江苏苏州市2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟冲刺卷1

**基本信息** 苏州高一数学期末模拟卷聚焦立体几何、向量与复数核心模块，通过基础题到动态探究题的梯度设计，考查空间观念、运算推理及模型应用能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量基底、圆台体积|基础概念辨析，如第3题向量基底判断| |多选|3/18|向量投影、复数性质|多维度概念辨析，如第10题复数共轭性质| |填空|3/15|正四面体异面直线角、棱台容积|空间几何计算，如第13题棱台容积应用| |解答|5/77|三角函数最值、四棱锥证明、正方体距离、四面体动态问题|综合探究，如第19题动态四面体体积计算，考查推理与创新意识|

苏州2025-2026学年第2学期高一数学期末模拟冲刺卷1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，则. 故选：B. 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】，则对应点为，在第二象限. 故选：B 3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 4. 圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5， 所以该圆台的高为， 则该圆台体积为. 故选：B. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ， ， ， 故选：D． 6. 在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】在中，因为，即为的中点，所以， 又因为，所以， 因为三点共线，可得，所以. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可得， 即， 所以. 故选：C 8. 已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将正四面体如图放于正方体中，因的所有棱长均为， 则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心， 外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则 棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为. 注意到， 则，设中心为，则为正四面体的高. 则. 又三点共线，则到平面距离为. 注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与向量方向相同的单位向量的坐标为 B. 为非零向量，则向量在向量上的投影向量为 C. 为非零向量，且相互不共线，则 D. 若与共线，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，与向量方向相同的单位向量为，故A正确； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B错误； 对于C，由与为数字，且不共线，则，故C错误； 对于D，由与共线，则，解得，故D正确. 故选：AD. 10. 已知复数为z的共轭复数，下列命题正确的是（ ） A. B. C. 若，则z为实数 D. 和z在复平面内对应的点关于虚轴对称 【答案】ABC 【解析】 【详解】∵，∴A正确； 共轭复数的模相等，∴B正确； ，∴C正确. 和z在复平面内对应的点关于实轴对称，∴D错误； 故选：ABC 11. 在中，，分别是的中点，将沿着DE翻折，使点A运动到点P处，得到四棱锥，则（ ） A. 对任意的点P，始终有 B. 存在某个点P的位置，满足平面平面 C. 对任意的点P，始终有平面与平面的交线 D. 当二面角为时，四棱锥的体积为 【答案】AC 【解析】 【详解】 对于A：取 的中点F，连接交与O，连接PF，可知点O为的中点， 又因为为的中点，所以，即，同理得到, 又，平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以，故A正确； 对于B：设平面平面，因为平面， 故平面，又平面，则，由选项A知平面， 所以平面，则为平面与平面所成的二面角， 因为，所以不可能为直二面角，故B错误； 对于C：设平面平面，因为平面， 故平面，又平面, 则，故C正确； 对于D： 如图，取的中点，连接交与，连接，可知点为的中点， 又因为为的中点，所以即，同理得到， 又，平面，所以平面， 所以二面角的平面角为, 故，再过点P作平面的垂线交于点H， 在直角三角形中，， ，所以，故D错误； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】连接，因为分别为的中点，所以， 因异面直线所成角的范围为，则异面直线所成角为， 设正四面体棱长为，则，， 根据余弦定理，， 则异面直线所成角的余弦值为. 故答案为：. 13. 一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为60cm和40cm，深度为75cm，则该油槽的容积为________L． 【答案】 【解析】 【详解】该油槽的容积为. 故答案为：. 14. 直角中，，是线段上一点，，，设，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】如图，因为，所以. 因为，所以. 所以，即. 在中，根据正弦定理得，化简得. 因为，所以. 所以，化简得. 解得. 又，所以，此时. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知，函数的最小值为0． （1）求常数m的值； （2）求函数的图象的对称中心． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 令，则， 所以函数的图象的对称中心为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 如图，连接交于点，由四边形是正方形，可得， 因平面，平面，则， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【小问2详解】 如图，取的中点，连接， 由分别是棱的中点．可得， 又，则，即得，所以 因平面，平面， 所以平面． 17. 已知向量，． （1）若角的终边过点，求的值； （2）若向量，求角的大小，其中． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 因为角的终边过点，所以，， 所以， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为向量，所以，即， ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，O为BD的中点． （1）证明：平面； （2）求点C到平面MBD的距离； （3）证明：平面平面． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【小问1详解】 连接，因为四边形为正方形，O为BD的中点， 所以过点，且为的中点， 在中，分别为的中点， 所以，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为， 因为底面， 底面，所以， 所以， 所以， ， 设点C到平面MBD的距离为，因为， 所以，所以，所以. 所以点C到平面MBD的距离为. 【小问3详解】 取的中点为，连接，，连接与交于点， 由正方体的性质可得，所以五点共面， 所以平面即为平面， 又由正方体的性质可得平面，平面， 所以，在三角形中，， 所以，又因为，所以， 所以在三角形，，所以， 平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 19. 如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，．分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形，设二面角的平面角的大小为. （1）当时，求四面体的外接球的表面积； （2）当线段时，求直线与平面所成角的正切值； （3）当点满足，且是以为底的等腰三角形时，求多面体的体积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 当时，平面平面， 由题意的外心为中点，连接， 则四面体外接球的球心在直线上， 又为等边三角形，则的中心即为球心， 于是，所以； 小问2详解】 依题意，因为， 所以点在平面内的投影到点和点的距离相等， 即点在的垂直平分线（也是的角平分线）上， 而点在平面内的投影又应该在过点且与垂直的直线上， 从而得出点即为的三等分点且靠近， 于是平面平面，则即为直线与平面所成角， 在中，，，所以， 则； 【小问3详解】 因为，，且为等腰三角形，所以． 连接，，，， 由题意得：，，， 满足，根据勾股定理可知， 又平面， 所以平面． 所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，， 则， 于是，， 又，从而， 则， 即多面体的体积为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州2025-2026学年第2学期高一数学期末模拟冲刺卷1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. 在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与向量方向相同的单位向量的坐标为 B. 为非零向量，则向量在向量上的投影向量为 C. 为非零向量，且相互不共线，则 D. 若与共线，则 10. 已知复数为z的共轭复数，下列命题正确的是（ ） A. B. C. 若，则z为实数 D. 和z在复平面内对应的点关于虚轴对称 11. 在中，，分别是的中点，将沿着DE翻折，使点A运动到点P处，得到四棱锥，则（ ） A. 对任意的点P，始终有 B. 存在某个点P的位置，满足平面平面 C. 对任意的点P，始终有平面与平面的交线 D. 当二面角为时，四棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________． 13. 一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为60cm和40cm，深度为75cm，则该油槽的容积为________L． 14. 直角中，，是线段上一点，，，设，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知，函数的最小值为0． （1）求常数m的值； （2）求函数的图象的对称中心． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 17.已知向量，． （1）若角的终边过点，求的值； （2）若向量，求角的大小，其中． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，O为BD的中点． （1）证明：平面； （2）求点C到平面MBD的距离； （3）证明：平面平面． 19. 如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，其中D为直角顶点，．分别是线段、、、上的动点，且四边形为平行四边形，设二面角的平面角的大小为. （1）当时，求四面体的外接球的表面积； （2）当线段时，求直线与平面所成角的正切值； （3）当点满足，且是以为底的等腰三角形时，求多面体的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $