单元集训卷08　三角函数-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数核心概念与性质，通过分层题型构建从基础到综合的知识网络，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|第1题|判断象限角、终边相同角等概念|从角的定义到集合表示，构建概念体系| |实际应用|第2、6、19题|扇形面积、温度变化、圆周运动模型|运用三角函数描述现实问题，体现模型意识| |图像与性质|第5、7、9、13题|图像识别、变换、对称性、单调性|从图像特征到性质推导，强化几何直观| |三角恒等变换|第4、15题|同角关系、求值计算|基于定义推导公式，培养运算能力| |综合应用|第8、11、14、17-19题|参数范围、零点、最值问题|整合性质与变换，发展推理能力|

单元集训卷08　三角函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【详解】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】D 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为. 由题意得，，解得，或， 由得，或. 3．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在区间内，正弦值为的角有两个：， 余弦值为的角只有一个：， 若，则可能为或，当时，，因此充分性不成立. 若，则，此时，因此必要性成立. 4．已知为第二象限角，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用二倍角公式化简已知等式，结合为第二象限角的符号特征求出与的值，代入目标式计算即可得结果. 【详解】已知，根据二倍角公式， 可得，即， 因为为第二象限角，故，即，等式两边同除以得， 即， 展开整理得，即，解得， 又为第二象限角，故，， 因此，， 将、代入目标式： ，故C正确. 5．某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像，可得，结合周期公式可求得，代入最高点坐标可求得，即可得函数解析式. 【详解】根据函数图像可知， 周期，所以， 所以，将最高点坐标代入可得 ，所以， 解得， 当时，， 所以. 6．某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系，，其中时表示凌晨点．则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用辅助角公式将原函数解析式化简，然后利用余弦函数性质求出函数的值域. 【详解】. 从上午10点到晚上8点期间，，. 余弦函数在上的取值范围是， 因此的取值范围. 因此温度变化范围为. 7．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变）， 可得的图象， 令，得，可得， ． 8．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（  ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由函数在区间上单调递减可得，由可得函数关于对称，再解方程即可. 【详解】当时，， 因为在区间上单调递减， 所以，，解得 因为，所以，， 又因为，所以函数关于对称， 所以，解得， 又，所以，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列关于函数的说法正确的是（      ） A．最小正周期是 B．是对称中心 C．是对称轴方程 D．在上单调递增 【答案】AD 【分析】由函数的图象与性质，根据选项利用性质逐一判断即可. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，由可得对称中心横坐标满足， 解得，故不是函数的对称中心，故B错误； 对于C，由可得对称轴方程满足， 解得，故C错误； 对于D，函数的单调递增区间满足 ，解得， 当时，得函数的一个单调增区间为，故D正确. 10．已知函数的图象过点和点，则（     ） A．在区间上单调递减 B．直线为图象的一条对称轴 C．将的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D．在区间上仅有两个零点 【答案】BC 【详解】代入点得，代入得，又因为，所以，函数解析式为. 选项A，，，因此不单调递减. 选项B，，，为对称轴. 选项C，向左平移得成立. 选项D，，，因为函数在上只有1个零点，因此只有1个零点. 11．已知函数，满足，，且的最小值为，下列说法正确的是（     ） A．的最小正周期为 B．在区间单调递减 C．在区间有两个极值点 D．使得为偶函数的最小正实数为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简得到，结合选项，利用正弦型函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由 ， 对于A，因为，，且的最小值为， 即函数的最小正周期满足，所以，所以A正确； 对于B，由上分析可得，解得，则， 当时，， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减，所以B错误； 对于C，令，可得， 因，由，解得，又， 故当时，；当时，， 即函数在区间有两个极值点和，所以C正确； 对于D，由函数， 因为函数为偶函数，可得，解得， 当时，，所以最小正实数为，所以D不正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．化简得___________． 【答案】 【详解】原式. 13．函数的图象为，如下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号） ①图象关于直线对称； ②图象关于点对称； ③函数在区间内是增函数； ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象； ⑤函数的最小正周期为. 【答案】①②③ 【分析】对于①：直接求出即可验证；对于②：用代入法进行判断；对于③：直接求出增区间即可；对于④：利用相位变换即可判断.对于⑤，利用三角函数图象的平移、对称变换即可判断. 【详解】因为 对于①：当时，为函数的最小值， 故图象关于直线对称，即①正确； 对于②：因为， 所以图象C关于点对称；故②正确； 对于③：令， 解得：， 所以的递增区间为， 当时，是的一个递增区间，故③正确； 对于④：的图象向右平移个单位长度可以得到，故④错误. 对于⑤；因，可理解为将函数的图象向上平移1个单位长度， 再保持轴上方部分不变，并将轴下方部分沿着轴向上翻折得到， 故其周期并非的周期的一半，即⑤错误. 14．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】采用整体代入法，求出当时，的范围，由正弦函数图象特征确定满足的临界条件，解不等式即可求解. 【详解】当时，，因为此时对应3条对称轴，3个对称中心，画出函数图象，如图： 故必满足，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式化简函数，代入即可求得答案； （2）根据已知条件结合同角三角函数关系式和二倍角公式计算得到结果； 【详解】（1）， ； （2）， ， . 16．已知函数 . (1)求在的单调递减区间； (2)当 时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) 最大值为，最小值为 【分析】 （1）先通过三角恒等变换将原函数化简为正弦型函数，再结合正弦函数的单调性求解即可. （2）根据正弦函数的最值求解指定区间的最值. 【详解】（1）. 令，解得， 又，取得单调递减区间为. （2）当时，，则， 因此， 即函数最大值为，最小值为. 17．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的取值范围； (3)将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在上的零点. 【答案】(1)，单调递增区间. (2) (3)和 【分析】（1）将化简为正弦型标准形式后，利用周期公式计算最小正周期，结合正弦函数的单调递增区间解不等式得到的单调递增区间； （2）根据的定义域求出相位的范围，结合正弦函数在该区间的值域，推导出的取值范围； （3）根据三角函数平移变换规则得到的解析式，令解方程，筛选出落在区间内的解即为零点. 【详解】（1） ， ， 由，得 ， 所以的单调递增区间是. （2）由，得， 当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值， 所以的取值范围是. （3）由题 ， 由得，解得或，又， 所以或，即在上的零点为和. 18．已知函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为． (1)求函数的对称轴方程 (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域． 【答案】(1)若，函数的对称轴方程为． 若，函数的对称轴方程为． (2).若，函数的值域为， 若，函数的值域为. 【分析】(1)化简 ，根据一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为即可求出，结合正弦函数的对称轴方程求解即可； (2)根据图形的变换得到，利用整体法即可求出函数的值域． 【详解】（1）由已知 因为函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为， 所以 若，则 令，解得 故函数的对称轴方程为． 若，则， 令，解得 故函数的对称轴方程为． 综上，若，函数的对称轴方程为． 若，函数的对称轴方程为． （2）若， 将函数的图象向右平移个单位后， 可得的图象； 再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象． 当时， 所以故函数的值域为. 若， 将函数的图象向右平移个单位后， 可得的图象； 再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象． 当时，， 所以，故函数的值域为 综上，若，函数的值域为， 若，函数的值域为. 19．已知质点从开始，沿以原点为圆心，2为半径的圆做匀速圆周运动，质点运动的角速度为弧度/秒（），经过x秒，质点运动到点P，设点P的纵坐标为y，令，将的图象向左平移2个单位长度后图象关于y轴对称． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间及上的最值． (3)将函数横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍得到函数，若，求函数的值域． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，， (3) 【分析】（1）设，根据正弦型三角函数的图象性质分别确定参数的值，从而得函数 的解析式； （2）由正弦型三角函数的单调性得单调区间，从而可得在区间上的单调性即可得最值. （3）根据已知及图象平移得，再应用三角恒等变换化简目标函数式，结合三角函数的性质求值域. 【详解】（1）设， 由知，， 因为，所以，又，所以， 将的图象向左平移2个单位长度后所得函数． 因为的图象关于y轴对称， 所以，解得． 又，所以时， 所以． （2）由（1）得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为． 当 时，， 当时，； 当时，． （3）由（1）知， 将函数图象横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍， 所以， 所以 ， 由，则，故，所求值域为. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷08　三角函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 3．设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知为第二象限角，且，则（     ） A． B． C． D． 5．某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（   ） A． B． C． D． 6．某实验室一天的温度(单位：)随时间(单位：)的变化近似满足函数关系，，其中时表示凌晨点．则从上午10点到晚上8点期间，该实验室的温度变化范围为（    ）． A． B． C． D． 7．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（  ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列关于函数的说法正确的是（      ） A．最小正周期是 B．是对称中心 C．是对称轴方程 D．在上单调递增 10．已知函数的图象过点和点，则（     ） A．在区间上单调递减 B．直线为图象的一条对称轴 C．将的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D．在区间上仅有两个零点 11．已知函数，满足，，且的最小值为，下列说法正确的是（     ） A．的最小正周期为 B．在区间单调递减 C．在区间有两个极值点 D．使得为偶函数的最小正实数为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．化简得___________． 13．函数的图象为，如下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号） ①图象关于直线对称； ②图象关于点对称； ③函数在区间内是增函数； ④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象； ⑤函数的最小正周期为. 14．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 16．已知函数 . (1)求在的单调递减区间； (2)当 时，求的最大值和最小值. 17．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的取值范围； (3)将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在上的零点. 18．已知函数的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为． (1)求函数的对称轴方程 (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域． 19．已知质点从开始，沿以原点为圆心，2为半径的圆做匀速圆周运动，质点运动的角速度为弧度/秒（），经过x秒，质点运动到点P，设点P的纵坐标为y，令，将的图象向左平移2个单位长度后图象关于y轴对称． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间及上的最值． (3)将函数横坐标伸长到原来的倍，纵坐标缩短到原来的倍得到函数，若，求函数的值域． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $