课时作业2 函数的单调性与最值-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值，通过定义法、复合函数法、构造法等系统方法，构建“概念-判断-应用”逻辑链条，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性判断|单选1-6、多选7|定义法、复合函数“同增异减”、构造函数法|从单调性定义推导到绝对值、分段、复合函数判断| |最值求解|单选3、多选8-9、填空10-11|配方法、换元法、分离常数法|结合定义域分析二次、分式等函数值域| |综合应用|解答13-14|分段函数图象法、单调性解不等式|整合单调性与最值解决参数范围问题|

课时2 函数的单调性与最值 一、单选题 1．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[0,2] D．[0，＋∞) 2．下列函数中，在其定义域上单调递增的是(　　) A. y＝ B. y＝tan x C. y＝ D. y＝ 3. (2026·福建厦门市调考)已知函数f(x)＝则f(x)的最大值是(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 4．(2026·黑龙江哈尔滨市质检)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5、下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，+∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是(　　) A.f(x)=x|x| B.f(x)= C.f(x)=-x2+2x D.f(x)=x3-x2+2x 6、已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数 C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数 二、多选题 7．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的有(　　) A.f(x)＝－ B.f(x)＝x2－3x C.f(x)＝|x＋2| D.f(x)＝3－x 8、(2026·甘肃兰州市模拟)下列关于函数f(x)＝的结论正确的有(　　) A.定义域、值域分别是[－1，3]和[0，＋∞) B.单调递增区间是(－∞，1] C.定义域、值域分别是[－1，3]和[0，2] D.单调递增区间是[－1，1] 9、(2026·河北沧州市七校联考)下列函数中，值域正确的有(　　) A.当x∈[0，3)时，函数y=x2-2x+3的值域为[2，6) B.函数y=的值域为R C.函数y=2x-的值域为 D.函数y=的值域为[，+∞) 三、填空题 10. 已知函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，则满足f(2x-1)>f 的x的取值范围是　　　　.  11、若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是 . 12．设函数f(x)＝x2 025－＋5，则f(x)的单调递增区间为________，不等式f(x－1)<5的解集为________． 四、解答题 13. 已知函数f(x)=x|x-4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系中，作出函数f(x)的大致图象； (2)写出函数f(x)的单调递减区间. 14. (2026·湖北宜昌一中月考)已知函数． (1)试判断函数的单调性，并利用定义给出证明； (2)若，求实数的取值范围． 课时2 函数的单调性与最值参考答案 1．B【解析】因为y＝|x－2|＝所以函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，所以f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞)．故选B. 2．A【解析】由幂函数性质可知，y＝x＝的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内单调递增，故A正确； y＝＝x－1在其定义域(0，＋∞)，(－∞，0)上分别单调递减，故C错误； 由正切函数图象可知，y＝tan x为周期函数，在定义域内不是单调递增，故B错误； 由指数函数性质可知，y＝在x∈R上单调递减，故D错误．故选A. 3.C【解析】因为f(x)＝则f(x)在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)的最大值为f(1)＝1.故选C. 4．A【解析】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的单调递增区间是.故选A. 5、B【解析】对任意x1，x2∈(0，+∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减.f(x)=x|x|=作出f(x)的图象(图略)可知，f(x)为R上的增函数，故A错误； y=与y=-x在(0，+∞)上单调递减，所以f(x)=-x在(0，+∞)上单调递减，故B正确； f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1在(0，+∞)上不单调，故C错误； f(x)=x3-x2+2x，则f'(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0，所以f(x)在R上单调递增，故D错误.故选B. 6、A【解析】不妨令x1<x2，所以x1－x2<0.因为>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2，令g(x)＝f(x)＋x，所以g(x1)<g(x2)，又x1<x2，所以g(x)＝f(x)＋x是增函数．故选A. 7．AC【解析】对于选项A，由复合函数单调性得f(x)＝－在(1，＋∞)上为增函数，A符合题意； 对于选项B，f(x)＝x2－3x图象的对称轴为直线x＝，所以该函数在(1，＋∞)上是先减后增，B不符合题意； 对于选项C，当x>1时，f(x)＝|x＋2|＝x＋2是增函数，C符合题意； 对于选项D，f(x)＝3－x在(1，＋∞)上是减函数，D不符合题意.故选AC. 8、CD【解析】f(x)＝，则定义域满足－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，即定义 域为[－1，3]，考虑函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在[－1，3]上有最大值4，最小值0. 在区间[－1，1]上单调递增，在区间(1，3]上单调递减.故f(x)＝的值域为[0，2]， 在区间[－1，1]上单调递增，在区间(1，3]上单调递减.故选CD. 9、ACD【解析】对于选项A，(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6). 对于选项B，(分离常数法)y===2+，显然≠0，所以y≠2.故函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞). 对于选项C，(换元法)设t=，则x=t2+1，且t≥0，所以y=2(t2+1)-t=2+，由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为. 对于选项D，函数的定义域为[1，+∞)，因为y=与y=在[1，+∞)上均单调递增，所以y=+在[1，+∞)上为增函数，所以当x=1时，ymin=，即函数的值域为[，+∞).故选ACD. 10. 【解析】因为f(x)的定义域是[0，+∞)，所以2x-1≥0，即x≥，又因为f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，所以2x-1<，即x<，则x的取值范围是. 11、【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数在区间上不单调，所以. 12．(0，＋∞)；(0，1)∪(1，2)【解析】由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数．当x>0时，f(x)＝x2 025－＋5，f(x)单调递增，因此当x<0 时，f(x)单调递减．又因为f(1)＝f(－1)＝5，所以由f(x－1)<5可得－1<x－1<0或0<x－1<1，即0<x<1或1<x<2. 13. 【解】(1)f(x)=x|x-4|=函数f(x)的大致图象如图所示. (2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2，4). 14. 【解】（1）在上递减.理由如下：任取，且，则.因为，且，所以，，所以，即，所以在上递减. （2）由（1）可知在上递减，所以由，得，解得，所以实数的取值范围是. . 学科网（北京）股份有限公司 $