福建厦门市同安实验中学2024-2025学年高三上学期第四次月考数学试卷

**基本信息** 以新能源产业统计、口罩质量检测等真实情境为载体，通过梯度化问题设计考查数学抽象、几何直观与数据意识，适配高三月考综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数、向量、排列组合（基础）；阿氏圆（空间观念）、函数不等式（推理能力）|结合阿波罗尼斯圆历史背景，渗透数学文化| |填空题|3题/15分|数列递推、正态分布、双曲线离心率|考查数学符号表达与模型构建| |解答题|5题/77分|数列求和（运算能力）、立体几何折叠（几何直观）、导数最值（推理能力）、概率统计（数据意识）、抛物线切线（模型意识）|概率题以口罩生产为情境，解析几何题融合切线与定值证明，呼应高考命题趋势|

厦门市同安实验中学2024-2025学年高三上学期第四次月考 数学试题 考试时间：2024年12月26日15：30-17：30 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号（2B铅笔准确填涂）填写在答题卡上. 2.考试不是拼多多，多人合作酿大祸！！！ 3.作弊的男生不可靠，作弊的女生很无聊！！！ 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效，不写答题卡无情零瓜蛋！！！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知复数，（其中为虚数单位，）. 若是纯虚数，则（  ） A． B． C．1 D．4 2．已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（    ） A．2 B．3 C． D． 3．甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念,则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有( ) A．36种 B．72种 C．144种 D．288种 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 7．已知平面上两定点A，B，则平面上所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为1的正方体表面上有一动点P满足，则点P在侧面上的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） A． B．由散点图知变量和正相关 C．用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 D．收益的方差为6 10．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的的值可以为（    ） A． B． C．2 D．3 11．如图，在三棱锥中，两两垂直，为上一点，，分别在直线上，，则（     ）. A． B． C．若平面且到距离相等，则直线与的夹角正弦值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列满足且则的通项公式 . 13．随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为 . 14．已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（13分）．已知函数的所有正数零点构成递增数列. (1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和. 16（15分）．如图（1）五边形中，，将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面. (1)求证：； (2)若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 17（15分）．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 18（17分）．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩. (1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； (2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； (3)在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值. 19（17分）.已知,动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 答案第2页，共2页 第4页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案： 题号 1 2 3 .6 8 9 10 答案 A 0 D B C A AB BCD 题号 11 答案■ AD 1.A 【分析】求出乙·2的代数形式，再根据实部为零，虚部不为零列式计算. 【详解】3·z2=（1-2i)(a+2i)=a+4+(2-2a)i, 因为1·2是纯虚数， a+4=0 所以12-2a产0解得a=-4. 故选：A. 2.C 【分析】利用平面向量的数量积及投影向量即可求出两个向量的夹角，再利用向量的模长 公式即可得到结果 b 1 【详解】设a与b的夹角为O,由题意得acos0 3 所以(3a-b)'=9a-6ab+62=9-6x +1=8,…3a-b=22 故选：C 3.C 【分析】由排列数的计算公式，结合分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果 【详解】第一步从6个位置中选择2个位置，满足条件的选位可以是(1,4)，(2,5)，(3,6)， 共有3种不同的方法： 第二步将甲、乙排到所选择的2个位置，共有A种不同的方法： 第三步将丙、丁、戊、己排到剩余的4个位置，共有A种不同的方法： 由分步计数原理可知，共有3×A号×A=144种. 故选：C 4.D 答案第1页，共15页 2 【分析】根据已知切化弦化简，结合二倍角公式可推得tan2a:=二，然后变为正余弦的齐 5 次式化简运算，即可求解。 【详解】由sinatana=cosa-5sina可得，sina: sin a=cosa-5sin cosa 整理可得，cos2au-sin2u=5 sin acosa, 所以有cos2u=)sin2a,所以tan2a=2 5 所以，cos4a=cos22a-sin22a=cos2a-sin22a_1-tan22e 5 21 cos22a+sin22a 1+tan22a 29 故选：D 5.D 【分析】利用二项式系数和可求，进而利用通项公式可求奇次项有4，利用排列组合知 识，可求奇次项都互不相邻的概率 【详解】在二项式 2- 展开式中， 二项式系数的和为2”=64=2，所以n=6. 项2左为2 通项公式为T=C6·(2)-(-1)·x3-,r=0,1,2,…,6, 故展开式共有7项，当r=0,2,4,6时，展开式为奇次项， 把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意 排， 再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有AA种， 故奇次项都互不相邻的概率为P=AA-L A7-35 故选：D 6.B 【分析】根据等差中项，结合边角互化可得tan Atan C=3>0,进而根据和差角公式可得 sin A tan A+3tan C ,由基本不等式即可求解 cos B cosC 2 答案第2页，共15页 【详解】由于 b cosA’cosB'cosC 成等差数列，则2b=a」 cos B cos A'cos C' 由正弦定理可得2sinB_sinA,sinC 2tan B=tan A+tan C=tan(A+C)(1-tan Atan C), cos B cos A cosC 故2tanB=-tanB(1-tan Atan C)→tan Atan C=3, sin A sin(B+C)sin Bcos C+cos Bsin C -tan B+tanC, cos BcosC cos Bcos C cos Bcos C 由于tan Atan C=3>0,因此tanA>0,tanC>0,故 sinA A-nC*tnCAC2A.3unC =-tan(A+C)+tanC=_tan A+tanc 2 3 cos BcosC 2 ,当且仅当tanA=3tanC=3,取等号， 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据等比中项以及正弦定理可得2tanB=tanA+tanC,进而利用正 切和正弦的和差角公式得tan Atan C=3>0, sin A ,=tanB+tanC,即可结合基本不 cos BcosC 等式求解. 7.C 【分析】根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心O位置及半径，P在空间内轨迹为以O为球心的 球，球与面B,BCC的交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，求得圆弧的长度即可. 【详解】在平面中，图①中以B为原点以AB为x轴建系如图，设阿氏圆圆心O(α，O),半径 为r, M 图① 因为PA=√2PBl,所 PA三5，所以r= P 1-2) AB=√2， 因为BM=√2-|BO=√2-a,所以|AM=√2|BM=2-√2a, 所以2-√2a+√2-a=1,解得a=1,所以圆心01,0)， 答案第3页，共15页 所以P在空间内轨迹是以O(1,0)为球心，半径为√2的球， 因为OB⊥平面BBCC, 平面BBCC截球所得小圆是以B为圆心，以BP为半径的圆，且BP=√2-1=1， 所以点P在侧面BBCC上的轨迹长度为P在侧面B,BCC,上的轨迹长度为21x}亚 42 【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截 面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长. 8.A 【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案， 【详解】令h(x)=e*(x2-3),x>0,则h(x)=e(x+3)(x-1), 当0<x<1时，h'(x)<0,则h(x)在(0,1)上单调递减： 当x>1时，h'(x)>0,则h(x)在(1，+oo)上单调递增： 令k(x)=-3(x+1)2,x≤0，则其图象为开口向下，对称轴为x=-1的抛物线： 由关于x的不等式x(f(x)-g(x)<0, 可知x≠0，当x>0时，f(x)<8(x),即有h(x)<8(x): 当x<0时，f(x)>g(x),即有k(x)>g(x): 作出函数图象如图： 个hx)=e'(x2-3),x>0 e2 g(x)-mx eL k(x)=-3(x+1)2x≤0 要使关于x的不等式x(f(x)-g(x)<0的整数解有且仅有2个， m>0 m>0 显然m≤0不能满足题意，故需满足h(2)≥g(2),即e2≥2， k(-2)≤g(-2) -3≤-2m 3 37 解得0<m≤方即m的取值范围为0 答案第4页，共15页 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答 案 9.AB 【分析】根据平均数公式以及散点图的图象特征判断AB,根据回归直线过样本点中心 (,),即可判断C,代入方差公式，判断D 【详解】A元=1+2+3+4+5+6+7=4，万=2+3+5+7+8+8+9=6，故A正确： B.散点图的分布从左下到右上，所以是正相关，故B正确： C.经验回归直线必过样本点中心(x,)=(4,6),当x=4时，1.5×4+0.5=6.5≠6，故C错 误 D收签y的方差为[2-6+6-0+6-6+7-6+(8-6x2+0-6]-46, 故D错误， 故选：AB 10.BCD 【分析】构造g(x)=f(x),由题设和g(O)=0可得g(x)为R上的奇函数和减函数，分 t>0,t<0求解不等式。 【详解】令g(x)=f(x),由题意知g(x)在[0，+o)上为减函数 因为f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为R上的奇函数 又g(x)在[0，+o)上为减函数，g(O)=0,所以g(x)在R上为减函数. ①当0时，日err-小0f得}-ra-. 所以89)8(2-)，所以2x-1 所以1<2t2-t,解得1>1： @当<0时，⑨月2r-r2->0[a-ra-0, 所以g日82-). 所以>2-1，所以1<2P-,解得1< 答案第5页，共15页 综上，t<- 故选：BCD 11.AD 【分析】建系标点，设CE=CA,根据向量垂直可得元=：对于A:根据向量垂直的坐标 表示分析判断；对于B:利用坐标运算求模长即可：对于C:举反例说明即可；对于D: 分析可知当MN⊥DE,MN⊥BA时，MN取到最小值，结合向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以B为坐标原点，BC,BD,BA分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， M 则A(0,0,2),B(0,0,0),C(1,0,0),D(0,1,0), 可得CA=(-1,0,2),DC=(1,-1,0),BA=(0,0,2), CE=mCA=(-m,0,2m),DE DC+CE=(1-m,-1,2m), 因为DE∠AC,则D正.C=m-1+4加=0：解得m号 对于选A:因为G正-（0号 ,且BC=(1,0,0), 可得巫-c+0E-(传0引. 则BE.CA=一 4, 5 4=0,所以AC⊥BE,故A正确： 对于选项B:因为DE= -)所以网-21- 25 5,故B错误： 对于选项C:因为DA=(0-1,2), 例如平面a过BC的中点P 1 ,0,0 且与平面ABD平行， 则A、B、C、D到平面u的均为距离，符合题意，此时平面u的法向量i=(1,0,0), 答案第6页，共15页 4 可得cos(亿，DE)= iDE 5 4w5 DE 1x3V5 15 5 此时直线DE与α的夹角正弦值为4W5 故C错误： 15 对于选项D:设DN=DE= 号wa2ue. 2 DM =(0,-1,2u),MN=DN-DM= 41-,2元-2u 5 若MN取到最小值，则MN⊥DE,MN⊥BA, 6元+元-1+ 25 2 ,解得 41 可得 5 l= 41 则MN= +04V47 41 所以MW的最小值为4V④ 故D正确； 41 故选：AD 12.(2n-3)(n-4). 【分析】根据等差数列定义可判断数列 an 为等差数列，再由等差数列通项公式计算 2n-3 可得 【详解】由a=,a,+1(n∈N)可知数列 是以4=-3为首项，1为公差的 2n-12n-3 2n-3 2-3 等差数列， 即时得233+a-x1-m4,所以a=(2m-3a-40 故答案为：(2n-3)(n-4) 13.6+4V214W2+6 【分析】由正态分布的对称性可知m+n?从面利用基本不等式1的妙用求解最小直 【详解】·随机变量X服从正态分布X~N(8,c), PX≥8=，由P(x>10)=m,P6≤x≤8=P8≤x≤10)=n, 答案第7页，共15页 m+n=2且m>0,n>0, 则+2品+m*小〔+2336+45. m n 当且仅当2，即m2-2-巨1时等号成立. -,n m n 2 2 所以2+1的最小值为6+42， m n 故答案为：6+4√2 14.V5+1/1+√5 【分析】利用双曲线的对称性，连结BF,BF,根据图形分析可得△BFF是直角三角形， 且∠BFO=60°，在结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率. 【详解】如图， 珠 设双曲线M的左焦点为F,连结BF,BE, 因为四边形OFAB是菱形，所以OB叶|FR引，所以BE⊥BF, 并且根据对称性可知△OBF是等边三角形，所以∠BF0=60°，|BF卡√3c, 所以根据双曲线定义可知|BF|-|BF卡2a,即√5c-c=2a, 解得 2 aV3-1 =√3+1，所以双曲线M的离心率为V5+1. 故答案为：√3+1. 【点睛】方法点晴：一般求双曲线离心率的方法是： 1.直接法：直接求出a,c,然后利用公式求解； 2.构造法：根据条件，可构造出a,c的齐次方程，通过等式两边同时除以a2，进而得到关 于的方程. 答案第8页，共15页 5.四)a,=n3 (2)5n=3-n+3 2” 【分析】(1)利用辅助角公式化简得到f(x)=2cos+ 从而得到正数零点 6 -兮+长：keN,即可符到和，}是公差为1，首暖为写的等差数列，求出通项公式即可： (2)利用错位相减法求和。 【详解】(1)f(x)=V5cosc-sinr=2cosr+ 6 令+亚-匹+kmk∈N,解得：x=+k,keN, 62 故当k=0时，x=，为数列{a}的首项， 由于an+-an=1,故{an}是公差为1，首项为的等差数列， 1 2 故a,=3+n-l=n-3 a&0号引aaN。 故Sn=2× 1 2 则=2+3+a-@ 1 -+0 则5=2发3 2分 16.(1)证明见解析： 26 7 【分析】(1)作出辅助线，得到四边形ABMN为平行四边形，故BM/AN,得到线面垂 直，进而得到线线垂直，由三线合一得到结论： (2)证明出AD1CD,由正切值求出余弦值，结合余弦定理求出CP=√5，由勾股定理逆 定理得到CD IDP,得到线面垂直，进而证明出PFI平面ABCD,从而建立空间直角坐标 系，求出平面的法向量，利用空间向量求解线面角的正弦值. 答案第9页，共15页 【详解】(1)取PD中点N,连接AW,MN, 因为点M为线段PC的中点，所以MN IICD且MN=。CD, 因为ABI/CD,CD=2AB,所以MNI∥AB,MN=AB, 故四边形ABMN为平行四边形，所以BM/IAN, 因为BMI平面PCD,所以ANI平面PCD, 因为PDC平面PCD, 所以AN 1 PD,由三线合一得PA=AD: (2)由(I)得EA=AD,又因为ED=EA,所以△EAD为等边三角形， 故∠EDA=60°，因为∠EDC=150°，∠CDA=90°，即AD1CD, 因为AB11CD,所以直线PC与CD所成角的正切值为2， 1 即tan∠DcP=),故sin∠DCP】 xcos∠DCP=2, 又sin∠DCP+cos2∠DCP=1,解得cos∠DCP=25 设PD=1,则AD=AB=PA=1,CD=2, 在△CDP中，由余弦定理得cos∠DCP=CP+CD-PD 2CP.CD 7+4-1_25,解得CP=√5. 4CP 故CD+DP2=PC?,由勾股定理逆定理得CD1DP, 因为AD∩DP=D,AD,DPC平面ADP, 所以CDI平面PAD, 取AD中点F,连接PF,取BC中点H,连接FH,则FH⊥AD, 因为PFC平面PAD,所以CD L PF,由三线合一得PF LAD, 因为CD,ADC平面ABCD,CD∩AD=D, 所以PF⊥平面ABCD, 以F为坐标原点，FA,FH,FP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 答案第10页，共15页 则哈aa号2小9 设平面PDB的法向量为m=(x,y,), mPB=(x,y,z)片 -0 2 则 mPD=(x,八，z 1 z=0 2 令z=1得x=-5,y=5,故m=(5,5,), 设直线BM与平面PDB所成角大小为O, BM·m (55.1 4 则sin0=cos BM,m 2W万 BM 93 V1616 ×V3+3+1 17.(1)(e-2)x+y=0 (2)a=1. 【分析】(1)把a=2代入函数解析式，求导函数，可得f'(),再求出f(),利用直线方 程的点斜式得答案： (2)利用导数分别求出f(x)与g(x)的最大值，由最大值相等可得关于a的方程，再构造 关于a的函数，然后利用导数求最值即可. 【详解】(1)当a=2时，则f(x)=2x-e,f'(x)=2-e, 可得f(1)=2-e,f')=2-e, 即切点坐标为(1,2-e),切线斜率k=2-e, 所以切线方程为y-(2-e)=(2-e)(x-1),即(e-2)x+y=0. 答案第11页，共15页 (2)f(x)=ax-e的定义域为R,而f'(x)=a-e, 若a≤0，则f'(x)<0, 此时函数f(x)在R上单调递减，无最大值，不符合题意，故a>0 令f'(x)=0,得x=lna,当xe(-o,lna)时，f'(x)>0,f(x)在(-oo,lna)单调递增， 当x∈(na,+o)时，f'(x)<0,f(x)在(lna,+o)单调递减， 所以f(x)的最大值为f(lna)=ana-a. 8()=lnr-ax的定义域为(0，+o),而g'(e)=1-a=1-a 当x》时，内0（国单酒猫始， 当x后+”时，8'(<08（冈单调递减， 所以8的政大值为日。11m 因为f(x)和g(x)有相同的最大值， 故ina-a=-1-ha,整理得到--lha,其中a>0, 1+a to-dma0,则o0-a2。ac0, 1+a 故h(a)为(0，+o)上的减函数，而h()=0, 故h(a)=0的唯一解为a=l,故-=lna的解为a=1. 1+a 综上所述，a=1. 18.(1)平均数为123，第60百分位数为125： (②)分布列见解析，方差为45 112 (3)6 【分析】(1)利用中间值作代表求出平均数；判断出第60百分位数落在120,130)内，设其 为x,列出方程，求出答案： (2)求出一级口罩与二级口罩的个数比，从而得到抽取8个口罩中，一级口罩有2个，二 级口罩有6个，刀的可能取值为0,1,2，并得到相应的概率，得到分布列和方差： 答案第12页，共15页 (3)X的可能取值为0，n,2n,并求出相应的概率，得到E(X)=严+2cos刀，换元后，求 导，得到其单调性，从而确定当=6时，E(X)取最大值 【详解】(1)该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 (105×0.005+115×0.040+125×0.030+135×0.020+145×0.005)×10=123: (0.005+0.040)×10=0.45<0.6,(0.005+0.040+0.03)×10=0.75>0.6, 故第60百分位数落在[120,130)内，设其为x, 则(0.005+0.040)x10+(x-120)×0.030=0.6, 解得x=125,故第60百分位数为125： (2)一级口罩与二级口罩的个数比为。 0.02+0.0051 .005+0.04+0.033 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则-级▣翠有8×中32个，级口孕有8×1 1+3 =6个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为刀，刀的可能取值为0,1,2， w-0=是京p=答装4--答-安 故刀的分布列如下： 0 2 5 15 3 14 28 28 数学期望为E)=0× +1x15+2x 33 14 28 284 方差为m-0音+-+2治 (3)X的可能取值为0，n,2n, 2cosπ -- 2cosπ 2mcosπ 答案第13页，共15页 2cos- 2cos- 4xcos 2cos P(X=) 1-- n n + 2cos 2mc0os P(X=2n)=】 n n, n3 s 2cos 4ncos 2cos元 故E(X)=0+n n +2n =-L+2c0s元 设f()=2cost+π，则E(X)=f(I), 因为f'0=-2in0=2a}sm0】 g.fr0>0,当8时.r)<0 当10 f)在e0上卓词莲增，在（信引上单调递减。 当1名即a=6时，B(X)=f间取最大值 【点睛】关键点点睛：表达出E(X)=亚+20s,用换元思想，进而求导，求解最值 n 19.(1)y2=4x: (2)(i)证明见解析：(i) 8 【分析】(1)根据题设并利用两点距离公式列方程求轨迹方程： (2)(1)由恩意有M(-2,马，设直线：y-y=k(x-x,联立抛物线并结合相切关系求 得k=2,进而有4：=2x+),即可求x坐标，即可证， 1,12 由题意得了3十22，联立印=+2与抛物线，应用达定 理最值即可 【详解】(1)设P(x,y),显然x>-2,由题设|PF=x+1→(x-1)2+y2=x2+2x+1, 所以y2=4x,即为动点P的轨迹方程： (2)由题意，可设直线PT:x=my+2,P(x,y),Qx,),则M(-2,-4), ①设直线：y-=kx-,联立y=4x,得少2y-kx+y=0> 答案第14页，共15页 因为与抛物线相切，所以 △=1-4×长(0y-kc)= 4 0,则k= y 4x y 所以l:y-y= -0→9=2+0，令x=-2,得22-2到 y y 而m-2,所以K(-2,2m),故点x与点M的纵坐标的乘积-4×2m=-8为定值： y m 11 十 2 2 (i)由题意 2（1+1 KM222) 又KMH2m+4上4W2,当且仅当m=2时等号成立， m 联立 2=4x,得y2-4my-8=0,显然41=16m2+2)>0, x=my+2 所以y1+y2=4,%y2=-8,则xx2=4,x+x2=4m2+4, 所以1 、+1 x+x2+44m2+81 x+25+2x为+2x+x2)+48m2+162 综上，是+{sx25 了+分*后冬，即目标式最大值为专，当且仅当m=2时成立 答案第15页，共15页