预习02 空间中的点、直线、平面与空间向量（5知识点+8题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习02 空间中的点、直线、平面与空间向量 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点一、空间中点、直线的向量表示 1．空间点的向量表示 （1）如果在空间中指定一点，那么空间中任意一点的位置，都可以由唯一确定，向量就是点的位置向量. （2）特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定， 2．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 知识点二、平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 知识点三、用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 特别地，两直线的方向向量分别为，则 知识点四、空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点五、空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 【题型1 直线方向向量】 1．在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 2．已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【题型2 平面的法向量】 5．已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 6．已知平面的一个法向量为，若直线满足（），则（ ） A． B． C．直线与平面有且仅有一个公共点 D．直线与平面的位置关系不确定 7．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 9．已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则 . 10．在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【题型3 求异面直线的夹角】 11．在正方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 12．图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线AE与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 13．在正六棱台中，，点是底面的中心，若该六棱台的体积为84，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 14．在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且△是正三角形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 15．如图，已知三棱锥，，，． (1)求证：； (2)若异面直线与所成的角的余弦值为，求． 【题型4 利用空间向量证明线线平行、垂直】 16．如图，已知在四面体中，为等边三角形，的面积为，点在平面上的投影为点，点分别为的中点，则（    ）    A．与相交 B．与异面 C． D． 17．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 18．长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 19．直三棱柱的底面中，，，棱，、分别是，的中点，如图，建立空间直角坐标系. (1)求的坐标及的长； (2)求证：. 20．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，分别是的中点，.证明：. 21．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且.求. 【题型5 利用空间向量证明线面平行】 22．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 23．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 . 24．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 25．如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 26．如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【题型6 利用空间向量证明面面平行】 27．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 28．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则 ． 29．已知正方体的棱长为3，平面平面且与线段，分别交于点，则长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 30．如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【题型7 利用空间向量证明线面垂直】 31．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 32．（多选）在正四棱柱中，为的中点，则（    ） A．∥平面 B．∥平面 C．平面 D．平面 33．（多选）下列四棱锥的所有棱长都相等，，，，，是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则直线不与平面垂直的是（   ） A．   B．   C．   D．   34．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 35．（多选）在棱长为a的正方体中，点E为的中点，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则平面ABP C．若，则存在，使 D．若，则存在，使平面DPB 36．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【题型8 利用空间向量证明面面垂直】 37．在正方体中，分别为AB，BC的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 38．在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 39．如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 40．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 41．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 一、单选题 1．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数等于（    ） A． B． C．3 D． 3．已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 4．已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为6的正四面体中，E，F分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 8．如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   二、多选题 9．已知在正三棱柱中，为棱的中点，为棱的中点，则（   ） A．平面 B．若，则 C．若，则直线与直线所成角的余弦值为 D．若，则平面与平面的夹角为 10．已知正方体的棱长为1，N为的中点，以下结论正确的是（    ） A． B． C．平面 D． 11．已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．在线段上存在一点，使得平面 B．对于线段上的任意一点，都有 C．过，，三点作正方体的截面，则截面的面积为 D．若点在正方形所在平面内，且平面，则线段长度的取值范围是 三、填空题 12．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是棱上一点，是的中点，则当 时，． 13．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 14．在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时， . 15．如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 四、解答题 16．如图，在正方体中，点分别是的一个四等分点，且，求与夹角的余弦值． 17．如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 18．在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：. 19．如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习02 空间中的点、直线、平面与空间向量 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点一、空间中点、直线的向量表示 1．空间点的向量表示 （1）如果在空间中指定一点，那么空间中任意一点的位置，都可以由唯一确定，向量就是点的位置向量. （2）特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定， 2．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 知识点二、平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 知识点三、用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 特别地，两直线的方向向量分别为，则 知识点四、空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点五、空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 【题型1 直线方向向量】 1．在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，，则， 所以点的坐标满足的关系式是. 故选：C. 2．已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 3．若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 4．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 【题型2 平面的法向量】 5．已知平面内有两个向量，，设平面的法向量为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为平面的法向量，所以且. 因为：； ； . 所以ACD都不是. 因为，，所以B正确. 故选：B 6．已知平面的一个法向量为，若直线满足（），则（ ） A． B． C．直线与平面有且仅有一个公共点 D．直线与平面的位置关系不确定 【答案】C 【详解】∵，∴， ∵为平面的一个法向量，∴平面， ∴直线与平面有且仅有一个公共点. 故选：C. 7．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 8．在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 9．已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则 . 【答案】9 【详解】由点，得， 由是平面的一个法向量，且点，得， 因此，所以. 故答案为：9 10．在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【详解】（1），，， ，. （2）设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 所以平面的一个法向量为. 【题型3 求异面直线的夹角】 11．在正方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为2，则， 故， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 12．图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线AE与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为，所以，所以， 如图所示，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为, 则异面直线AE与所成角的正弦值为. 故选: A. 13．在正六棱台中，，点是底面的中心，若该六棱台的体积为84，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取上底面中心为，取中点，连接， 则由正六棱台结构特征可知两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以该六棱台的上下底面面积为，且， 又该六棱台的体积为84，则， 所以，即该六棱台的高为， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 则. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 14．在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且△是正三角形，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ． 【答案】/0.25 【详解】 取中点，连接，取中点，连接， 因为四边形是正方形，所以， 因为△是正三角形，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 因为平面，平面， 所以，， 因此以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2， ，，，， 因为是的中点，所以， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以， 故答案为：. 15．如图，已知三棱锥，，，． (1)求证：； (2)若异面直线与所成的角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【详解】（1）由得平面平面． 由平面平面且得平面， 所以． （2）不妨设， 以为原点，分别以为轴，轴建立空间直角坐标系， 则，， 故，， 则， 解得或， 所以或． 【题型4 利用空间向量证明线线平行、垂直】 16．如图，已知在四面体中，为等边三角形，的面积为，点在平面上的投影为点，点分别为的中点，则（    ）    A．与相交 B．与异面 C． D． 【答案】C 【详解】AB选项，连接，则，平面，平面， 由于与相交，故与异面，故AB错误； C选项，的面积为，为等边三角形， 设的边长为，则，解得， 因为分别为的中点，所以⊥， 又在平面上的投影为点，故⊥平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 又，故， 则， ， 所以，C正确；    D选项，，， ， 故 故所成角的余弦值为，故D错误. 故选：C. 17．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，， 所以，设， 则， 所以，. 故选：A. 18．长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 19．直三棱柱的底面中，，，棱，、分别是，的中点，如图，建立空间直角坐标系. (1)求的坐标及的长； (2)求证：. 【答案】(1)； (2)证明见详解 【详解】（1）由题意可知：， 则，可得， 所以的长为. （2）由（1）可得：， 因为，所以. 20．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，分别是的中点，.证明：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：由题意，底面，， 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 由，则，所以， 所以. 因为，所以. 21．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且.求. 【答案】 【详解】法一：平面，四边形为矩形， 故可以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 则，， 因为，所以，解得， 故； 法二：如图，连接，因为底面，且底面， 所以，又因为，， 、平面，所以平面， 又平面，所以， 从而， 因为，所以， 所以，于是，所以，即， 所以，所以； 法三：如图，连接交于点N， 因为底面，且底面，所以， 又因为，， 、平面，所以平面， 又平面，所以， 在矩形中，有， 所以，即， 令，因为M为的中点， 则，，， 由， 得，解得， 所以. 【题型5 利用空间向量证明线面平行】 22．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意可知，，则，故或. 故选：D 23．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 . 【答案】/2.5 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 24．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 25．如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 26．如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 【题型6 利用空间向量证明面面平行】 27．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 【答案】C 【详解】设平面的法向量为，平面的法向量为， ，， 设，即，，. 故选：C. 28．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则 ． 【答案】 【详解】根据，可得，故，解得， 故， 故答案为： 29．已知正方体的棱长为3，平面平面且与线段，分别交于点，则长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系，连接， 因为正方体的棱长为3，所以，， ，，，而，， ，，由题意得共线，共线， 设，，，， 则，，， 得到，，，解得，则， 而，故， 得到，，， 解得，，，则， 故， 设面的法向量为，结合，， 则，， 令，解得，，故， 因为平面平面，所以也是面的法向量， 则，即，解得，此时， 由向量模长公式得， ， 若最小，则最小即可， 令，由二次函数性质得对称轴为， 而，则当时，取得最小值，最小值为， 则的最小值为，即的最小值为，故C正确. 故选：C 30．如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，为的中点. 【详解】当为的中点时，平面平面． 证明如下：设符合题意．连接，，． 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴平面的一个法向量为． 若平面平面，则也是平面的一个法向量． ∵， ∴，∴， 又， ∴当为的中点时，平面平面． 【题型7 利用空间向量证明线面垂直】 31．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】由可得，即，解得. 故答案为： 32．（多选）在正四棱柱中，为的中点，则（    ） A．∥平面 B．∥平面 C．平面 D．平面 【答案】BC 【详解】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设底面边长为， 则，，，，，，，，， 对于选项A：设平面的法向量， 因为，，则， 令，则，，可得， 又因为，则， 所以与平面不平行，故A错误； 对于选项B：设平面的法向量， 因为，，则， 令，则，，可得， 又因为，则， 可知，且平面，所以∥平面，故B正确； 对于选项CD：设平面的法向量， 因为，，则， 令，则，，可得， 则，可知，所以平面， 但平面与平面相交，所以不与平面垂直，故C正确，D错误； 故选：BC. 33．（多选）下列四棱锥的所有棱长都相等，，，，，是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则直线不与平面垂直的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】BCD 【详解】由条件可知四棱锥为正四棱锥， 对于A：      设的交点为，由正四棱锥的结构特征可知：面， 易知：，又，为平面内两条相交直线， 所以直线与平面垂直； 对于B：    取的中点为，连接， 有中位线性质可知：，， 所以四边形为平行四边形，所以， 可证直线平行平面； 对于C：    设棱长为2，， 所以， 所以与不垂直，所以直线不与平面垂直； 对于D： 设棱长为2，，， 所以 所以与不垂直，所以直线不与平面垂直； 故选：BCD. 34．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：    设，则，所以 ， 设平面的法向量为，则，即 ，令，得，所以法向量为， 设，因为， 因为平面，则，所以，解得， 则. 故选：B 35．（多选）在棱长为a的正方体中，点E为的中点，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则平面ABP C．若，则存在，使 D．若，则存在，使平面DPB 【答案】ABD 【详解】对于A选项，若，则， 则点在线段上，如图．因平面平面， 且平面平面，平面平面，故， 因平面平面，故平面， 同理可证平面，因平面平面，且， 故有平面平面，又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B选项，若， 则（为的中点）如下图，又因为，所以． ，又因为平面，平面，故B正确； 对于选项，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 因为，，，所以， 则点的坐标为.若，则，，. 假设存在，使，则存在实数，使得，即， 可得，此方程无解，所以不存在，使，选项错误. 对于选项，若，则，，，. 设平面的法向量为，则，即， 由得，代入得， 即，，令，则，，所以. 若平面，则与平面的法向量平行，即存在实数，使得，， 可得，由代入得，解得，所以存在，使平面，选项正确. 故选：ABD． 36．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【详解】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 【题型8 利用空间向量证明面面垂直】 37．在正方体中，分别为AB，BC的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】B 【详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则，，， 则，， ， 所以，，即，， 又，面，故面， 面，故平面平面，故B正确； 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以平面与平面不垂直，故A错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故D错误， 故选：B. 38．在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的值为 【详解】（1）平面平面 且平面平面， 平面 平面 平面 又， 平面. 平面平面平面. （2）假设在棱上是否存在点，使得平面 取中点，连接，，如下图 ，， ，， 从而，故平面， 又平面平面 且平面平面， 平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由题意可知，，，，， 设 点在棱上，故， ，故 设平面的法向量为 故，令，则， 从而平面的法向量可以取 平面 ，解得， 故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时 即，从而 39．如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【详解】（1）连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 40．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 41．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）∵为正方形，∴， ∵二面角为直二面角，∴平面， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 过点平行于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 设()， ∵为上的点，， ∴设，∴， ∴，，， ∵平面，、平面，∴， 且，解得，，∴，， 所以，，∴，∴， ∵平面，平面，∴， 又，、平面，∴平面； （2）由题意可知，平面的法向量为， 设面的法向量为，，， ∴且，取，则，， ∴，∴，∴平面平面. 一、单选题 1．若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 2．已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数等于（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由题意可得：， 即， 解得. 故选：B 3．已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，解得，所以. 因为，且平面， 所以， 解得，， 所以. 故选：D. 4．已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 【答案】C 【详解】对于A，因为，，所以， 因为，所以与不是共线向量，A不正确； 对于B，，所以与同向的单位向量为，B不正确； 对于C，，,所以， 所以与夹角的正弦值为，C正确； 对于D，，因为，所以平面的一个法向量一定不是，D不正确. 故选：C 5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线与直线夹角的正弦值. 故选：C 6．如图，在棱长为6的正四面体中，E，F分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作平面，垂足为，连接，则为的中心， 以为坐标原点，直线，分别为轴，轴，过点平行为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为6，求得，， 可得，， 所以， 设，所成的角为，所以． 故选：A. 7．在平行六面体中，，．设，，，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示： 在平行六面体中，，．设，，， 所以， ，， 对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，, ， 与、都垂直，则是平面的一个法向量，故D正确； 故选：D. 8．如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，.则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 二、多选题 9．已知在正三棱柱中，为棱的中点，为棱的中点，则（   ） A．平面 B．若，则 C．若，则直线与直线所成角的余弦值为 D．若，则平面与平面的夹角为 【答案】ABD 【详解】对于A，依题意，，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，，， ，则，B正确； 对于C，由选项A知，是直线与直线所成的角或其补角，令， 则，，C错误； 对于D，取的中点，连接，则是正三棱柱的中截面， 平面平面，平面与平面的夹角等于平面与平面的夹角， 取的中点，连接，由， 得，又，则是平面与平面的夹角， 在中，，，D正确. 故选：ABD    10．已知正方体的棱长为1，N为的中点，以下结论正确的是（    ） A． B． C．平面 D． 【答案】AD 【详解】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，，由，则和不垂直， 所以不垂直平面，故C错误； 对于D，，，则，故D正确. 故选：AD. 11．已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．在线段上存在一点，使得平面 B．对于线段上的任意一点，都有 C．过，，三点作正方体的截面，则截面的面积为 D．若点在正方形所在平面内，且平面，则线段长度的取值范围是 【答案】ABD 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 对于A，，， ，由，得， 即当点时，，而平面， 因此平面，A正确； 对于B，由选项A知，，而，， 因此对于线段上的任意一点，都有，B正确； 对于C，取中点，，即，而直线， 则，四边形是符合题意的截面，， 等腰梯形的高，该截面面积，C错误； 对于D，设，则， 由平面，得，解得， 则，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是棱上一点，是的中点，则当 时，． 【答案】/ 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则，，． 设， 则，∴． ∴当时，与垂直． 故答案为： 13．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 【答案】 【详解】如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面的法向量为 则 令，得,所以， 设，则，又平面，则， 所以，解得，，所以. 故答案为：. 14．在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时， . 【答案】 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，， 设，则，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 故答案为：. 15．如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，设点，其中、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，因为平面，则， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，的长度取最小值. 故答案为：. 四、解答题 16．如图，在正方体中，点分别是的一个四等分点，且，求与夹角的余弦值． 【答案】 【详解】设正方体的棱长为1，分别以为单位正交基底建立空间直角坐标系， 则， 所以．， ，． 所以． 因此与夹角的余弦值是． 17．如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 18．在四棱锥中，，，四边形为矩形，在上，且，为的中点，平面交于点．求证：. 【答案】证明见解析 【详解】如图， 由可得， 由于，故， 又，故， 可得： 故，故， 结合底面为矩形，故， 故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. ， ，， 由， 又， 两式联立解得：， 所以 则， 故， 因此平面， 故平面， 平面， 故 19．如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$