重庆市2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学试卷（九）

**基本信息** 覆盖高一数学必修一、二核心内容，解答题融合立体几何证明与计算、统计分析及新定义问题，突出空间观念、数据意识与创新意识的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量运算、中位数、函数性质等|基础巩固，考查数学眼光| |多选|3/18|三角函数图像、异面直线与平面|能力提升，体现推理能力| |填空|3/15|复数虚部、函数定义域、向量夹角|聚焦核心概念，强化数学语言| |解答题|5/77|立体几何（线面平行、面面垂直、线面角）、统计频率分布直方图、新定义“区间长度”|综合应用，如第15题三问梯度设计，第18题结合样本分析数据，第19题创新情境，发展数学思维|

2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（九） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知向量，，且，则（   ） A． B． C．2 D．-2 2．已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（     ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 5．若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 6．设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．已知a，b为异面直线， ， 为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（     ） A．对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行 B．对于任意一点O，都存在过点O的直线与a，b都垂直 C．若，，则 D．若，则 11．已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A．的图象关于直线轴对称 B．在区间上单调递增 C．将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得 D．函数在区间上有且仅有一个零点 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知为虚数单位，则复数的虚部是____________． 13．函数的定义域为______． 14．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 16．如图所示，点分别在线段上，，，为线段中点，设，. (1)用，表示，，； (2)若，，且，求点与点的距离. 17．在中，， ，， 平分，且 交于点. (1)求 的长； (2)若 为 边上一点，且，求的周长. 18．为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 19．定义的“区间长度”为，设函数的定义域为． (1)当时，求关于的不等式解集的“区间长度”； (2)已知，设关于的不等式解集的“区间长度”为． ①若，求； ②求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（九） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知向量，，且，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】直接由向量的数量积的坐标运算及向量垂直的条件可得. 【详解】因为向量，，且，由数量积的坐标运算， 所以，即，解得. 2．已知一组数据12，10，8，15，6，8，这组数据的中位数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】计算几个数的中位数 【详解】将这组数据从小到大排列为6，8，8，10，12，15，中间的两个数为8和10， 则中位数为. 3．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【详解】对于A，因为，该函数为常数函数，是偶函数，但所有非零实数均为其周期，不存在最小正周期，故A错误； 对于B，因为，又， 所以是偶函数，且最小正周期为，故B正确； 对于C，由，令， 因为，所以是奇函数，不合题意，故C错误； 对于D，因为是奇函数，不合题意，故D错误. 4．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 5．若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 6．设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的单调性可得,再由函数的单调性可得出 ，将参数m分离,即可求出的取值范围. 【详解】因为函数和均是增函数， 所以是上的增函数，只需要满足， 即，解得. 由得 ，即 恒成立. 因为，即. 所以实数的取值范围是. 7．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊角的三角函数值、比较对数式的大小 【分析】由函数在上单调递增，结合，得，由函数在上单调递增， 结合，得，同时，即可判断. 【详解】因为函数在上单调递增，， 所以，， 化简可得，，所以， 因为函数在上单调递增， ， 所以，即，所以， 又，所以，， 所以. 8．在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】将三棱锥补形为直三棱柱，利用直三棱柱外接球与三棱锥外接球相同的性质，先求底面正三角形外接圆半径，再结合棱柱高计算外接球半径，最终求出外接球表面积. 【详解】因为，所以和均是腰长为的等腰直角三角形， 将其补充为如图1所示的长方形，将沿折起，则是二面角的平面角， 折起后得到如图2所示的上下底面是边长为的等边三角形的直三棱柱， 且该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球， 设外接圆的半径为，则，所以， 又三棱柱的高为，所以三棱柱外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、由不等式的性质比较数（式）大小、比较指数幂的大小 【分析】根据不等式的基本性质、幂函数与指数函数的单调性或可通过举反例判断各选项即可. 【详解】选项A：若取，，满足，但，故A错误； 选项B：由可得， 则，故，B正确； 选项C：幂函数在上单调递增， 当时，必有，故，C正确； 选项D：因为，指数函数单调递增，故等价于， 取，，满足， 但，此时，故D错误. 10．已知a，b为异面直线， ， 为两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（     ） A．对于任意一点O，都存在过点O的平面与a，b都平行 B．对于任意一点O，都存在过点O的直线与a，b都垂直 C．若，，则 D．