精品解析：福建厦门市同安实验中学2024-2025学年高三上学期第四次月考数学试卷

厦门市同安实验中学2024-2025学年高三上学期第四次月考 数学试题 考试时间：2024年12月26日15：30-17：30 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号（2B铅笔准确填涂）填写在答题卡上. 2．考试不是拼多多，多人合作酿大祸！！！ 3．作弊的男生不可靠，作弊的女生很无聊！！！ 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效，不写答题卡无情零瓜蛋！！！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数，（其中为虚数单位，）. 若是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求出的代数形式，再根据实部为零，虚部不为零列式计算. 【详解】, 因为是纯虚数， 所以，解得. 故选：A. 2. 已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积及投影向量即可求出两个向量的夹角，再利用向量的模长公式即可得到结果. 【详解】设的夹角为，由题意得，， 所以， 故选：C 3. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 144种 D. 288种 【答案】C 【解析】 【分析】由排列数的计算公式，结合分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果. 【详解】第一步从6个位置中选择2个位置，满足条件的选位可以是， 共有3种不同的方法； 第二步将甲、乙排到所选择的2个位置，共有种不同的方法； 第三步将丙、丁、戊、己排到剩余的4个位置，共有种不同的方法； 由分步计数原理可知，共有种． 故选：C 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知切化弦化简，结合二倍角公式可推得，然后变为正余弦的齐次式化简运算，即可求解. 【详解】由可得，， 整理可得，， 所以有，所以， 所以，. 故选：D. 5. 在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式系数和可求，进而利用通项公式可求奇次项有，利用排列组合知识，可求奇次项都互不相邻的概率. 【详解】在二项式展开式中，二项式系数的和为，所以. 二项式即为， 通项公式为， 故展开式共有7项，当时，展开式为奇次项， 把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排， 再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有种， 故奇次项都互不相邻的概率为. 故选：A. 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项，结合边角互化可得，进而根据和差角公式可得，由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，成等差数列，则， 由正弦定理可得, 故, ， 由于，因此，故 ，当且仅当，取等号， 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据等比中项以及正弦定理可得，进而利用正切和正弦的和差角公式得，，即可结合基本不等式求解. 7. 已知平面上两定点A，B，则平面上所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为1的正方体表面上有一动点P满足，则点P在侧面上的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心位置及半径，在空间内轨迹为以为球心的球，球与面的交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，求得圆弧的长度即可. 【详解】在平面中，图①中以为原点以为轴建系如图，设阿氏圆圆心,半径为， 因为，所以，所以， 因为，所以， 所以，解得，所以圆心， 所以在空间内轨迹是以为球心，半径为的球， 因为平面， 平面截球所得小圆是以为圆心，以为半径的圆，且， 所以点P在侧面上的轨迹长度为P在侧面上的轨迹长度为. 【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长. 8. 已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 令，则其图象为开口向下，对称轴为的抛物线； 由关于x的不等式， 可知，当时，，即有； 当时，，即有； 作出函数图象如图： 要使关于x的不等式的整数解有且仅有2个， 显然不能满足题意，故需满足，即， 解得，即的取值范围为， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 A. B. 由散点图知变量和正相关 C. 用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 D. 收益的方差为6 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数公式以及散点图的图象特征判断AB，根据回归直线过样本点中心，即可判断C，代入方差公式，判断D. 【详解】A.，，故A正确； B.散点图的分布从左下到右上，所以是正相关，故B正确； C. 经验回归直线必过样本点中心，当时，，故C错误； D.收益的方差为，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题设条件可得在上的单调性，结合其奇偶性可求不等式的解，从而可得正确的选项. 【详解】令，由题意知在上为减函数． 因为为上的偶函数，为上的奇函数，所以为上的奇函数． 又在上为减函数，，所以为上的减函数． ①当 时，即， 所以，所以，所以，解得； ②当 时，即， 所以，所以，所以，解得． 综上，或． 11. 如图，在三棱锥中，两两垂直，为上一点，，分别在直线上，，则：（ ）. A. B. C. 若平面且到距离相等，则直线与的夹角正弦值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】建系标点，设，根据向量垂直可得.对于A：根据向量垂直的坐标表示分析判断；对于B：利用坐标运算求模长即可；对于C：举反例说明即可；对于D：分析可知当时，取到最小值，结合向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设，则， 因为，则，解得. 对于选项A：因为，且， 可得， 则，所以，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B错误； 对于选项C：因为， 例如平面过的中点，且与平面平行， 则到平面的均为距离，符合题意，此时平面的法向量， 可得， 此时直线与的夹角正弦值为，故C错误； 对于选项D：设， 则，， 若取到最小值，则， 可得，解得， 则，， 所以的最小值为，故D正确； 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足且则的通项公式_______. 【答案】 . 【解析】 【分析】根据等差数列定义可判断数列为等差数列，再由等差数列通项公式计算可得. 【详解】由可知数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即可得，所以. 故答案为： 13. 随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为___. 【答案】## 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可知，从而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】随机变量X服从正态分布， ，由，， ，且， 则， 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为． 故答案为：. 14. 已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线的对称性，连结，根据图形分析可得是直角三角形，且，在结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率. 【详解】如图， 设双曲线的左焦点为，连结， 因为四边形是菱形，所以，所以， 并且根据对称性可知是等边三角形，所以，， 所以根据双曲线定义可知，即， 解得，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：一般求双曲线离心率的方法是： 1.直接法：直接求出，然后利用公式求解； 2.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的所有正数零点构成递增数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简得到，从而得到正数零点，即可得到是公差为1，首项为的等差数列，求出通项公式即可； （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 ， 令，解得：， 故当时，为数列的首项， 由于，故是公差为1，首项为的等差数列， 故； 【小问2详解】 ， 故①， 则②， ①②得： ， 则. 16. 如图（1）五边形中，，将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面. （1）求证：； （2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接， 因为点为线段的中点，所以且， 因为，所以，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为⊥平面，所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥，由三线合一得； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，得到线面垂直，进而得到线线垂直，由三线合一得到结论； （2）证明出⊥，由正切值求出余弦值，结合余弦定理求出，由勾股定理逆定理得到⊥，得到线面垂直，进而证明出⊥平面，从而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求解线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，又因为，所以为等边三角形， 故，因为，，即⊥， 因为，所以直线与所成角的正切值为， 即，故， 又，解得， 设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 故，由勾股定理逆定理得⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 取中点，连接，取中点，连接，则⊥， 因为平面，所以⊥，由三线合一得⊥， 因为平面，， 所以⊥平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 设直线与平面所成角大小为， 则. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数和有相同的最大值，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，求导函数，可得，再求出，利用直线方程的点斜式得答案； （2）利用导数分别求出与的最大值，由最大值相等可得关于的方程，再构造关于的函数，然后利用导数求最值即可． 【小问1详解】 当时，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，而， 若，则， 此时函数在上单调递减，无最大值，不符合题意，故. 令，得，当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以的最大值为. 的定义域为，而. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值为. 因为和有相同的最大值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. 18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组： ，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； （3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为X，求当X的数学期望取最大值时正整数n的值． 【答案】（1）平均数为123，第60百分位数为125 （2）分布列为： 0 1 2 P 方差为 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义直接计算即可； （2）由抽样比确定抽取的一级口罩个数，再由超几何分布计算出相应概率可得分布列，求出方差； （3）求出X的数学期望的表达式，构造函数并求导得出取最大值时正整数n的值. 【小问1详解】 该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； ， 故第60百分位数落在内，设其为x， 则， 解得，故第60百分位数为125； 【小问2详解】 一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0，1，2， ，，， 故的分布列如下： 0 1 2 P 数学期望为， 方差为； 【小问3详解】 X的可能取值为0，n，2n， ， ， ， 故， 令，设，则， 因为， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当，即时，取最大值． 19. 已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. （1）求E的方程； （2）设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）由题意，可设直线，则， 设直线，联立，得， 因为与抛物线相切，所以，则， 所以，令，得， 而，所以，故点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题设并利用两点距离公式列方程求轨迹方程； （2）（i）由题意有，设直线，联立抛物线并结合相切关系求得，进而有，即可求K坐标，即可证； （ii）由题意得，联立与抛物线，应用韦达定理最值即可. 【小问1详解】 设，显然，由题设， 所以，即为动点P的轨迹方程； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题意， 又，当且仅当时等号成立， 联立，得，显然， 所以，，则，， 所以， 综上，，即目标式最大值为，当且仅当时成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2024-2025学年高三上学期第四次月考 数学试题 考试时间：2024年12月26日15：30-17：30 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号（2B铅笔准确填涂）填写在答题卡上. 2．考试不是拼多多，多人合作酿大祸！！！ 3．作弊的男生不可靠，作弊的女生很无聊！！！ 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效，不写答题卡无情零瓜蛋！！！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数，（其中为虚数单位，）. 若是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 144种 D. 288种 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 7. 已知平面上两定点A，B，则平面上所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为1的正方体表面上有一动点P满足，则点P在侧面上的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 A. B. 由散点图知变量和正相关 C. 用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 D. 收益的方差为6 10. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（ ） A. B. C. 2 D. 3 11. 如图，在三棱锥中，两两垂直，为上一点，，分别在直线上，，则：（ ）. A. B. C. 若平面且到距离相等，则直线与的夹角正弦值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足且则的通项公式_______. 13. 随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为___. 14. 已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的所有正数零点构成递增数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 16. 如图（1）五边形中，，将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面. （1）求证：； （2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数和有相同的最大值，求的值. 18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组： ，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； （3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为X，求当X的数学期望取最大值时正整数n的值． 19. 已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. （1）求E的方程； （2）设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $