重庆市2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学试卷（二）

**基本信息** 立足高一必修内容，融合文化传承与数学核心素养，设置校史知识竞赛统计分析、立体几何证明等情境化试题，梯度覆盖基础巩固与综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数、集合、向量投影等|基础概念辨析，考查抽象能力| |多项选择|3/18|方差性质、基本不等式等|选项分层设计，培养推理意识| |填空|3/15|函数定点、三角恒等变换等|聚焦关键能力，强化符号意识| |解答|5/77|统计（校史竞赛）、立体几何证明、三角函数图像变换等|情境真实（如校史竞赛统计），综合考查数据观念与空间观念，体现数学语言表达现实世界的素养|

2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（二） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数的共轭复数为，且，则（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】，， . 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合，， 得. 3．已知向量，，则向量在向量上的投影数量是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量在向量上的投影数量是. 4．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项验证即可求解. 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知半径最大球的半径即为边长为2的等边三角形的内切圆半径，进而运算求解. 【详解】由题意可知：半径最大球的半径即为边长为2的等边三角形的内切圆半径， 即球的半径最大值为， 所以半径最大的球的表面积为. 6．已知的内角、、的对边分别为、、，若面积，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合三角形面积公式与余弦定理建立关于角C的三角函数关系，再利用同角三角函数基本关系求解. 【详解】根据三角形面积公式，的面积， 由余弦定理得. 由可得， 化简得 ， 两边平方得， 即， 整理得， 因为C为三角形内角，即，故，解得. 7．已知都是上的奇函数，，且当时，，则（   ） A．2 B．4 C．－2 D．－4 【答案】C 【分析】先利用上奇函数满足求出参数，再结合的奇函数性质和时的解析式计算得到. 【详解】已知是定义在上的奇函数，满足， 即，解得，经检验符合题意， 已知是上的奇函数，因此满足，即， 当时，，所以， 因此，即. 8．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理可得且，根据题意结合偶函数对称性分析函数的符号，进而解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，则， 可得，可得且， 因为在上单调递减，且， 可知在上单调递增，且， 当时，则，故； 当时，则，故； 综上：的解集为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知一组样本数据，，的方差为3，则（   ） A．，，不可能都相等 B．，，的方差也为3 C．该组样本数据的平均数有最值 D．的最小值为9 【答案】ABD 【详解】由题意，，. 对于A，若，则， 所以，不满足题意， 则，，不可能都相等，故A正确； 对于B，，，的平均数为， 则方差为 ，故B正确； 对于C，由方差的性质可知，样本数据，，的方差为3， ，，的的方差也为3， 由k具有任意性，可知该组样本数据的平均数没有最值，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当时，取得最小值9，故D正确. 10．下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 【答案】ABD 【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确； 当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 11．已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 【答案】ABC 【分析】对于A，根据奇偶性的定义进行判断即可；对于B，先判断时函数的单调性，再根据奇偶性判断 时的单调性即可；对于C，根据函数的单调性及奇偶性求值域即可判断；对于D，举出反例进行判断即可. 【详解】对于A，，所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，当时，， 由反比例函数性质可知，函数在上为增函数，且， 又为上的奇函数，函数在上为增函数，在上单调递增， 对任意的，，都有，故B正确； 对于C，当时，， 函数在上为增函数，在上的值域为； 当 时，， 函数在上为增函数，在上的值域为， 综上所述，的值域是，故C正确； 对于D，令，则，， ，即，故D不正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，若，则__． 【答案】 【详解】由题意得,解得． 13．函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 【答案】 【详解】令，可得， 由且，则， 故函数 （且）的图象经过的定点的坐标是. 14．已知，则 _________. 【答案】 【详解】由， 所以，解得. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知向量与的夹角为 ， ， ，求： (1)； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，再根据计算可得； （2）依题意可得，根据平面向量数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以， 所以. （2）因为向量与互相垂直， 所以， 所以，即， 所以 . 16．为传承“五四”精神，弘扬学校文化，增强同学们对校史校情的了解与认同，激发爱校荣校情怀，某高校在“五四”青年节举办“传承‘五四’薪火竞答青春华章”校史知识竞赛．共有100名学生参加校史知识竞赛，其中男生60名，女生40名，成绩均在内，将60名男生的竞赛成绩进行统计，分成六组，分别为，，，，，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这60名男生校史知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (3)已知这60名男生成绩的方差为214.75，40名女生成绩的平均数和方差分别为73和255.75，估计这100名学生成绩的平均数和方差． 【答案】(1) (2)70.5分 (3)平均数和方差分别为71.5和232.65 【分析】（1）由频率分布直方图求每组的频率，结合频率和为1运算求解即可； （2）根据题意用该区间的中点值作代表，结合加权平均数公式运算求解； （3）根据题意结合分层抽样的平均数和方差公式运算求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知每组频率依次为：， 则，解得． （2）估计竞赛成绩的平均数为分． （3）设男生成绩的平均数，方差，女生成绩的平均数，方差，总体成绩的平均数为，方差为， 则， 可得 ， 所以总体成绩的平均数和方差分别为71.5和232.65． 17．如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明：连接， 因为，，为线段的中点， 所以四边形是平行四边形，是平行四边形， 设，连接，则是的中点， 又为线段的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2)证明：因为是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为，四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 所以， 又，，平面， 所以平面． 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 18．已知函数（，）为奇函数，且的周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数的解析式； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可． 【详解】（1）因为函数周期，且，所以，解得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 又，所以，所以函数. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当，即时，函数取得最小值，最小值为， 当，即时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，作出正弦函数的图象如图所示，    由图可知方程在区间上有3个根，所以， 其中，， 即，， 解得：，， 所以． 19．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【答案】 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（二） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数的共轭复数为，且，则（     ） A．1 B． C．2 D．4 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则向量在向量上的投影数量是（     ） A． B． C． D． 4．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（     ） A． B． C． D． 6．已知的内角、、的对边分别为、、，若面积，则 （   ） A． B． C． D． 7．已知都是上的奇函数，，且当时，，则（   ） A．2 B．4 C．－2 D．－4 8．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知一组样本数据，，的方差为3，则（   ） A．，，不可能都相等 B．，，的方差也为3 C．该组样本数据的平均数有最值 D．的最小值为9 10．下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 11．已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，若，则__． 13．函数 （且） 所经过的定点坐标是____________． 14．已知，则 _________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知向量与的夹角为 ， ， ，求： (1)； (2)若，求实数的值． 16．为传承“五四”精神，弘扬学校文化，增强同学们对校史校情的了解与认同，激发爱校荣校情怀，某高校在“五四”青年节举办“传承‘五四’薪火竞答青春华章”校史知识竞赛．共有100名学生参加校史知识竞赛，其中男生60名，女生40名，成绩均在内，将60名男生的竞赛成绩进行统计，分成六组，分别为，，，，，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这60名男生校史知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (3)已知这60名男生成绩的方差为214.75，40名女生成绩的平均数和方差分别为73和255.75，估计这100名学生成绩的平均数和方差． 17．如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 18．已知函数（，）为奇函数，且的周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 19．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $