重庆市2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学试卷（五）

**基本信息** 2025-2026学年重庆市高一期末数学模拟卷，聚焦必修一、二统计内容，通过软木锅垫向量应用、知识竞赛统计分析等情境，融合代数、几何、统计知识，考查数学眼光观察现实世界、思维推理及语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、概率等基础|注重概念辨析与基础运算| |多选|3/18|向量几何、三角函数性质、立体几何动点|情境化（如正六边形锅垫）与空间观念| |填空|3/15|三角函数定义、不等式、函数定点|知识迁移与简洁表达| |解答|5/77|统计分析、立体几何证明与探究、向量应用、函数零点、解三角形|综合应用（如统计平均数方差计算、面面垂直证明），体现数据意识与推理能力|

2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（五） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数满足，则的虚部为（     ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】因为复数满足， 所以， 所以的虚部为. 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由命题的否定，即否量词，否结论，即可求解. 【详解】根据题意，命题“”为存在量词命题， 其否定为：． 3．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知集合，， 故. 4．4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.7，则4人都没中靶的概率为（    ） A．0.2401 B．0.7599 C．0.0081 D．0.081 【答案】C 【分析】利用对立事件、相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案. 【详解】4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.7， 则4人都没中靶的概率为. 故选：C. 5．已知，，，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求得；根据指数函数单调性和临界值可确定，由此可得大小关系. 【详解】，（当且仅当时取等号）； ，，. 故选：B. 6．设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量在向量上的投影向量公式，由系数相等得到夹角的关系式，从而求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为，其中为与的夹角，且，因为在上的投影向量为，所以, 将，代入得，解得，因为，且，所以. 7．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，，令， 得，则的对称中心为， 结合选项可知，图象的一个对称中心为，其它选项不满足. 8．已知函数，若是方程的解，则不等式成立的最小整数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干等式得出，结合函数的单调性得出，构造函数，其中，利用零点存在定理得出，且，进而得到，于是得出，结合对勾函数的单调性可得出满足条件的最小整数的值. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 由，所以， 因为是方程的解，则，可得， 构造函数，其中， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，所以函数的零点在区间上， 即，且，即，所以， 所以， 构造函数，则函数在上为减函数，且，， 所以，故满足的最小整数为. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（    ） A．向量与向量是相等向量 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】根据相等向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，C，根据向量的线性运算定义求，再解三角形求其大小，判断D. 对于A，由图可得向量与向量方向相同，大小相等， 所以向量与向量相等向量，A正确． 对于B，由图易得，，则向量与向量的夹角为， 则，B错误． 如图，因为，， 则，C正确． 为正三角形，连接交于点，由对称性可知，， 且，，则，， 故，D正确．    10．已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的值域是 【答案】ACD 【分析】由函数的奇偶性判断A；举反例判断B；将函数写成分段函数，求出其单调区间判断C；求出函数的值域判断D. 【详解】对于A：， 所以为偶函数，故A正确； 对于B：取， ， 所以不是的周期，故B错误； 对于C：当时，， 此时有， 所以对于时， 所以函数在，，上单调递增； 在，上单调递减． 根据偶函数的性质，函数在上单调递增，故C正确； 对于D，，，，，， 由函数的单调性，奇偶性得，函数值域为，故D正确． 11．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】根据体积桥可确定A正确；作出异面直线所成角，结合余弦定理可求得B正确；将与沿直线展开到同一平面内，根据可求得C错误；过作出平面的平行平面截正方体所得的截面，根据线面垂直关系可确定点轨迹即为正六边形，知D正确. 【详解】对于A，连接， 四边形为正方形，， 平面，平面，， 平面，，平面， 点到平面的距离， 又， ，即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，延长至点，使得，连接， ，，又， 四边形为平行四边形，， 异面直线与所成角即为（或其补角）， ，，， ， 直线与直线所成角的余弦值为，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如下图所示， （当且仅当为线段与交点时取等号），； ，，； ，为等边三角形，， ， ， 的最小值为，C错误； 对于D，，，，平面， 平面，又平面，； 同理可证得：， ，平面，平面； 取中点，连接， ，平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 作出平面截正方体所得的截面，其中分别为的中点，则截面平面； 平面，平面， 则当平面时，， 点的轨迹即为正六边形，点的轨迹长度为，D正确. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知角α的终边经过点，则_________. 【答案】/ 【详解】因为角α的终边经过点，所以. 13．已知关于的不等式的解集为，则的解集为________. 【答案】 【分析】分析可知，3为的两根，且，结合韦达定理可得，，代入解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 可知，3为的两根，且， 则，解得，， 因为，即， 等价于，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 14．对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 【答案】 【分析】先由函数图象经过定点推得，求出，再由图象过点确定的值即可. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以， 解得，故. 又的图象也过点，则，则得， 因，故，所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【答案】(1)平均数为100，方差为104 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数与方差的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据条件，利用古典概型求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . （2）记这组三份答卷的编号为这组两份答卷的编号为， 故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为： 设事件“既有的答卷也有的答卷” 则，共6种情况． 故, 16．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）连接交于，过作交于，连接，，可证明平面，利用几何关系即可求出的长. 【详解】（1）四边形是直角梯形，， ， 又平面平面， ，且平面平面， 又平面平面平面； （2）连接交于，过作交于，连接，. 由平面平面，得平面可得， 又，直角中，，所以. 17．如图，已知正三角形的边长为是的中点，设． (1)用表示向量； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意结合向量的运算法则可得； （2）由题意知可得， ， ，据此计算可得与的夹角余弦值. 【详解】（1）∵是的中点， ∴. （2）由题意知，，与的夹角为， ， ， ， 设与的夹角为，则. 所以与夹角的余弦值为. 18．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若分别为的零点，且． ①求的取值范围； ②设函数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)由，结合函数单调性得到不等式，求出答案； (2)①变形得到，即与有两个不同的交点，根据单调性和图象，数形结合得到答案； ②由①得，，且满足，即，，计算出后可得结果. 【详解】（1），由，得，即 ，解得 的取值范围为. （2）①为的零点，且， 有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根 ，即，解得 设，则函数与的图象有两个不同的交点 函数在上的图象，如图所示： 当时，函数单调递减，且； 当时，函数单调递增，且； 当时，取到最小值，即 函数与的图象有两个不同的交点 ②由①可知为的零点，且，， 且 ，， ，， 又 ，， ，即 的取值范围为 19．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求． (2)若，且，求． (3)若为锐角三角形，且边上的高，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可求. （2）根据正弦定理结合（1）结合可判断为等边三角形，再根据数量积可求； （3）设边上的高为，结合两角差的正切可求的范围，从而可求面积的范围. 【详解】（1）因为，结合正弦定理可得， 而为三角形内角，故，故， 因为三角形内角，故，故，故. （2）因为，结合正弦定理得， 故，而为三角形内角，故， 故即为等边三角形. 因为，故， 故，故即. （3） 设边上的高为，则， 因为锐角三角形，故在上（不含端点）， 设，则，其中， 故， 故 设， 因为在上为减函数，在为增函数， 故，故， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（五） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数满足，则的虚部为（     ） A．3 B．4 C． D． 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 3．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.7，则4人都没中靶的概率为（    ） A．0.2401 B．0.7599 C．0.0081 D．0.081 5．已知，，，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 6．设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 7．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若是方程的解，则不等式成立的最小整数为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（    ） A．向量与向量是相等向量 B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的值域是 11．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知角α的终边经过点，则_________. 13．已知关于的不等式的解集为，则的解集为________. 14．对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 ____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 16．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 17．如图，已知正三角形的边长为是的中点，设． (1)用表示向量； (2)求与的夹角的余弦值． 18．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若分别为的零点，且． ①求的取值范围； ②设函数，求的取值范围． 19．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求． (2)若，且，求． (3)若为锐角三角形，且边上的高，求面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $