北京市西城区科艺培训学校2025--2026学年下学期华东师大版八年级数学期末模拟试卷

**基本信息** 2026年春期八年级数学期末卷，涵盖分式、函数、几何等知识，以气凝胶科技、《孙子算经》文化为情境，通过函数图像探究、正方形动态证明等题培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式意义、科学记数法、特殊平行四边形关系|以关系图辨析考查几何直观，如第4题平行四边形转换条件判断| |填空题|5/15|坐标表示、分式方程无解、矩形性质|折叠问题（第15题）体现空间观念，考查动手操作能力| |解答题|8/75|《孙子算经》应用题、函数图像绘制、正方形综合证明|20题结合传统文化考查模型意识，23题通过多图变式发展推理能力，梯度从基础计算到创新探究|

2026年春期八年级数学第二次阶段性练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.若分式 有意义，则x的取值范围为（ ） A.x≠-1 B. x ≠ 1 C.x≠±1 D. x 取任意实数 2.下列分式变形一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3.航天员的宇航服加入了可以抵御太空的高温的气凝胶.气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于，0.00000002用科学记数法表示为 A. B. C. D. 4.在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（  ） A．①对角线相等 B．③对角线互相垂直 C．②有一组邻边相等 D．④对角线互相平分 5.平行四边形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，与轴相交于点，且为的中点，若平行四边形的面积为8，则的值为（ ） 第5题图 第6题图 A. B.2 C. D.4 6.在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B.关于的不等式的解集是 C.关于的方程的解是 D.关于，的方程组的解为 7.如图，正方形的两条对角线，相交于点，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量与单价的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（       ） A．甲 B．乙 C.丙 D．丁 9．已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 10.如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；成立的个数有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.如果电影票上的“2排5号”记作（2，5），那么4排3号记作_____. 12.已知，求______． 13.矩形对角线与相交于，若，则 ． 14.关于的分式方程无解，则的值为_____. 15.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为______． 三、解答题（共8题，75分） 16.（8分）（1）计算： （2）解方程： 17.（8分）先化简再求值：，然后从0，1，2中选择一个合适的数代入求值. 18.（9分）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）求，的值； （2）当分式的值为正整数时，求整数的值． 19.（9分）如图，在中，点，在对角线上，，. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，四边形的面积为2，则的面积为_____. 820.（9分）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶.《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣.某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本. （1）求两种图书的单价分别为多少元？ （2）为筹备数学节活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半.由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售.求两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用为多少元？ 21.（10分））探究的图象及性质： （1）绘制函数图象；①列表：请将下表补充完整，其中________； … 0 1 2 3 … … 2 3 4 6 4 2 … ②描点：根据表中的数值描点，图中描出了一部分点，请补充描出其他点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图象； （2）探究函数性质： ①当____时，函数有最大值为____； ②时，随的增大而______； ③函数的图象关_于_______对称； （3）运用函数图象及性质：根据函数图象，写出不等式的解集是________． 22（10分）如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，设运动时间为秒，的面积为. （1）求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （3）当时，直接写出的取值范围. 23.（12分）探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． （1）观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证 ≌．判断三角形全等的依据是_________________． （2）数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． （3）结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为________． （4）结论拓展2：如图③，连接,若正方形的边长为4，直接写出的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $春期八年级数学第二次阶段性练习 参考答案 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 4 个 9 10 答案 A D A D C A C C 二、填空题 20 (4,3) 11 12.913.214415.(6,10) 三、解答一 小+(2025-m9-634-2 31 16.(1) 9 =-1+1- +4 4 7 4 …4分 124 (2)解：x-1x+1x2-1. ∴.x+1-2(x-1)=4 解得：x=-1, 经检验，x=-1时x2-1=1-1=0. ∴原方程无解 …4分 1、a1 （a 1 17.解： a+2a2+2a =1-a-1.a2-1 a a2+2a -1-a-1.a(a+2) a(a+1)(a-1) =1-a+2=a+1a+2 a+1a+1a+1 1 a+1 …5分 要使原分式有意义，则a≠0，a≠1，a≠-1，a≠-2， …7分 当a=2时， 11 原式2+13 …8分 x-b 18.(1)当x=-2时，分式x+a无意义，得-2+a=0,解得a=2 当x=1时，此分式的值为0，得1-b=0,解得b=1 …5分 2a4 (2)x+bx+1的值为正整数时x+1可为1,2,4 x=0 解得，1,3 …9分 19.(1)证明：如图所示，连接AC交BD于O,四边形ABCD是平行四边形， D .AB=CD.OA=OC OB=OD, .BE=AB.DF=CD. .BE=DF, ..OB-BE =OD-DF,OE=OF, ∴.四边形AECF是平行四边形： (2)解：AB=2, ∴.BE=AB=CD=DF=2, BD=5, .EF =BD-BE-DF=1. ∴.SAABE=2 SAAEF,S△ADr=2S△MEr, 'SAABD =SAABE +SAAEF+SAADF =5SAAEF, 同理可得SacD=5S△cEF, .S四边形HBCD=S△ABD+S△cBD=5S△MBF+5S△CEr=5S四边形ABCF=10 3x 20.(1)解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是4元， 600600 3 +5 x 依题意得，4 解得x=40 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意， 3×40=30 答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元： (2)解：设购买的《周脾算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为(80-m）本， m≥(80-m) 依题意得， 解 m≥262 设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为'（元）， 依题意得，y=40×0.8m+30×0.8(80-m)=8m+1920 k=8>0, ·y随m的增大而增大， ∴当m=27时，有最小值，此时y=8×27+1920=2136(元)， 80-27=53(本) 答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元. 21.解：（1)3；描点（略）；连线（略）…3分（各1分) (2)①0,6：②大：③y …7分 (3)-1<x<1 …10分 22.(1)解：M为BC中点，BC=4, -CM-BC-2 当点P在BM上时，则0≤t≤2， 由题意得，MP=t, .CP=CM+MP=2+t, ∠ABC=90°， 3 3 S=SAc=2CPAB=)（2+t)= t+3 当点P在AB上时，则2<t≤5， .AP=3+2-t=5-t, ∠ABC=90°， 5=5ae4P8c=6-)-10-2” S= [3+30≤1≤2) 综上所述， 10-2t(2<t≤5) (2)解；如图所示函数图象即为所求； S 9 8 7 6 5 4 0 123456789107 3 S=-t+3=4 t= (3)解：当21 时， 3 当s=10-2t=4时，t=3, 26153 ∴由函数图象可知当4≤S≤6时， 23.(1)解：(1)AE=EF, …2分 ASA …4分 (2)成立： 在AB上取一点G,使得GB=BE,连接GE, 易证△MAEG≌△EFG(ASA)(过程略)， .AE=EF 7分 (3)EM=BE+DM …10分 (4)延长BC至T, 由题知T与D关于直线CF对称， .DF=TF :DF+AF=TF+AF≥AT AT=V80=4V5 :.DF+AF的最小值为4V5 …12分