若，则 【答案】BC 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据空间线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，则或，与矛盾，所以A选项错误. B选项，如图所示，过上一点，作，则确定一个平面，设这个平面为， 对任意一点，都可以作平面的一条垂线，设垂线为，则, 所以，所以B选项正确.    C选项，假设平面，由，得；由，得， 推得，与为异面直线矛盾，故无交线，即，C正确. D选项，构造反例：取平面，在内作直线，内作直线，令，此时两平面平行不垂直，故D错误. 11．已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A．的图象关于直线轴对称 B．在区间上单调递增 C．将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得 D．函数在区间上有且仅有一个零点 【答案】BD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求函数零点或方程根的个数 【分析】由三角函数的性质结合图像求出的解析式，由是否为最值可判断A；求出在区间的单调性可判断B；由三角函数的平移变换可判断C；由三角函数图像以及对数函数的图像可判断D. 【详解】由图像可知，最高点为，故； 最高点在处，相邻零点在， 设函数的最小正周期为， 因此，所以， 结合可得，； 将代入，即，所以. 结合，解得，因此. 对于选项A.，错误. 对于选项B.令， 解得. 当时，递增区间为，且，故在该区间单调递增，正确. 对于选项C.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，变为原来的，得函数为，错误. 对于选项D.的零点即的交点. 当时：，时取等号，，时取等号，无零点； 当时：单调递减，单调递增，函数单调递减， 又，，此处存在1个零点； 当：，而，故，无零点； 当：从上升到，而，恒成立，无零点. 因此在上仅有1个零点，正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知为虚数单位，则复数的虚部是____________． 【答案】2 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【详解】因为 ，所以的虚部为2. 13．函数的定义域为______． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【详解】要使函数有意义， 则，即，即， 解得， 所以函数的定义域为. 14．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为__________. 【答案】 【知识点】向量夹角的计算 【详解】 ，可得， 展开得，即 由可得， 展开得， 因为，代入化简得 ， 所以， ， 则， 因为 ，所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 证明见解析 (3) 【知识点】证明线面平行、求线面角、证明面面垂直 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，进而利用线面平行判定定理证明； （2）利用等腰三角形性质证明，结合线面垂直性质证明，从而证得平面，进而利用面面垂直判定定理证明； （3）取中点，确定直线与平面所成角为，通过解直角三角形计算正弦值. 【详解】（1） 连接，设． 因为底面为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）在中，因为， 所以为等腰三角形，故． 所以，即． 因为平面，平面， 所以． 又因为，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． （3）取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且． 因为平面，， 所以平面，且． 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角． 在中，，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 16．如图所示，点分别在线段上，，，为线段中点，设，. (1)用，表示，，； (2)若，，且，求点与点的距离. 【答案】(1) ，， (2) 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）由于，根据题意，结合向量的数量积即可求出. 【详解】（1）已知，，则， 因为，所以， 又因为，为线段中点，所以. （2）已知，所以， 又因为，则，即，化简得，解得， 由于，则，即， 所以， 因此， 解得. 17．在中，， ，， 平分，且 交于点. (1)求 的长； (2)若 为 边上一点，且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理和等面积法进行计算即可. （2）根据余弦定理计算即可. 【详解】（1）由和正弦定理，得， 因为 ，所以 . 由等面积法得. 因为， 平分，所以， 则. （2）因为， ，所以. 由余弦定理得， 则， 故的周长为. 18．为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 【答案】(1) (2) 平均数为 ，中位数为 (3) 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由频率之和为1即可求出； （2）由频率分布直方图结合平均数和中位数求法即可求出； （3）列出任取2个的所有基本事件，即可求出概率. 【详解】（1）由图知，组距，由，得． （2）各组中点值和相应的频率依次为： 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 所以， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 所以中位数满足关系， 由，解得． （3）由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个， 分别记为和， 从中任取2个的取法有： ， ， ，共21种取法， 其中都是优质果实的取法有，共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率． 19．定义的“区间长度”为，设函数的定义域为． (1)当时，求关于的不等式解集的“区间长度”； (2)已知，设关于的不等式解集的“区间长度”为． ①若，求； ②求的最大值． 【答案】(1) (2)①或；② 【知识点】解正弦不等式、解含有参数的一元二次不等式、函数新定义 【分析】（1）根据已知条件，求出的解集，即可求出对应的区间端点值，从而求出解集的“区间长度”； （2）①先求出不等式解集，根据的已知条件，即可建立等量关系，求出的值；②由①的结论，结合同角三角函数和基本不等式，即可求出的取值范围，从而求出的最大值. 【详解】（1）解：当时，的定义域为， 由，解得或，则或， 所以不等式解集的“区间长度”为. （2）①因为，由，解得或， 设的两个根为，其中，且， 同理，设的两个根为，其中，且， 所以， 当时，则，又，则， 即，解得或， 所以或； ②由①可知， 则， 因为，所以， 所以， 解得或（舍）， 所以， 因为，，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $