重庆市2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学试卷（八）

**基本信息** 结合神舟二十三号发射等科技情境，覆盖函数、几何、统计等核心知识，梯度设计适配高一期末综合检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量性质、解三角形、集合运算|基础概念辨析，如向量平行条件判断| |多选|3/18|棱柱定义、函数奇偶性|概念深度辨析，如正棱锥侧面性质判断| |填空|3/15|虚数运算、函数奇偶性|简洁考查核心技能，如奇函数求值| |解答题|5/77|统计（频率分布直方图）、立体几何（四棱锥证明）、函数（单调性与最值）|16题以神舟发射为背景考查统计分析，体现数据观念；17题立体几何三问递进，培养空间观念与推理能力|

2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（八） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．下列有四个结论，其中说法正确的结论是（    ） A．模为0的向量与任意向量平行 B．若，则 C．若，，则 D．不存在和，使得且 2．在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 3．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与全面积的比是（     ） A． B． C． D． 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．函数的图像大致是（    ） A．  B．  C．   D．   8．若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的有（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．相等的角在直观图中仍然相等． 10．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 11．若函数，则（     ） A．的图象关于直线对称 B．的值域为 C． D．在上的解集为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知为虚数单位，则__________． 13．设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 14．若点都在圆上，若圆的直径为且，则的最小值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 16．2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 17．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 18．已知函数 . (1)求在的单调递减区间； (2)当 时，求的最大值和最小值. 19．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（八） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．下列有四个结论，其中说法正确的结论是（    ） A．模为0的向量与任意向量平行 B．若，则 C．若，，则 D．不存在和，使得且 【答案】A 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【详解】A：零向量方向任意，规定它与任何向量平行，故A正确； B：因相等向量包括向量的模相等，且方向相同，故B错误； C：当时，满足，，但与方向不能确定，故C错误； D：因零向量与任意向量既平行又垂直，故存在，即D错误. 2．在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【详解】在中，，，， 由正弦定理，得，解得， 因为，所以，所以， 所以，故选项A正确. 3．已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】因为，故，则， 若，解得或， 故是的充分不必要条件. 4．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与全面积的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【详解】设圆柱底面半径为，已知侧面展开图是正方形， 则底面周长等于高，即， 故侧面积，底面积， 圆柱全面积， 故圆柱的侧面积与全面积的比为：． 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 7．函数的图像大致是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数图象及性质 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 8．若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的有（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．相等的角在直观图中仍然相等． 【答案】BC 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱、棱锥的结构特征和分类、斜二测画法辨析 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A，如图所示， 由图知，该几何体上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，由平行六面体的概念和性质可知：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C，根据正棱锥的概念和性质可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 对于D，相等的角在直观图中不一定相等，比如直角在直观图中可能变为或，故D错误. 10．已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数为奇函数 B．函数为奇函数 C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】BCD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性、函数对称性的应用 【分析】根据抽象函数的对称性、周期性，结合函数奇偶性的定义逐项分析判断即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 所以的图象关于直线对称. 由及，得. 令，则，所以， 又，所以，即. 所以，因此是偶函数，故A错误，C正确. 由，得， 又是偶函数，所以， 所以，故为奇函数，故B正确. 由，得，又是偶函数，所以， 所以，即是偶函数，故D正确. 11．若函数，则（     ） A．的图象关于直线对称 B．的值域为 C． D．在上的解集为 【答案】AC 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、二倍角的余弦公式、辅助角公式、和差化积公式 【分析】利用三角函数和差化积，积化和差公式可得，通过验证判断A，根据正弦函数的有界性判断B，根据，结合三角函数的有界性和单调性即可判断C，不等式，可转化为或且，由此可得结论. 【详解】由积化和差公式， 则， ， 即， 又因为和差化积公式 ， 则，. 若的图象关于直线对称，则， ， 等式成立，因此的图象关于直线对称，A正确； 设，即， 结合可得和互为相反数且绝对值为1， 若，则，则， 若，则，则， 均不满足和互为相反数，即取不到1，B错误； ， ， 则 已知在上单调递增，则， 即，即，C正确； ，即， 在区间上，， 则不等式等价于（当 时），及时的点， 时，，此时，符合， ，的区间是， 即， 故在上解集为，D错误. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知为虚数单位，则__________． 【答案】 【知识点】复数的除法运算 【详解】 13．设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【知识点】已知函数值求自变量或参数、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得. 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 14．若点都在圆上，若圆的直径为且，则的最小值为__________. 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】利用向量的坐标运算，再通过圆的横坐标的最小值即可得到点积的最小值. 【详解】 将放在轴上，以中点为原点，如图建立平面直角坐标系， 由圆直径为,则圆的半径，且， 得，,则, 设是圆上任意一点，则， 所以 ， 因为圆上点的横坐标最小值为, 代入得：的最小值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知为实数，向量，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) 或 (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【详解】（1）由题意可得，化简得 ， 解得 ，或 . （2）由题意可得 ，解得 ，故， 因此， 故. 16．2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】(1) 平均年龄为岁，众数为岁； (2) . 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、根据频率分布直方图计算众数 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用组中值乘以对应频率之和估算平均数，最高矩形底边的中点即为众数； （2）根据分层抽样比例计算第四、五组抽取的人数，确定样本空间，利用古典概型概率公式求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 第五组：. 则平均年龄约为：（岁）. 众数的估计值为最高矩形底边的中点，即（岁）. 故估计这人的平均年龄为岁，众数为岁. （2）第四组的人数为人，第五组的人数为人. 因为采用分层随机抽样抽取人，抽样比为. 所以第四组应抽取人，第五组应抽取人. 第四组和第五组共抽取人. 由题意知，甲在第四组被抽取的人中，乙在第五组被抽取的人中. 记第四组除甲外的人为，第五组除乙外的人为. 则这人构成的集合为甲，，乙，. 从中随机抽取名作为组长， 结果有：甲，，甲，，甲，，甲，乙，甲，，，， ，乙，，，，乙，，，乙，，乙，共15种. 设事件为“甲、乙两人至少有一人被选上”，则其对立事件为“甲、乙两人都没有被选上”. 事件包含的结果是从这人中抽取人，结果有：，，， ，，共6种，则. 故，即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为. 17．如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. (2)取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且. 由题设，结合（1）中，可得 且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得：平面. (3)线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面. 结合（2）的结论平面，且，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面. 因为是上动点，平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 【知识点】面面平行证明线面平行、线面平行的性质、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）直接由线面平行的性质定理可得； （2）取的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （3）取的中点，由已知条件可得四边形是平行四边形，进而可得 平面，再结合（2）的结论及面面平行的判定定理可得平面，再由面面平行的性质可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．已知函数 . (1)求在的单调递减区间； (2)当 时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) 最大值为，最小值为 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】 （1）先通过三角恒等变换将原函数化简为正弦型函数，再结合正弦函数的单调性求解即可. （2）根据正弦函数的最值求解指定区间的最值. 【详解】（1）. 令，解得， 又，取得单调递减区间为. （2）当时，，则， 因此， 即函数最大值为，最小值为. 19．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【答案】(1) (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $