答：“公交”所对应的扇形圆心角的度数为． 【小问2详解】 （人）． 答：估计其中“步行”上下学的学生有160人． 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，，，，过点C作，使（点D在上方），过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，求点C到的距离． 【答案】（1）证明：， ， ． ， ， ， 又，， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等角的余角相等得到，再结合，，由即可证明； （2）过点C作于点H，由勾股定理求出，再根据，即可求点C到的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点H． ， ，， ， ， ， ， ∴点C到的距离为． 20. 现有一张矩形卡片，卡片的边长如图1所示（ ），将这张卡片沿虚线剪成4个完全相同的小矩形，再将这4个小矩形围成如图2所示的正方形． 图1 图2 （1）用含a，b的式子表示图2中正方形的周长． （2）嘉嘉结合图形猜想：两整数和的平方减去这两个整数差的平方，结果一定是4的倍数．请用代数式的相关运算验证这个猜想． （3）若图1中1个小矩形的面积为7，图2中正方形的面积为36，直接写出a的值． 【答案】（1） （2）设x，y是任意两个整数， 则 ， ，y均为整数， 为整数， ∴两整数和的平方减去这两个整数差的平方，结果一定是4的倍数． （3） 【解析】 【分析】（1）由图2可得正方形的边长为，即可计算周长； （2）设x，y是任意两个整数，利用完全平方公式计算，即可证明； （3）根据题意得，，再由图2可得，，则，，即可计算． 【小问1详解】 解：正方形的周长为； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：∵图1中1个小矩形的面积为7， ∴， ∵图2中正方形的面积为36， ∴， ∵， ∴， 由图2可得，， ∵， ∴， ∴． 21. 某商场为了庆祝开业，计划租赁A，B两款人形机器人共20台进行表演．已知每台A款机器人比每台B款机器人的日租金贵0.4万元，若租用一天，则用8万元租赁的B款机器人的台数是用6万元租赁的A款机器人台数的2倍． （1）求每台A款机器人和每台B款机器人的日租金分别为多少万元． （2）若该商场计划租赁一天，其中租赁的A款机器人不超过12台，且租赁的A款机器人的台数不低于B款机器人台数的． ①求共有多少种租赁方案． ②实际租赁时，若A款机器人的日租金每台降低万元，B款机器人的日租金不变，请通过计算说明：当租赁多少台A款机器人时，总费用最少？最少总费用为多少万元（用含m的式子表示）？ 【答案】（1）每台A款机器人和每台B款机器人的日租金分别为1.2万元、0.8万元 （2）①共有5种租赁方案；②当租赁8台A款机器人时，总费用最少，最少总费用是万元 【解析】 【分析】（1）设每台B款机器人的日租金为b万元，则每台A款机器人的日租金为万元，根据“若租用一天，则用8万元租赁的B款机器人的台数是用6万元租赁的A款机器人台数的2倍”列分式方程求解； （2）①设租赁x台A款机器人，则租赁台B款机器人，根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据x为整数，可得x的取值，即可得租赁方案的种数； ②设租赁x台A款机器人时，租赁两款机器人的总费用为y万元，根据题意列出一次函数，根据一次函数的性质求最小值． 【小问1详解】 解：设每台B款机器人的日租金为b万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：每台A款机器人和每台B款机器人的日租金分别为1.2万元、0.8万元； 【小问2详解】 解：①设租赁x台A款机器人，则租赁台B款机器人， 根据题意，得， 解得， 又， ，且x为整数， ，9，10，11或12， ∴共有5种租赁方案， ②设租赁x台A款机器人时，租赁两款机器人的总费用为y万元， 则， ， ， 随x的增大而增大， ∴当时，y最小，最小值为， 答：当租赁8台A款机器人时，总费用最少，最少总费用是万元． 22. 善于动手实践的嘉嘉制作了如图1所示的一把“U”形尺，已知，，，．利用该“U”形尺可以测量圆的半径，进行探索后，他设计出如下问题，请你解答． 图1 图2 图3 （1）如图2，点A，B，C，D恰好都在圆上，点P是上一点，且． ①利用无刻度的直尺作出该圆的圆心M．（不写作法，保留作图痕迹） ②求的长． （2）如图3，与相切于点Q，与相交于点D，E．若点Q在“U”形尺上的读数为，求的半径． 【答案】（1）①圆心M如图1所示 ② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据，，可知、均为的直径，则、的交点即为圆心M； ②连接，由圆周角定理得，则，再由弧长公式计算即可； （2）方法一：如图3，连接，过点O作于点H，则，由勾股定理求出，再由垂径定理得，证明，根据相似三角形对应边成比例求解； 方法二：如图4，连接，，过点O作于点H．证明四边形是矩形，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 解：①略； ②在中，根据勾股定理，得， 的半径为， 如图2，连接， ， ， ， ， 的长为； 【小问2详解】 解：方法一：如图3，连接，过点O作于点H，则． ，， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ． 又， ， ，即， 解得， 的半径为； 方法二：如图4，连接，，过点O作于点H． 是的切线， ， 又， ∴四边形是矩形． 设，则， ，， ． 在中，根据勾股定理，得， 又， ， 解得， ， 的半径为． 23. 在中，，，，点P是 边上一动点，将 沿直线 折叠得到． （1）如图1，当点落在 边上时，求证：四边形是菱形． （2）当时，如图2，求的长． （3）连接． ①当点在内部，且与的某条边垂直时，直接写出的长，并选择其中一种情况写出求解过程． ②如图3，点Q在上，且，连接，当最短时，直接写出的值． 【答案】（1）证明：由折叠知，，， ∵四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形． （2） （3）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质，得到四条边都相等，从而证明四边形是菱形； （2）根据折叠性质得到，，结合条件和勾股定理得到，在中，根据勾股定理列方程，求出的长； （3）①根据条件分类讨论，当时，过点A作，过点作，根据三个角等于90°证明四边形是矩形，在中，根据勾股定理得，从而求出的长；当时，延长交于点H，过点A作，在中，根据锐角三角函数和勾股定理得出和，在中，根据勾股定理得的长，从而求出的长； ②延长到点G，使得，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，进而得到，在中，根据锐角三角函数得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设交于点E， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得，， 设，则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得：， ∴． 【小问3详解】 ①当时，过点A作，过点作， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，根据勾股定理得，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时，延长交于点H，过点A作， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， 即， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， 即， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当时，；当时，． ②延长到点G，使得，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 当最短时，也就是最短， 随着点P的运动，点始终都在以A为圆心，以长为半径的圆上， ∴当点A、、G三点共线时，根据两点之间线段最短，此时最短， 过点G作，交延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， 即， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠性质，菱形的判定、勾股定理、锐角三角函数解直角三角形、相似三角形的性质和判定、两点之间线段最短，解题关键是数形结合和分类讨论，以及转化思想． 24. 如图，抛物线 与直线 交于点A，B，抛物线 的顶点为P． （1）直接写出点A，B的坐标． （2）若抛物线经过点A，B中的一个点，求a的值． （3）若点P在x轴上方，求a的取值范围． （4）若抛物线，交于点 ， （其中）． ①当 的中点M恰好落在直线l上时，求点M的坐标； ②若当时，函数 的最小值为，直接写出点P的横坐标h的取值范围． （温馨提示： ） 【答案】（1）， （2） （3）或 （4）①；② 或 【解析】 【分析】（1）联立解方程组，再结合图象可知，，； （2）抛物线与轴的交点为，得到抛物线不经过点，经过点，代入解方程即可； （3）当时，点P在x轴上方，则抛物线与x轴没有交点，根据 ，解不等式即可；当时，点P在x轴上方，则抛物线与x轴有两个交点，根据 ，解不等式即可； （4）①联立，得到，， ，即可得到 的中点M坐标为，最后根据点M恰好落在直线l上列方程求解即可； ②抛物线 的顶点P的横坐标，则，，当时， ，根据抛物线上点到对称轴距离越近值越大，得到，两边平方后整理得到 ，代入解得 ；当时， ，由最小值得到当时，位于对称轴右边，即，由①可得是方程 的两根，解得，解不等式即可得到． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 解得或， 结合图象可知，，； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴抛物线与轴的交点为， ∴抛物线不经过点，经过点， ∴ ， 解得； 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： 当时，点P在x轴上方，则抛物线与x轴没有交点， ∴方程 没有实数根， ∴ ， 解得， ∴； 当时，点P在x轴上方，则抛物线与x轴有两个交点， ∴方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得， ∴； 综上所述，若点P在x轴上方，a的取值范围为或； 【小问4详解】 解：①∵抛物线 ， 交于点 ， （其中）． ∴联立， 整理得 ， ∴，， ∴ ∵ ， ， ∴ 的中点M坐标为， ∴， ∵ 的中点M恰好落在直线l上， ∴ ， 解得， ∴，， ∴； ②∵抛物线 的顶点为P， ∴函数 对称轴即为点P的横坐标h， ∴， ∴，， 当时， ，抛物线 开口向下，抛物线上点到对称轴距离越近值越大， ∵当时，函数 的最小值为， ∴， 两边平方后整理得 ， ∵， ∴ ， ∴ ， 结合 ，解得 ； 当时， ，抛物线 开口向上，没有范围限制时顶点处取最小值，对称轴右边随的增大而增大， ∵当时，函数 的最小值为， ∴当时，位于对称轴右边， ∴ 由①可得是方程 的两根， 代入整理得， ∴当两抛物线只有一个交点，即，不合题意； ∵， ∴当时，结合解得， 此时根据解得， ∴， 当时，，，不等式两边同时乘以整理得， ∵， ∴此不等式无解； 当时，，，不等式两边同时乘以整理得， ∵， ∴此不等式恒成立； ∴， ∴点P的横坐标h的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $