1.2.1 空间中的点、直线与空间向量【考点突破+强化训练】讲义-2026年新高二数学暑假预习人教B版选择性必修第一册

1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 知识点1用向量表示点的位置 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定.此时，称为点P的位置向量. 知识点2直线的方向向量 定义：一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. (1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝就是直线l的一个方向向量. (2)如果v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行. (3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定. (4)如果v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合. 【注意】(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. (3)直线l方向向量的常用求法：取直线l上两点，分别为起点与终点. 知识点3空间中两条直线所成的角 v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. 如图，则①θ的范围为. ②θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉. ③sin θ＝sin〈v1，v2〉或cos θ＝|cos〈v1，v2〉|. ④l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0. 两异面直线所成角的求法 (1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解. (2)向量法：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，a与b的夹角为φ，则l1与l2所成角θ满足cos θ＝|cos φ|＝.两直线所成的角θ∈，而两向量所成的角的范围为(0，π)，一定要注意其关系为相等还是互补. 考点一　用空间向量求点的坐标 考点二　求直线的方向向量 考点三　异面直线夹角的向量求法 考点四　已知线线角求其他量 考点一　用空间向量求点的坐标 1．（25-26高二上·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京顺义·阶段检测）设，，向量，则______；点C的坐标为______. 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）已知，，．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 6．（25-26高二下·江苏·课前预习）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 考点二　求直线的方向向量 7．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 8．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 12．（25-26高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 考点三　异面直线夹角的向量求法 13．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：    (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 14．（福建漳州市2026-2026学年高二下学期期中考试数学试卷）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·陕西西安·期中）（多选）向量，，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 16．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 17．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 18．（2026·河南·三模）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 考点四　已知线线角求其他量 19．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 20．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 21．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 22．（25-26高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 23．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知长方体的底面是边长为2的正方形，为棱上的任意一点，为棱的中点，若棱上至少存在一点使得，则棱的长的最大值为______． 24．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    1．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知直线经过点和点，下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 3．（2026高二上·河南鹤壁·专题练习）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·浙江宁波·开学考试）已知在棱长为的正四面体中，，则直线和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏扬州·模拟预测）在正四面体中，分别为的中点，连接，若正四面体的边长为2，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）已知，，是空间中的三个点，则（    ） A．向量的模长为4 B．直线的一个方向向量为 C．向量在向量方向上的投影向量为 D．若，则，，，四点共面 9．（25-26高二上·江西新余·期末）（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．可以作为空间的一个基底 B． C．长为 D．直线与所成角的余弦值为 10．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）（多选）关于空间向量与立体几何，下列说法正确的是（   ） A．若向量是空间的一组基底，则也能作为空间的一组基底 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若两个平面的法向量分别为，则这两个平面平行或重合 D．若两条异面直线的方向向量分别为，则两直线所成角为 11．（25-26高二上·吉林白山·阶段检测）（多选）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（    ） A． B．0 C． D． 12．（25-26高二上·上海·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为棱上一个点，若，则__________. 13．（25-26高二下·江苏南京·期中）圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 14．（2026高三·全国·专题练习）在直三棱柱中，若，，，点为的中点，点为的中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值为________． 15．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在直三棱柱中，点分别为棱的中点. (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 16．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图所示，平行六面体的底面是边长为的正方形，侧棱的长为，. (1)求对角线的长. (2)求异面直线与所成角的余弦值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 知识点1用向量表示点的位置 一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定.此时，称为点P的位置向量. 知识点2直线的方向向量 定义：一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l. (1)如果A，B为直线l上的两个不同点，则v＝就是直线l的一个方向向量. (2)如果v为直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行. (3)空间中直线l的位置可由方向向量v和l上的一个已知点唯一确定. (4)如果v1，v2分别是直线l1，l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合. 【注意】(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. (3)直线l方向向量的常用求法：取直线l上两点，分别为起点与终点. 知识点3空间中两条直线所成的角 v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. 如图，则①θ的范围为. ②θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉. ③sin θ＝sin〈v1，v2〉或cos θ＝|cos〈v1，v2〉|. ④l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0. 两异面直线所成角的求法 (1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解. (2)向量法：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，a与b的夹角为φ，则l1与l2所成角θ满足cos θ＝|cos φ|＝.两直线所成的角θ∈，而两向量所成的角的范围为(0，π)，一定要注意其关系为相等还是互补. 考点一　用空间向量求点的坐标 考点二　求直线的方向向量 考点三　异面直线夹角的向量求法 考点四　已知线线角求其他量 考点一　用空间向量求点的坐标 1．（25-26高二上·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示的坐标，再根据中点坐标公式计算可得． 【详解】因为向量，，其中O为坐标原点， 所以，， 所以的中点的坐标为， 故选：D 2．（25-26高二上·北京顺义·阶段检测）设，，向量，则______；点C的坐标为______. 【答案】 【分析】求出，从而，设，从而得到方程，求出答案. 【详解】，， 故； 设，则， 所以， 故，解得，所以. 故答案为：， 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向量在基底下的坐标为，然后分别以和为基底表示出向量，根据空间向量相等的条件建立方程组，解之可得答案. 【详解】设向量在基底下的坐标为， 则， 整理得：， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为， 故选：B 4．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）已知，，．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由见解析 【分析】假设存在点满足条件， 得出向量，的坐标，由四边形是等腰梯形，且，且，求出的值，再检验即可得. 【详解】由已知得，，则三点不共线. 假设存在点满足条件， 则，． 因为四边形是等腰梯形，且，所以． 即 所以， 解得或． 当，，时， ，且三点不共线， 故此时四边形为平行四边形，不合题意； 当，，时，点与点重合，不合题意． 故假设不成立，即不存在满足条件的点． 5．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 【答案】 【详解】在直三棱柱中，平面，且，所以两两垂直， 因此，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意，可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以， 所以的坐标为， 从而． 6．（25-26高二下·江苏·课前预习）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，根据得到方程组，求出答案. 【详解】由四边形是平行四边形知， 设，则，又， 所以，解得，即D点坐标为. 故选：C 考点二　求直线的方向向量 7．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 【答案】（答案不唯一，只要与向量共线即可） 【详解】因为，在直线上， 所以可以是直线的一个方向向量. 8．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 9．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 10．（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 11．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 【答案】ABC 【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据中点坐标公式即可判断B；根据空间点到坐标轴距离公式即可判断C，根据向量共线的坐标表示即可判断D。 【详解】对A，由题意得，则，故A正确； 对B，线段的中点坐标为，即，故B正确； 对C，点B到x轴的距离为，故C正确； 对D，因为，且，则与向量不共线，故D错误. 故选：ABC. 12．（25-26高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 考点三　异面直线夹角的向量求法 13．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：    (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】选取基底向量 ，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值. 【详解】（1）设，由题意可得，， 所以 ， 所以，即的长为； （2）因为， 所以 ， 又， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 14．（福建漳州市2026-2026学年高二下学期期中考试数学试卷）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算可知,，通过数量积求出，进而求出. 【详解】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 15．（25-26高二上·陕西西安·期中）（多选）向量，，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A；根据空间向量共线定理即可判断B；根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，，设，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 16．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】/0.8 【详解】由题意知在直三棱柱中，， 故以B为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 故， 设直线与所成角为， 则. 17．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建系，利用空间向量求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 在直三棱柱中，平面, 以为原点，为轴，为轴，为轴建系， 则则 , 所以，， 设异面直线和所成的角为， 则. 18．（2026·河南·三模）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，且侧面底面，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，求出异面直线的方向向量，通过向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值． 【详解】取的中点，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且． 又平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面． 以为坐标原点，方向为轴正方向，底面内垂直于的方向为轴正方向， 方向为轴正方向建立空间直角坐标系，可得各点坐标： ，，，． 因为是的中点，所以，则，． 设异面直线与所成角为，，则． 计算得： ，， ， ， 代入得． 考点四　已知线线角求其他量 19．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 20．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)因为E，F分别为，的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为 ，，且E为的中点，所以， 则四边形为平行四边形， 则.又平面，平面，所以 平面. 因为平面，平面， ，所以平面 平面. (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得到平面和 平面，再利用面面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量，从而得到锥体的高，最后利用锥体的体积公式即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 设 （ ），则，，，， 则，. 因为异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得， 故四棱锥的体积为. 21．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 解得（负根舍去），即. 故答案为：1 22．（25-26高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且． (1)若，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）如图连接交于点，连接 因为且， 所以， 因为，所以， 所以，所以 ， 又因为平面，平面, 所以平面 （2）如图建立空间直角坐标系，则,， 则,， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则 ，即，令，得， 所以，解得或（舍） 所以的值为. 23．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知长方体的底面是边长为2的正方形，为棱上的任意一点，为棱的中点，若棱上至少存在一点使得，则棱的长的最大值为______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设正四棱柱的高为，标出点、、的坐标，结合已知条件得到方程，根据方程解的情况求出的取值范围即可求解. 【详解】根据已知条件，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，    设正四棱柱的高为，令，，， 所以，， 因为，所以，即， 整理得，因为棱上至少存在一点使得， 所以关于的方程，至少有一个解， 即，整理得，解得， 因为，所以，所以棱长的最大值为. 故答案为： 24．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【分析】建系并标出点，设，，利用空间向量得坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 故答案为：. 1．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知直线经过点和点，下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意将三点共线转换为向量共线即可验算求解. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则不共线，故B错误； 对于C，若，则不共线，故C错误； 对于D，若，则不共线，故D错误. 故选：A. 2．（25-26高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 3．（2026高二上·河南鹤壁·专题练习）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，得，则，故B正确； 令，则，即不符合题意，故A错误； 令，则，即不符合题意，故C错误； 令，则，即不符合题意，故D错误. 故选：B． 4．（25-26高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 5．（25-26高二下·浙江宁波·开学考试）已知在棱长为的正四面体中，，则直线和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，设，易知，， 因为，所以，， 则， 又，得到， ，得到, 设和的夹角为，则, 故选：C. 6．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 设直线与所成的角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 7．（2026·江苏扬州·模拟预测）在正四面体中，分别为的中点，连接，若正四面体的边长为2，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取底面的中心，连接，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角. 【详解】取底面的中心，连接，则平面，以为原点，为轴，过作平行于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，由正四面体的边长为2，则底面的外接圆半径，则由题易得高，故， ，由、分别为、的中点，所以， 同理得，故， 所以由向量夹角公式可知. 8．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）已知，，是空间中的三个点，则（    ） A．向量的模长为4 B．直线的一个方向向量为 C．向量在向量方向上的投影向量为 D．若，则，，，四点共面 【答案】BD 【分析】利用，，三点的坐标写出向量，的坐标，即可求出及直线的一个方向向量，从而可以判断A，B选项；再利用投影向量的公式即可求出向量在向量方向上的投影向量，从而判断C选项；利用空间向量共面定理可以判断与、共线，从而判断D选项. 【详解】，，， ，， 对于A：，故A错误； 对于B：直线的方向向量与共线，而， 直线的一个方向向量是，故B正确； 对于C：，， 向量在向量方向上的投影向量为 ，故C错误； 对于D：，，与不共线， ，， 设存在唯一实数对使得，则 ， ，， 存在唯一实数对使得， 与、共面，即，，，四点共面，故D正确. 故选：BD. 9．（25-26高二上·江西新余·期末）（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．可以作为空间的一个基底 B． C．长为 D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】应用空间向量共面判断A，根据空间向量数量积公式及运算律求解判断B，应用模长公式计算求解判断C，应用异面直线所成角公式计算判断D. 【详解】对于A，设，所以为空间中的一组基底， 则，，， 则，所以共面， 则不能作为空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为 ，所以，故B正确； 对于C，由， 则 ，即，故C正确； 对于D，因为，，，， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：BCD 10．（25-26高二上·山东淄博·阶段检测）（多选）关于空间向量与立体几何，下列说法正确的是（   ） A．若向量是空间的一组基底，则也能作为空间的一组基底 B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若两个平面的法向量分别为，则这两个平面平行或重合 D．若两条异面直线的方向向量分别为，则两直线所成角为 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基本定理判断A；利用向量的数量积的坐标运算判断BD，根据向量共线定理判断C. 【详解】对于A，假设共面， 则存在唯一组实数，使得， 因为是空间的一组基底，所以，方程组无解， 所以不共面，所以也能作为空间的一组基底，故A正确； 对于B，因为，，所以， 所以，所以或，故B错误； 对于C，所以， 所以这两个平面平行或重合，故C正确； 对于D，因为， 所以， 因为，所以，所以两直线所成角为，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高二上·吉林白山·阶段检测）（多选）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（    ） A． B．0 C． D． 【答案】BD 【分析】如图建立空间直角坐标系，表示出，利用可得范围，即可得答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则. 由图，，又， 则，即， 则.因为锐角， 则 或， 又由题可知，则. 故选：BD 12．（25-26高二上·上海·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为棱上一个点，若，则__________. 【答案】/0.5 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，由求出，求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， ， 故， 解得， 故. 故答案为： 13．（25-26高二下·江苏南京·期中）圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求解. 【详解】设上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，以下底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则由已知有， 连接，因为，所以，所以， 所以， 即. 14．（2026高三·全国·专题练习）在直三棱柱中，若，，，点为的中点，点为的中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值为________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值，进而求得其正弦值. 【详解】依题意可知两两相互垂直，以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 在中，，，，所以, 设，则， ，则， 设异面直线与所成角为，， 则， 所以. 15．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在直三棱柱中，点分别为棱的中点. (1)证明：直线平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线得，再由线面平行判定证得平面. （2）以为原点建系，用向量法求异面直线所成角：先写出各点坐标，求出向量与，再用公式计算余弦值. 【详解】（1）因为是的中点，是的中点. 所以是的中位线. 故，又平面，平面 所以平面. （2）因为在直三棱柱中，平面，平面， 所以两两垂直. 如图以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，，，为中点， 所以，，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，， 则. 所以异面直线与所成角得余弦值为 16．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图所示，平行六面体的底面是边长为的正方形，侧棱的长为，. (1)求对角线的长. (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，再利用模长公式即可求出答案； （2）求出，，，再根据数量积公式求向量的夹角即可求出答案. 【详解】（1）由， 故 ， （2）因为底面是边长为的正方形，则， 又，所以 ， ； 所以异面直线与夹角的余弦值为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $