重庆市2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学试卷（十）

**基本信息** 覆盖高一数学必修一、二核心内容，解答题融合统计分析（频率分布直方图）、立体几何证明（四棱锥）及函数综合应用，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|中位数、函数定义域等|基础巩固，落实数学抽象| |多选|3/18|立体几何折叠、函数图像|分层选拔，考查空间观念| |填空|3/15|复数模、函数单调性|能力提升，体现运算能力| |解答|5/77|统计（均值方差）、立体几何（面面垂直）、函数综合|创新应用，发展数据观念与逻辑推理|

2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（十） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．样本数据3，5，7，2，10，12的中位数是（　　） A．7 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【详解】解：数据从小到大排列为：2，3，5，7，10，12，所以中位数为． 2．已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，若，等式不成立； 若，则， ． 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 4．已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以，又，所以. 5．已知A，B，C三点在球O的球面上，且，若球O上的动点D到点A，B，C所在平面的距离的最大值为，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直角的外接圆半径，再结合球上点到平面的最大距离与球半径、球心到平面距离的关系，利用球的截面性质列方程求出球半径，最后代入球体积公式计算. 【详解】因为，故为直角三角形，斜边为其外接圆直径， 由勾股定理得， 因此外接圆半径. 设球心到平面的距离为，根据球的截面性质，有， 球上动点到平面的最大距离为，由题意得，即， 将、代入截面性质公式得， 展开整理得，解得. 则球的体积. 6．已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式. 【详解】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数， 所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 7．已知函数与的图象重合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象重合得和解析式，代入求解. 【详解】由函数与的图象重合得，， 由恒成立得，， 由得，于是， 此时， 故． 8．设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 10．如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将折起到，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知条件得平面，所以，根据线面垂直的判定定理可得平面，由此可判断B，C正确；由折叠而成，所以由知，从而判断D正确；假设，由线面垂直的判定定理可推得矛盾，判断A. 【详解】因为在平面BCD上的射影O恰好在CD上， 所以平面BCD．又平面BCD，所以． 因为四边形ABCD是矩形，所以， 又，CD，平面，所以平面． 因为，平面，所以，． 显然，由折叠而成，所以由知，故B，C，D正确； 假设，因为平面BCD，平面BCD，所以． 又，，平面，则得平面． 因为平面，所以，显然不成立. 所以假设不成立，故A错误． 11．已知函数的图象如图所示，若，则（    ） A． B．当时，函数与有3个交点 C．若，当时，有5个零点，则的取值范围为 D．对于任意实数在上的最大值与最小值的差的取值范围为 【答案】ACD 【分析】A.利用图像过点，求出角，根据正弦函数性质，及，算出； B. 构造函数，问题等价转化为求在内零点的个数； C. 求出的零点的表达式，再考虑第5个零点必须落在区间内或右端点处且第6个零点必须落在区间外； D. 转化为极差的取值范围. 【详解】A.由题设，其中，， 确定：由图像知点为函数图像与轴交点，且， 故，结合，得，因此， 确定：点均满足，即， 由图像走势分析，为相邻两解，对应相位分别为与， 因，故，， 由，得，解得． 综上，． 由上述推导，，故A正确． B.判断与在上交点个数， 设 ，分析关键点： ，故在内至少有一个零点， ， ， 故在内至少有一个零点，所以在内至少有两个零点， 又因周期为，在内完成两个完整周期，则在内至少有四个零点，可知两函数交点多于3个，故B错误． C.设 ， 的零点满足，即， 在区间上恰有个零点，当且仅当，· 即且，解得，故C正确． D.设区间，其相位变化范围为， 即，区间长度为． 求最大极差：当相位区间关于原点对称，即时，， 此时 ， 求最小极差：当相位区间关于对称，即时，， 此时， 由连续性知极差可取遍中间所有值，故极差取值范围为， 即对于任意实数在上的最大值与最小值的差的取值范围为，故D正确． 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知复数z满足，则的最小值为_____． 【答案】2 【分析】几何法思路： 根据复数模的几何意义，对应复平面以为圆心、为半径的圆，表示圆上点到原点的距离，原点到圆心距离为，用圆心距减去半径即可得到最小值． 代数法思路： 设，将转化为圆的方程，把用含的代数式表示，结合的取值范围求出的最小值． 【详解】方法一：几何法    复数在复平面内对应的点为， 表示点在以为圆心、半径的圆上， 表示点到原点的距离． 圆心到原点的距离为， 因为圆上点到原点的最小距离圆心到原点距离半径， 即． 方法二：代数法 设， 由得，即， 所以， 由圆的范围，得， 当时，． 13．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据指数函数严格递减的性质列关于底数的不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】对于指数函数（且）， 函数在上是严格减函数， 则且，得且. 所以，实数的取值范围是. 14．已知平面向量，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】由，两边平方化简得，再用向量的三角不等式求的最小值. 【详解】由，向量与所成的角为60°，可得， 由，两边平方得， 化简可得对任意实数t恒成立， 令，则恒成立， 由于函数图象抛物线开口向上，需使，所以， 由向量的三角不等式，有， 当且仅当与方向相反时等号成立 又， 则的最小值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）， ，， 所以中位数在区间内，故． （2），． 所以这100人的数学平均分为，方差为. 16．在中，内角，，所对的边分别为，，； (1)若，，，求； (2)若，，，求边. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）由余弦定理可得关于的一元二次方程，求解即可. 【详解】（1）若，，， 由余弦定理， ， 所以. （2）若，，， 由余弦定理， 则， 可得，解得或（舍去）. 17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是的中点． (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求证：平面平面． 【答案】(1)连接交于，连接， 四边形是矩形，是的中点， 又M是的中点，， 又平面，平面，平面. (2)平面，平面，， 又四边形是矩形，， ，，平面，平面， 平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. (3)由（2）知：平面，平面， 平面平面. 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明即可； （2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明即可； （3）结合第（2）小问的结论，利用面面垂直的判定证明即可. 【详解】（1）略； （2）略； （3）略； 18．设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，求解即可． 【详解】（1）在仿射坐标系中，、的夹角为， 则， 又，则， 所以， 所以． （2）在仿射坐标系中，、的夹角为，则， 又，，则，， 所以， ， 则． 所以， 又与的夹角为， 所以，解得． 19．函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由中对应项系数相等可得； （2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【详解】（1）当时，， ， 得，； （2），，， 由可得， 整理并代入得， 即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（十） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．样本数据3，5，7，2，10，12的中位数是（　　） A．7 B．6 C．5 D．2 2．已知 ，则 （     ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知A，B，C三点在球O的球面上，且，若球O上的动点D到点A，B，C所在平面的距离的最大值为，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数为偶函数，且，则的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 7．已知函数与的图象重合，则（   ） A． B． C． D． 8．设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将折起到，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 11．已知函数的图象如图所示，若，则（    ） A． B．当时，函数与有3个交点 C．若，当时，有5个零点，则的取值范围为 D．对于任意实数在上的最大值与最小值的差的取值范围为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知复数z满足，则的最小值为_____． 13．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 14．已知平面向量，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则的最小值为_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 16．在中，内角，，所对的边分别为，，； (1)若，，，求； (2)若，，，求边. 17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是的中点． (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求证：平面平面． 18．设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求． 19．函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $