重庆巴蜀科学城中学校2025-2026学年高二下学期6月定时测试数学试题

重庆巴蜀科学城中学校高2027届高二下6月数学定时测试 (考试时间：120分钟总分：150分) 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1.己知命题卫：x>2,x2-2x>0,则命题P的否定为() A.Vx≤2，x2-2x>0 B.x>2,x2-2x≤0 C.3x>2,x2-2x≤0 D.3x≤2，x2-2x≤0 2.若随机变量X~N1,σ2)，且P(X≤0)=0.3，则P(1≤X≤2)=( A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 3.等比数列{a}的公比9≠1，且a,4,4,成等差数列，则马十 的值（) a3+a2 A.-2 c. D.2 4.已知袋中有2个白球、2个红球，4个黑球，8个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球8次，记摸 到白球的个数为随机变量X,则X的方差D(X)=() A.1 B.2 3 C. D.4 5.“x>2是2x-3>1的( ) x-1 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在(x2-x-2)°的展开式中x2项的系数是（ ) A.-48 B.-24 C.24 D.48 7.己知定义在(-o,0)U(0,+o)上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),且f(1)=2,当x>0时， 可化因+21(>0，则使相了小子皮立的x的取位数胆是（ A(（1,+o） 8.（-1,0)U(0,1) C.(-oo,-1U(1,+∞) 8.（-o,-1)U(0,1) 8如图，已能圆等+茶=1的左、右焦点是耳、乃，P为循园上一点 D △PFF,在PF边上的旁切圆（旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平 分线的交点)与直线PF相切于D点，与x轴相切于A点，若DE=3AF, 则椭圆的离心率是（) A司 C,② 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列命题中正确的是() A.决定系数R越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 B若A,B两组成对数据的样本相关系数分别为”4=-0.73，a=0.65,则B组数据比A组数据的线性 相关性强 C.在经验回归方程)=x+2中，若x=3,y=5,则变量x与y正相关 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到X2=4.712,根据小概率值=0.05的独立性检验 (x05=3.841),可认为X与Y有关 第1页/供4页 10.已知函数f(x)=x3-3ax+2a(a>0),则下列结论正的是() A.函数f(x)有两个极值点 B.直线y=2a与y=f(x)的图象有且仅有两个公共点 C.若f(x)有三个零点，则a>1.D.若a∈(1，+o),对x,x,∈[-1，，都有f(:)-f(K4 11.已知正实数a,b,c满足a+b=3,则下列结论正确的有() Fa2+b2的最小值为y B.ab+2a+b的最大值为7 C.ab 的最大值为9-62 a+2b D.a+2]c+6+2+14的最小值为285-14 a+1b+1c+1 5 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.设集合A={xx≤2，B={x2x2-3x-9≤0，则AnB= 13.甲、乙、丙3位同学打算去北京、成都、贵阳、上海4个地方旅游，每位同学只去一个地方，记旅游人 数最多的地方的人数为X,则P(X>1)= 4.设f()=ax-+儿x2+2ax+o),若f≥0恒成立，则f(2)的取值范围为。 四、解答题（本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤) 15.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC,AB=BC=AA=2. (1)求证：AB,⊥平面ABC: B C (2)求直线BC与平面ABC所成角的正弦值. 16.设Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sm=3an+4. (I)求{an}的通项公式； (2)设bw=(-1)r-na,求数列{bn}的前n项和Tn 第2页/共4页 17.在平面直角坐标系x0y中， 点4引9 在椭圆C:mx2+ny2=1(m>0,n>0)上. (1)求椭圆C的标准方程： (2)设直线1过点(V3,0,且与椭圆C交于D,E两点，若点T(,0)使得kD+ks=0恒成立，求t的 值. 18.已知函数f(x)=e*-ar-a2. (1)当a=1时，求函数f(x)的极值： (2)若函数f(x)存在最小值，且该最小值大于0，求实数a的取值范围. 第3页/供4页 19.在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上下左右四个方向移动1个单位长度，记蚂 蚁所到达的点为P(x,y),且对任意的P(x,y),均有-1≤x≤1，-1≤y≤1.现规定只要蚂蚁到达的点 P(x,y)满足+川=2，则称蚂蚁成功了一次，设蚂蚁第次成功时所移动的总步数为5，k∈N. (1)求5=4的概率； (2)求随机变量的数学期望E(): (3)求随机变量5n的数学期望E(5n): 参考公式：①若c>1,则当m→o时，m十→0：②对离散型随机变量X,?,有： E(X+Y)=E(X)+E(Y). 第4页/共4页 重庆巴蜀科学城中学校高2027届高二下6月数学定时测试一参考答案 7.已知定义在（∞，0）U(0,+o)上的偶函数f(x)的导函数为'(x),且f(①=2，当x>0时， 题号123456789011 答案CAB CC D C AACD AC BCD 寸()+2/()>0，则使得/()>子玻立的x的取值范周是() 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合惠目要求的）， A.(1,+o）B.（-l,0U(0,)c.(-o,-l)(L,+o∞）D.(-o,-l)(0,1) 1.已知命题P:x>2,x2-2x>0,则命愿P的否定为( A.x≤2，x2-2x>0 B.x>2,x2-2x≤0 【答案1C【详解】设g()=x2f(x),则g()=2对(x)+xf(x)=x[(x)+2f(x] C.3x>2,x2-2xs0 D.3x≤2，x2-2x≤0 当x>0时，有(x)+2f(x)>0,所以当x>0时，g(x)>0, 【答案】C【详解】命题P的否定形式为：3x>2,x2-2x≤0. 所以函数g(x)=xf(x)在(0，+)上为增函数，因为函数∫(x)是偶函数，所以g(x)=xf()是偶函 2.若随机变量X-N(1,σ2)，且P(X≤0)=0.3，则P1≤X≤2)=( A.02 B.0.3 C.0.7 D.0.8 数，由f(>子，得f>2,又0=2，所以f>Pf0 【答案】A【详解】由正态分布的对称性可知P(1≤X≤2)=P(0sX≤1)=0.5-P(仅≤0)=0.2， 所以g(x)>g(),所以g(>g(),又函数g(x)=x2f()在(0，+∞)上为增函数， 3.等比数列{口，}的公比g￥1，且4,4，马，成等差数列，则8+4的值（） a+az 所以树1，解<一或x>山所以代倒子立的的取值指国是（一②-小（回）。 A.-2 1 B.2 C. D.2 怎如国，已州题芳长=1的左、右东在是尽、R,P为端酒上一点。AP所及在所边上的旁阿圆务 【答案】B【详解】等比数列{a}中，a=a9,a=ag2,4≠0， 切圆圈心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点)与直战PF相切于D点，与x轴相切于A点，若 因为a,a,马成等差数列，所以2a=a2+4,即2a=ag+ag2, DR=3A仍，则椭国的离心率是() 整理得g2+g-2=0,解得9=-2或g=1(舍去)， 所格。器问 -2+1 1 A B c号 【答案】A 【详解】设旁切圆与P巩相切于B,由题意可知， 4.已知袋中有2个白球、2个红球，4个黑球，8个球除颜色外其余均相同，有放问地随机摸球8次，记摸 EDHEALEBHEALIPDHPB,设|AF=m,则IDR=3m, 到白球的个数为随机变量X,则X的方差D(X)=() IFDHFA3m.PF+IPF2a,PF=DFI-IPDHDFI-IPBE3m-1PBI. A.1 B.2 PFl=PB+1 FBEPB+E4-PE+m,所以3m-P+P+m=2a,即a=2m, 【答案】C【详解】依题意每次摸到白球的概率为刀= 8则水-B8 21 1 X的方差 、☒刘4作+刊R4非20+m=3m.即0=m,所以e=台%=之 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. D-- 9.下列命题中正确的是( A.决定系数越大，残差平方和鹅小，模型拟合效果越好 5x>2是2红-31的〔) B.若A,B两组成对数据的样本相关系数分别为”4=0.73，”=0.65，则B组数据比A组数据的线相 x-1 相关性强 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 C.在经验回归方程)=bx+2中，若x=3,y=5,知变量x与y正相关 【答案】C 【详解12红-3 D.根据分类变量X与Y的成对样木数据，计算得到x2=4.712,根据小概率值a=0.05的独立性检验 x-1 ->0→(x-2x->0→x<1或x>2, 1→x-2 因为{x>2列是x<1或x>2斗的真子集，所以x>2是2x-3 (x“=3.841),可认为X与Y有关 1的充分不必要条件. x-1 【答案】ACD【详解】根据决定系数R越大，模型拟合效果越好，残差的平方和越小，故A正确。 6在(x2-x-2)的展开式中x2项的系数是() 根据样本相关系数越接近1，线性相关性越强，因为>， A.-48 B.-24 C.24 D.48 故A组数据比组数据的线性相关性强，故B错误：根据经验回归方程必然过点(x,y】,代入可得5=36 【答案】D 【详解】(x2-x-2°=[(x-2)(x+1]了=(x-2)‘(x+1): 解得b=1>0,故变量x与y正相关，故C正确： 根据独立性检验，x2=4712>3.841,故根据小标率值a=0.05的独立性检验，可认为X与Y有关， (x-2)°中x2项的系数为C×(-2)=240,x项的系数为C%×(-2°=-192，常数项为C%×(-2)°=64 10.已知函数f(x)=x2-3ax+2a(a>0),则下列结论正确的是() (x+1)°中x2项的系数为C%×1'=15,x项的系数为C%×1户=6，常数项为C%×°=1， A.函数f(x)有两个极值点B.直线y■2a与y=f(x)的图象有且仅有两个公共点 所以展开式中含有x2项的系数为240×1+64×15+(192)×6=48. C.若f(x)有三个零点，则a>1D.若a∈（自o),对，xe[-l,小，都有/(：）-∫（水4 第1页共8页 第2页/共8页 【答案】Ac【详解】已知f(x)=x2-3mr+2a(a>0),求导得f(x)=3x2-3a=3x-a)e+a), 12.设集合A={xr≤2：B={x2x23-3x-9≤0}.则4nB= 选项A:因为a>0,了(x)=0有两个不同的实根x=士√a, 且在x=士√后两侧导数符号改变，因此∫(x)有两个极值点，A选项正确： 【答案[【详解1集合4=时到=2斗， 选项B:令f(x)=2a,得x'-3amr=0,即x(x2-3a)=0,解得x=0,x=±V3a, 含a=女22--90--子g-[所unB-[2习 因此直线y=2a与f(x)图象有3个公共点，B选项错误： 13.甲、乙、丙3位同学打算去北京、成福、贵阳、上海4个地方旅游，每位同学只去一个地方，记旅游人 选项C:f(x)的极大值为f/-√a=2aa+2a>0(a>0恒成立)， 数最多的地方的人数为X,则P(X>)=— 极小值为f(√同=2a1-a,f(:)有三个零点等价于极小值小于0， 【答案】三或0.625 【详解】依题意共有4？=64种情况，显然X≠0。 只 即2a-√回<0，结合a>0得Ja>1,即a>l,c选项正确 考虑X=1即三位同学各去了一个地方的情况，有A=24种，所以P(X>1)=1-P(X=1)=1-24- 648 选项D:当ae(L,+)时，√a>1,所以f(x)<0在[-l1,可上恒成立， f(x)在[-1单调递减，/(x)-f(s儿=f()-∫()=(5a-1小-1-a）=6a-2, 14.设f(x)=nx-+1(x2+2m+b),若f)20恒成立，则f(2)的取值范围为 当a>1时，6a-2>4,不满足/(：)-f(:)水4，D选项错误. 11.已知正实数a,b,c满足a+b=3,则下列结论正确的有( 【得类12+回）【保解1段g份=r1,定义城>0，桌导得g创-士>0， A.a2+b2的最小值为9 B.ab+2a+b的最大值为7 故g(x)在(0，+∞)上单调递增，且g0)=0,因此：当x>1时，g(x)>0:当x=1时g(x)=0:当0<x<1 c的服大为9-65 D.a+2)c+6+2+14的最小值为285-14 时，g(x)<0,设h(x)=x2+2a+b,由fx)=gxx)≥0恒成立， a+1 b+1 c+1 5 可知h(x)必须满足：g(x)与h(x)同号(x≠1)，且x=1必是h(x)的零点（否则符号矛盾）， 【答案】BCD【详解】己知正实数a,b,c满足a+b=3,逐个分析选项： 故h(x)=(x-)(x-m),其中m=-2a-1,b=m, 意频4o-29-2,基*不欧生-号 此时f(x)=g(x)(x-1)(x一m),易知g(x)(x-1)≥0对所有x>0恒成立（同号相乘为正）， 因此要使(x)≥0恒成立，只需x一m≥0对所有x>0恒成立， 有48≥9-2经-号最小值为号9，A错误 即m≤0（因为x>0,最小值趋近于0，故m最大为0）， 由re-(a2-水+4a+-合h2ja+a+ 选项B:将b=3-a代入得：ab+2a+b=a(3-a)+2a+(3-a)=-a2+4a+3=-(a-2)2+7≤7， ab 因为m=-20-1一a=-1+m,且6=m,所以4a+b=4×1中m+m=-m-22-2, 2 2 当a=2时，等号成立，故B正确：选项C变形化简a+2b2【,由乘“1”法得： a b 即/)-传h2]水4+a+列21+2n2.所了Q)的惠值为2h2+L国 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 3 15.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC,AB=BC=M=2, B 所以‘329-65，等号立号-兽即0=30-同，6-3水5-号立，微 3 (1)求证：AB⊥平面ABC:(2)求直线BCG与平面ABC所成角的正弦值 解：(1)在直三棱柱ABC-AB,C中，BB⊥平面ABC, 大值为9-6N2,C正确. 意先商两疾半，-中司 因为BCC平面ABC,所以BB1⊥BC, a+1b+1 又因为AB⊥BC,且AB交B服，于B,MB,BBC平面AB,A. e+-6+=5,0-e*6+}5e+2号 1、 所以BC1平面4BBA,一6分) 因为48C平面ABBA,所以BC1AB,又因为4B=AA=2. (5分) 所以侧面ABB,A为正方形，所以AB:LA:B, c+l 5 因为AB交BC于B,且AB,BCC平面4BC,所以8,1平面ABC (6分) 两个等号均可同时取到(a=6-弓6=5-1，故最小值为285-4，D正确 (2)解法一（等体积法）：设点C到平面ABC的距离为h. 5 三、填空题：本题共3小愿，每小题5分，共15分. 图为4号h54e宁hx写2x25.2 2 3, (8分) 第3页/共8页 第4页共8页 片m=写×44×as=号×2x×2x2=手由形-c=-得2-号，甲h=互0仙分 -3 3 极D小%，小人于提由达定理写得：%+以以3D与，一D分到 h2_1 所以直线BC与平面4BC所成角正弦值为BC2万2 因为n+a=0,即+六=0，则(5-)+为(6-)=0 (13分) 1-1x3-1 解法二：如图，以B为原点，B4BC,BB,所在直线分别为，片二轴建立空间直角坐标系， (%+5-小+y(%+5-1）=0.2my+(5-1)y+)=0. 则B(0,0.0),42,00).C(0,20）,4(2,02).G(0,22).B(0,02) (8分)】 -6p-6W5p(N5-1) =0 由(1)知，4B11平面4BC, 将()代入，得3p+43p2+4 (11分) 所以平面4BC的一个法向量为示=A瓜=(-2,0,2)，取方=(-1,0，)， 整理得-6p-65p(5-t)=-6p4-5)上0 直线B8CG的方向向量为B℃=(Q,22) (10分) 43 由P的任意性，可得3 (13分) 设直线BC与平面ABC所成的角为日， 厅.BC上1x0+0×2+1×221 若直线/斜事为0，取1=45，此时k。=x=0,也满足题意。 sin0=cos(元，BC= 3 V2×8 42 单 HBC (12分) 所以直线8C与平面48C所成角正弦值为立 故所求3 (15分) (13分) 16.设S.为数列(a)的前n项和，己知4S=3a.+4 18.已知函数f(x)=e2-x-a2 (1)求{an)的通项公式：(2)设b(-+nam求数列(b的前n项和T。 (1)当a=1时，求函数∫(x)的极值： 解(1)因为4S,-3a+4.①所以当22时，4S1-=30+4.② (2分) (2)若函数∫(x)存在最小值，且该最小值大于0，求实数a的取值范围， 0 则当尼2时回-②特4a=3a-3am出·即a一3a+ (5分) 解：)当a=1时，()=c-x-,则()=e-1 (2分) 当=1时，由4S=3a+4.得4a1-3a+4一求出am所以a1-40。 所以数列(，)是以4为首项，3为公比的等比数列.所以2-4x3)回 当x<0时，∫(x)<0,函数∫(x)在(-∞，0)上单调递减 (6分) 2咽为b(-lyna1产'nx4x3-m3_求b (8分) 当x>0时，(>0，函数（在0，+回）上单调递增。 (4分) 所以T-4×3+8×3+12×3+…+4n3m,所以 函数儿闪在x=0处取得极小值，极小值(0)=0 (6分) 3T-4×3+8×32412×33+.4n3” (11分) (2)可知f(x)=c2-a, 两式相碱得-27,4+46434+3*4r34+4x30-4n-3 =2+2-4n3 (14分) 当a≤0时，∫(x)>0在R上恒成立，即f(x)在R上单调递增，此时不存在最小值， 所以T-1+2小1)3 (15分) 当a>0时，令()=0，即c-a=0,解得x=ha, (8分) 17在平面直角坐标系x0中，点1，》 在椭圆C:mx2+my2=1(m>0,n>0)上. 则当x<na时，f(x)<0,函数f(x)在(-o,血a)上单调递减. 当x>ha时，了(x)>0,函数f八x)在(na,+o)上单调通增， (1)求椭墨C的标准方程：(2)设直线1过点(N5,0小，且与椭图C交于D,E两点，若点T(化，0)使得 在x=血a处取得极小值，也是最小值， (11分) kn+kn=0恒成立，求1的值。 最小值f(lha)=e-ana-d2=a-aina-a2。 令函数g(a)=a-aina-a2(a>0),则g'(a)=-lna-2a, 4 可知函数g(a)在(0，+o∞)上单调通减，可知a→0时，g'(a)→+o,且g()=-2<0. 3 解：(1)由题意有( 3m+4= ,解得【3 4分)故椭圆C的标准方程为4了=，5 所以存在0<1<1，使8(9)=0 (13分) (2)若直线'斜率不为0.设直线/的方程为x=四+V5】 当0<a<t时，g'(a)>0,g(a)在(0，r）上单调递增，当a>1时，g'(a)<0,g(a)在(，+o)上单词 _(6分) 将直线/与种圆C:号+上=1方程联立，餐3p2+4少+65m-3=0,显然△>0， 递减，因为a→0时，g(a)→0，g()=0, 43 所以在0<a<1时，8(a)>0.所以实数a的取值范图为(Q,) (17分) 19.在平面直角坐标系上的一只蚂蚊从原点出发，每次随机地向上下左右四个方向移动1个单位长度，记蚂 第5页供8页 第6页共8页 蚊所到达的点为P(名，y),且对任意的P(:,y),均有-≤x≤1，-≤y≤1.现规定只要蚂蚊到达的点 P(x,y)满足+川=2，则称蚂蚊成功了一次，设妈蚁第k次成功时所移动的总步数为5，kN” )-营e+2yc-周-)a+ (1)求5=4的概率：(2)求随机变量5的数学期望E(5):(3)求随机变量5，的数学期望E(5): 参考公式：⊙若c>1,则当n→+切时，m+→0：②对离散型随机变量X,Y,有： )c-c僩 c" (13分) E(X+Y)=E()+E(Y). 解：(1)当点P(x,y)满足+川=时，记其为P,f=0,1,2 -e钏时女-门 蚂蚊奇数次移动后色然到达点月，之后有写的概率到达点乃，有号的概率到达点月， -门 服在8发时.下-步袋然气.黄P传=小-时号-号 F是 (15分) (4分) 1 2 -虹- (2)解法一：由题知，可取2,4,6,8，，2，.且 (后=2)-×5 6分 6-2号 所秋E()=2n)x7=3n又血E(6)-3也符合上式知，对于一切meN,有8(g)=3.0分 解法二：设初始位置为乃时第n次到达乃时移动的总次数为X。, 设初始位置为P时第力次到达P时移动的总次数为， 由题，初始位置为P时第n次到达乃时移动的总次数为5。，则当n≥2时， [E(5)=E(X,)+】 3 E(x)-+E化.》++E(》 有E(化)=1+B(x.) (11分) 44x134nx1 即E(x)=3+BE(化》++E(5.》-+1+E(X》+与0+E(5》 39 1-133 即得3E(X)=5+2E(X)+E(5),又由E(5)=E(X)+1有 (8分) 于是，得 =3-(a+)-+3引 3E(5.)-1)=5+2(E(5.)-1)+E(5) (15分) (9分) 即E(5)=E(5+3,又由E(5)=3得E(5)=3n (17分) 解法二：蚂蚁在两次移动后，有；的概率经过尸到达点乃，有子的概率经过尸到达点月， 解法三：由题，有E(5.)=E(5)+1+)+（2+E(5》: 6)=2x子+2+E5x→E(5)-=3. 结合E(5)=3知，E(5.)=E(5)+3,于是E(5)=3+(n-x3=3n (17分) 于是 (9分) (3)解法一：则当n≥2时，妈蚁第力次到达卫所经历的步数可能为 解法四：将每两次移动棍为一次操作，易知1次操作中，必然有1次到达尸，有1次到达几或者B, 2m,2n+2,2n+4,,2m+2k, (11分) 即每次操作有三的概率发生“到达乃”，有气的概率不发生“到达月”。于是为使事件“到达乃"发生m次， 当蚂蚁通过2n+2k步第”次到达乃时，前面的2n+2k-2步中，在奇数步中，必然到达P, 3n 酸少中，有-1淡达片，对应的摄率为c(得)广（得们，最后2步港以号的瓶率国到月。 平均需要进行2次操作，于是需要移动3次，即E(5,)=3加 (17分) =2+2--)周号-c 第7页供8页 第8页/共8页