广西南宁市东盟中学2025-2026学年高一年级下学期6月月考数学试卷

南宁市东盟中学2025级高一年级春季学期6月考试 数 学 一、选择题：本题共8小慝，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数三满足x+2z=344i(1是虚数单位)，则z=（) A.1-4H B.6-4i C.6-2i D.3-2i 2.已知ab,c是木同的直线，xB是不重合的平面，若aca,bcB,anB=c,anb=M则（) A.MEcEa B.Mccea C.Mccca D.Mecca 3.设x,y∈R向量a=(x,),b=(L,y),E=(24),且a⊥c,b∥c,则x+y=() A.0 B.1 C.2 D.3 4.如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾“"形态，则下列结论正确的是() A.众数=平均数=中位数 B.众数>中位数>平均数 C.众数>平均数>中位数 D.中位数>平均数>众数 5.随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2026年2月到该地旅游的游客中 随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的 是() 个自助游比率% 背年人 30 老年人 25-- 20% 20 中年人 35% O老年人中年人青年人年龄段 A.若调查的游客中青年人有225人，则一共调查了500人 B.估计2026年2月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5% C。估计2026年2月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 D.用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有12人，则中年人有21人 16.已知向量a,满足ā=1,2)，1上3，a(G-)=-1,则1a-2h（) A.17 B.5 C.25 D.√7 7.在四边形ABCD中，AB/1CD,AB=3DC,E为BC的中点，则正等于() A.子+而B.孤+号C.}西+而0.各而+号知 61 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 8.在三棱锥A-BCD中，△ABD，△BCD均为等边三角形，BD=2√3，AC3,帅该三稷锥外接球的表面积为 () A.4π 8.3x 3 c.2 D.52m 3 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9.已知AB,C是不重合的三点，则下列结论正确的是（) BC A.AB =-BA B.与C共线的单位向量只有 C.若AB=2BC,则AB,C共线 D.若AB=2BC,则 @ 2 AC 10.在△ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60°，则（) A.BA.AC-3 B.C边上的中线长 2 C.BC边上的角平分线长 5 D.△MBC外接圆的面积为28 11.如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体ABCD-AB,C,D,的侧面ADD4上的一个动点（含边界），P是梭CC 的中点，则下列结论正确的是() A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为回 B.过AB,P三点作正方体的截面，则椒面面积为√5 C.三棱锥B-CD的体积最大值为号 D.若保持PM=√反，则点M在侧面ADD,A内运动路径的长度为 三、填空题（每小题6分，共15分） 12.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，记录向上一面的点数，若已知5个点数的中位数为2，唯一的众数为1，则 平均数最大为 灯塔 13.某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距6互海里；在甲 2号灯 地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里，该船由甲地向正南航行到 乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的 距离是 海里. 14.如图，己知二面角a-AB-B为120°，CDCa,CD⊥AB,EFcB,EF与AB所成的 角为30°，则异面直线CD与EF所成角的余弦值为_ CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答愿（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ·15.(13分)如图，己知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点. (1)证明：OD/平面PAC: (2)证明：平面POD⊥平面PBC. 16.(15分)某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宜传人”的主题知识比赛，目在引 导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100 分，最低分50分)中，随机调查了100位同学的测试成绩，按[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100)分组， 并绘制出了如图所示的频率分布直方图. ()若规定成绩排名前30%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于 组距 多少分？ 0.030 (2)已知落在[70,80)内的平均成绩是77分，方差是4分，落在[80,90)内的平均成绩是 0.015 84分，方差是6分，求两组成绩合并后的平均数z和方差2. 0.010 0.005引 050607用8090100应绣分 17.(15分)如图.在三棱锥P:ABC中AC⊥平面.PB,E,F分别为BC,PC的中点， 且PA=AC=2,B=1,F=5 2 (I)证明：AB1PC: (2)求二面角F-E-C的余弦值. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18,(17分)已知△ABC的内角4，B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,a三4，ac0sB-bc03A=c-2b. 3 (1)求cosA: 2)已知4S=a2+c2-b2,求三角形面积S. 19.(17分)（九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖膈.如图，三梭锥A-BCD为整踽，AB⊥平 D,MB=3，∠ACD=5,且三棱锥A-BCD的外接球表面积为 (1)求三棱锥A-BCD体积的最大值： (2)在△BCD中，BD=2CD,A亚=EC. (i)当2=1时，求证：BE⊥AD: ()若DE与面ABD所成角的正弦值为 ,求实数入的值。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 南宁市东题中学2025级存季举期G月月考（长學）鲁容案 历以的三校推外接球的麦面积为任yOC。红二习： 1.A设x=a+H(a5eR),可得x+2狂=a++2(a-)=3a-H 因为r+2理=为41，所以3a-i=3+4解得a=Lb=4,所以：=1-41. 9。由相反向量的定义可知A正璃： 2.D因为anf=c,所以cca,ccf,又因aca.bc及anb=M,所以Mga,MQP,因Mecca BC 3.A向量a=(x1).5=(y,c=(24),且ā⊥cb∥e,所以2x-4=0,4=2y,得x=2y=-2,则x+y=0. 与配共线的维位肉魔屉之园，散B情损 4、8平均数受极端值影响，中位数、众纸不受根蝶值影响， 由向量共线定理可知，面.C共执，又A丽，C有公共点A,则人B,C共域，则C正确： 由于图象左尾”，众数最大，平均量小干中位董，8要漏足 2 5.C设2026年2月到该地旅游的整客总人数为0. 由而2c2c-2而可0而花，所似{ 0正魔 由题靠，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为024,035a,045a 其中选择自助谱的老年人、中年人、青年人的人数分别为0.04,0.0875a,0.135a. 对于A,0.45知=225，解得a=500,即一共酒查的避客人数是S00人，故A正确： 【0.BC选项A:向量B与AC的夹角为1-∠aC=20 对于B,估计2026年2月到该地旋送的替客中选择自助诗的青年人占总游客人数的13S5%,故B正痛： 对于C,因为2m6年2月到该地旋游且选择自助若的若客的人数为0.04a+0.0875a+0.135a=02625a,3其中青年人 所以五，元=网Go20-23引-3，A情说 的人数为0.135a,所以选挥自助苦的苦客中青年人超过一半，故C错误 选项B:设8C中点为D,划而=(@+网列，则 对于D,设中年人应抽取：人依题意得号=高解得x=21,即中年人应抽取21人故D正确：. 网-+两-网+2丽元+网可)-e+22am6如，)- 6.D由a=0,2),得a5,由a-(a-而=-1，赛a-ab=-1,解得ai=6,I63, 散8C边上的中张 2 ,B正确， 所以1ā-2上V君-4aB+6=5-4x6+4x9=万 忘项C设角4的角平分战交BC于E,利用面积关系足r+足灯=号x, A.-而+而+c号而+而 则在-+丽在}c西+引而-号河号而+知 即2BE曲30+4CB:30-8:4C血60. 2 21 电即片×2×B×5×3xB×-2x3x点，架得HB.5.c正清 8.D知图，取BD的中点E,连装AE,CE, 2 22 22 2 5 因为AB=BC=CD=AD=BD=2N5、所以4E⊥BD,CE⊥D, 选项D:由余张定理得BC=B+4C-2B4dCc0s6r=2+3-2x2x3x=7,即C=万. 所以E=CE=2W5×号=3，又4C=3,所以∠ABC=60. 8C.52互 设△C外核置半径为R,由正法定程2识“C“追学，则R-百 3 分别取△ABD与△8CD的外OG,F,悬知点G,F分别在AE,CE上， 过点G,F分别作两平面的垂线，两垂线交于点O,则点O为三校锥A一BCD外接球的球心， 所以AA6C外接圆的面积S=元R=黑 3 由已知可衡CP=CB=×3=2,2PeCB=l,卷接08，易得GB=FE, 所以△OEC2△OEF,划L0EP=L0BG=30,贴0P=EPan30°=马， 所以在Rt△0CF中，OC2=OF2+CP= 3 ,即三棱维外核球的半经为四 3 共7或，斯1页 共7到，擂2页 CS扫描全能王 3亿人形在用的目牌APP 11,ACD对于A,将而ABBA和侧面BCCR沿8R展成平面，如下阳所示， 12.3 将5个数据由小到大涯行排列，前3个数发次为列，【，2，要使得这5个数据的平均数是大， -周 则后而两个数分别为5.6，即这5个数婚由小别大依次为：1、2、5、6， 将底面ABCD和侧面CDAG沿CD展成平而.如下西所示， 所以这5个点数的平均数的最大值为+1+245453. 5 13.4万由题意可知AD=65,AB=4,∠DMC=105:∠D,45, 周， 、在△1CD中，利用正浓定理可知品血行一C=2,】 面 22 ，沿正方体的来面从点到点P的聚短路程为正，人正隔 在648C中，自余弦完项可知C=+4C-24Cm价=1641-242宁-l2。 2 仰2号灯塔与乙地之网的距离是4万海且 对于B,取DD中点2，接P2,A2, POliCDIIAB,∴P,Q4B四点共面， } 则过人B,P三点作正方体的截面，袭西即为四边无ABP?,如下图阴影部分所示， 过点F作F附⊥a于点H,在平面a内，作0⊥B于点O,差接F0, :AB⊥平面B0CA,PC平面BCCR,÷AB⊥BP, 因BCa,则FPH⊥AB,因FH∩O=H,FH,OC平面FOH,故BL平面FO明， 又OFc平面F0H,则AB⊥OF,因二面角a-AB-B为2r,故∠F0H=80-12T=60 POIIAB,Pg=.:西边形BP2为矩形， 设EF=4,因∠B0=30,则0P=4血30=20E=4s30=25, 1时-哥-9心-59，B 22 在t△FH0中，FH=2sin60=5,0R=2cas60=l, 对于C,7ro=Xc,品n为定值， 在平面a内，过点E在AB的同侧作PEIIO,PE=OH,走接PB,P行， 则得划PE0H,故PH=OE=25,易得Rt△HP,测PF=√FE+PH=5+2=5, 当点M到早面CD臣离最大时，”如取得最大值， 因CD⊥An,放PE/1OHI1CD,则∠PEF为异面直线CD与EF所成角其#角， 又点M为前面DD,4(含边界)上的一个动点， 在PEF中，PB-0mLF-店，由余弦定昆么P1生- ∴当点M与点4重合时，点M到平面CD距离最大， 故异面直线CD与EF所成角的余弦值为} 化eow=mae@P-写分-时c正商 对于D,若PM=反，则点M在以P为珠心，互为半轻的球面上 15.(1)因为0为底面图心，AB为底面直径，所以点O为D的中点， 取Dn中点2，则Pg-l,÷wg=叭-Pg-l· 又因为点D为C的中点，所以oDn4C, 因为ODc早面PAC,ACc平面AC.所以OD∥平面4C :点M的轨迹是以2为围心，1为半轻的固在正方形AD04内的部分，印劣道ST,如下图所 (2)因为点C在底面圈周上，所以PB=PC, 又因为点D为BC的中点，所以BC⊥PD, 7卫=Q8=万=l,20-子劣驱T的长度为： 因为AB为底面直径，所以C⊥AC,又因为ODMC,所以C⊥QD. 即点M在侧面DD,A内运动路径的长度为，D正确， 面PDI OD=D,PD,ODc平面POD,所以C⊥平面POD, 因为8Cc平面PBC,所以平面POD⊥平面PBC. 并7页，郭3页 共7页，第4列 CS扫描全能王 3亿人题在用的日mAPP 16.(1)由思意可知，进入决妻的同学成愤的分线为样木数推的前70百分位戴， 1B.()因为0coy0-bc0Ae-名b,由正孩定厚可得hXcm月-inC-子hB. 设样本数据的第70百分位数为！， sInCnsin(A+B)=sin Aco0+sin BcoA, 由须率分布直方图中所有矩邪的面积之和为1可得(0.005+0.01+0.015+0.0]+a)×10=1,解和a=0.04, pshAeosn-h0comA=shAosB+siBcosA-2na. 前三个矩形的面积之和为(0.005+Q,01+0.03)x10=0.45, 可得-宁hB,且Be(0,网.眉h80,所以con4=子 前四个矩形的面积之和为0.45+004×10=0.85，所以r∈(090， 2)由0可如o4-宁4包列，则恤：9。 由百分位数的定义可得0.45+(-80)xQ04=07,解得r=8625, 因为43=d2+c2-,则x20c血B=2acco时B,可得n8=l. 故进入决奏的同学成绩应不任于8625分 (2)由愿意可知，成读落在(70,80)的颜率为0.03x10=03,成顷落在80,90)的频率为0.04×10=0.4， 且8eQ列.则B昏， 所.ig*n+g64-,-[们-s+-[4-+-9 因为hC=n(4+)=s通Aco+i如Bo0s=4+ 6 由正弦定理。 方可得5.0血B 3, 17.(1)E,F分别为BC,PC的中点，：PB=2iF=5. 所以△ABC的面积S= ebsinc =4+反 2 6 AB+P2=PB,∴.AB1PAAC⊥平面PAB, ∴AB⊥AC:ACOPA=AAC,PAC平面PAC, 19.(1)因为AB⊥平面BCD,CDC平面BCD, :AB⊥平面PAC,PCC平面PAC,:AB⊥PC 所以AB⊥CD, (2)根据题意，取4C的中点M,过M作N⊥A5交AE于N,走接FM,FN,ME, 因为F为PC中点，M为4C的中，点则FMIIPA,且M-PM=l, 因为∠MCD=,所以C1cD. 又ACAB=A,AC,ABC平面ABC,所以CD⊥平面ABC 又PA⊥AB,PA⊥C,ABnAC=A,B,4CC平面ABC, 因为BCc平面ABC,所以CD⊥BC, ·PA⊥平面ABC, 如图，把三搜锥A-BCD放入长方体中，可得其外接球为长方体的外楼球 FM⊥平面ABC,面AEC平面ABC,1 AE FM, 设该外接球半径为R,则4元R2=21m,得4R2=21, 又MN⊥AE,FH∩N=M,FM,MN?平面FN, 所以AB⊥平面2N, 又长方体的外接球半径为R.yB+BC+CD9+BC+CD 2 2 YNc平面FN,AE⊥FN,即∠FNM为二面角F-AB-C的平面角， 所以9+BC3+CD3■4R3■21，所以BC+CD3m12. 所以在0u中，仙-e宁则=干-5。 三梭惟A-BCD的体积为P=**BCxCDxAB=BCxCDs×8C+CD.3. 32 2 由等面积可将0W仙g.r} 当且仅当BC=CD=√6时，等号成立 AE 55 所以三棱推A-BCD体积的最大值为3， 2 所a∠RNM:PM。1 NM5 =5 则cos∠PwMe 即二面角F-46-C的余弦值为⑤ 5 6 共7页，第5页 共7页，箱6项 CS扫描全能王 3亿人形在用的目牌APP (2)由(1)知.8C+CD3=l2·即8D2=12.BD=2万. 由BD=2CD,得CD=5,BC=3,所以AB=BC=3AC=3互. (I)当A=1时，AE=EC:,所以E为AC的中点所以BB⊥AC. 又CD⊥平面ABC,B6c平面ABC,所以CD⊥B5 因为CDn4AC=C,CD.ACC平面ACD,所以BE⊥平面ACD 因为ADc平面4CD,所以BE⊥D。 ()三校蓝A-BCD的体积等于C-ABD的体积，记点C到平面ABD的距离为d, 则时Sm4B=od, 得d.m想2CcDB3x53 ABBD 252 因为正-证，所秋通E到期平国0始更离为号品热 又DE=VCD+CE-, 3以 所以DE与面ABD所成角的正弦值为T 2+.5 +18 化简得，(11+14)(a-2)=0, 所以=片2 共7到，第7页 C3扫描全能王 3亿人形在用的目牌APP