第39天 函数模型、函数与方程 每日专项练习-2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦函数模型与方程综合应用，通过高考真题与模拟题构建概念-性质-应用逻辑链，强化数学思维与建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数模型应用|2（北京卷真题/纳皮尔对数）|实际情境建模|从对数函数模型到实际问题抽象，体现数学语言表达现实世界| |函数零点判定|2（零点区间/唯一零点求参）|存在性与个数分析|结合函数单调性，通过数学思维推导零点特征| |函数性质与方程综合|10（分段函数/复合函数等）|参数范围与多解问题|以函数性质（单调性、奇偶性）为桥梁，构建方程解与函数图像的关联|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第39天 函数模型、函数与方程 1.答案　B 解析　由题意可知klog21.024×109-klog2106=klog2=10k=20,解得k=2, 所以2log24.096×109-2log21.024×109=2log24=4, 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4小时.] 2.答案　B 解析　易知f(x)单调递减,又f(0)=1>0, f(0.3)=0.30.3-=0.30.3-0.30.5>0, f(0.5)=0.30.5-=-<0, 所以f(x)的零点所在区间是(0.3,0.5),故选B.] 3.答案　C 解析　由于f(x)有唯一的零点,所以f(x+1)也有唯一的零点, 由于y=x2-1,y=a(ex+e-x)均为偶函数, 所以g(x)=f(x+1)为偶函数, 因此g(0)=f(1)=-1+2a=0,故a=, 故选C. 4.答案　C 解析　由g(x)=0,得f(x)=-2x+m,因此g(x)有一个零点, 当且仅当函数y=f(x)的图象与直线y=-2x+m有且仅有一个公共点, 函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,函数值集合为(0,1),在(0,+∞)上单调递增,函数值集合为R, 在同一坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y=-2x+m的图象, 观察图象知,当m<1时,函数y=f(x)的图象与直线y=-2x+m有两个交点, 当m≥1时,函数y=f(x)的图象与直线y=-2x+m有1个交点, 所以m的取值范围是[1,+∞).故选C. 5.答案　A 解析　因为f(g(x))=x,且g(x2)-x2=-3, 所以g(x2)-x2=g(x2)-f(g(x2))=-3, 即f(g(x2))-g(x2)=3. 因为f(x)是定义域为R的单调递减函数, 所以函数f(x)-x单调递减, 又因f(x1)-x1=3, 故x1=g(x2),g(x2)-x2=x1-x2=-3, 即x2-x1=3.故选A. 6.答案　D 解析　如图所示: 令x=+kπ(k∈Z),解得x=2k+1(k∈Z),故当x∈[0,2]时,对称轴为直线x=1,则x2+x3=2, 因为f(x1)=f(x2)=f(x3),所以x1f(x1)+x2f(x2)+x3f(x3)=f(x1)(x1+2), 又因为f(x1)=-x1+1, 所以x1f(x1)+x2f(x2)+x3f(x3) =f(x1)(x1+2)=(-x1+1)(x1+2) =--x1+2=-+, 由f(x1)=-x1+1∈(1,2]可得x1∈[-1,0),则-≤x1+<, 则0≤≤, 所以x1f(x1)+x2f(x2)+x3f(x3) =-+∈.故选D. 7.答案　C 解析　由题意可知:f(x)为单调函数, 当x>2时,f(x)单调递减; 故当x≤2时,f(x)也是单调递减, 故0<a<1; 要确保f(x)在R上单调递减, 则-(2-2)2+4a=4a≤f(2)=2, 解得,a≤, 所以满足f(x)在R上单调递减时, 实数a的取值范围为0<a≤. 当x≤2时,f(x)=ax-2+1, 又f(x)在(-∞,2]上单调递减,0<a≤, 所以f(x)=ax-2+1≥f(2)=2, 即f(x)在(-∞,2]上的值域为[2,+∞). 令f2(x)-4|f(x)|+3=0, 则|f(x)|=1或3, 即f(x)=±1或±3, 要使得f2(x)-4|f(x)|+3=0有4个不同的实数解,则-(2-2)2+4a=4a>1, 解得:a>.综上,a∈. 故选C. 8.答案　B 解析　∵x∈[-1,0]时,f(x)=x, ∴当x∈(0,1)时, x-1∈(-1,0),f(x-1)=x-1, 由f(x-1)=得, x-1=, 故f(x)=+1, ∴f(x)= 当x∈(0,1)时,f(x)=+1为减函数,且当x→1时,f(x)→-∞, 作出f(x)在[-1,1)上的函数图象,如图所示, 由g(x)=f(x)-mx+m=0得, f(x)=m(x-1). 由函数g(x)有两个零点可知函数f(x)的图象与直线y=m(x-1)有两个交点, 其中直线斜率为m,直线过定点M(1,0). 当直线y=m(x-1)过点A(-1,-1)时,函数f(x)的图象与直线y=m(x-1)有两个交点,此时m==, 当直线y=m(x-1)过点O(0,0)时,函数f(x)的图象与直线y=m(x-1)有一个交点,m=0, 结合图象得,当0<m≤时,函数f(x)的图象与直线y=m(x-1)有两个交点, 所以实数m的取值范围是.故选B. 9.答案　AD 解析　由于x∈(0,+∞), 当x≤1 00010 000时,x0.000 1≤1 000,x1.000 1≤1 000x<1 000x+100,则f(x)-g(x)>0, 当x>100时,1 001x>1 000x+100, 故当x>1 00110 000时,x0.000 1>1 001,x1.000 1>1 001x>1 000x+100,则f(x)-g(x)<0, 故必有x0∈(1 00010 000,1 00110 000), 使x01.000 1=1 000x0+100, 因此A正确,B错误. 对于任意正数N>1, 当x>(1 001N)10 000>100时, x1.000 1>·x =N·1 001x>N(1 000x+100), 取a=(1 001N)10 000,当x∈(a,+∞)时,对于任意大于1的正实数N,g(x)≥Nf(x) 因此D正确,而当N=2时a=(2 002)10 000,故C错误.故选AD. 10.答案　ABD 解析　D(x)的定义域为R,当x为有理数时,-x是有理数,则D(-x)=D(x)=1, 当x为无理数时,-x是无理数,则D(-x)=D(x)=0,即D(x)为偶函数, 故f(-x)=sin(-πx)·D(-x) =-sin πx·D(x)=-f(x), f(x)是奇函数,故A正确; 对于任意的整数2k,k∈Z,当x为有理数时,x+2k也是有理数, 则D(x+2k)=D(x)=1, 当x为无理数时,x+2k也是无理数, 则D(x+2k)=D(x)=0, f(x+2k)=D(x+2k)·sin[π(x+2k)]=D(x)·sin πx=f(x),即函数f(x)是周期函数,故B正确; 函数D(x)的值域为{0,1},当x为无理数时,f(x)=0, 当x为有理数时,f(x)=sin πx,πx不能取到一个周期内所有实数,所以f(x)=sin πx取不到[-1,1]中的全部值,故C错误; f(x)=D(x)·sin πx=0,当x为有理数时,f(x)=sin πx,得出在区间[-1,1]上有-1,0,1,3个有理数零点,故D正确;故选ABD. 11.答案　ACD 解析　依题意,f(x)-g(x)=,当x<0时,f(x)<g(x);当x>0时,f(x)>g(x), 则m(x)= M(x)= 对于A,m(1)+M(-1)=0+0=0,A正确; 对于B,m(x)-2x= 由m(x)-2x=0,解得x=-1,只有一个零点,B错误; 对于C,m(x)M(x)=x2-, 令h(x)=x2-, h(-x)=(-x)2-=h(x), 函数h(x)是偶函数,C正确; 对于D,由(m(x)-)(M(x)-)=0,得m(x)=或M(x)=, 而≥0,则m(x)=⇔x-=(x>0),即x2-x-1=0,该方程有且仅有一个正根x1, M(x)=⇔x-=(x<0)或x+=(x>0), x-=(x<0)⇔x2-x-1=0(x<0),该方程有且仅有一个负根x2,且 x1x2=-1, x+=(x>0)⇔x2-x+1=0(x>0),该方程要么无解,要么一解x0=1,要么两个正根x3,x4,且x3x4=1, 所以关于x的方程(m(x)-)·(M(x)-)=0的所有解的乘积为-1,D正确.故选ACD. 12.答案　 解析　令y=,则=107, 整理得x=107ln 2,即CQ1=107ln 2, 令y=,则=107, 整理得x=107ln 4,即CQ2=107ln 4, 所以==. 13.答案　 解析　设f(x)=t, 则f(t)=x, 那么(x,t),(t,x)都在函数y=f(x)的图象上, 假设x>t,因为函数y=f(x)单调递增, 所以f(x)>f(t),即t>x,与假设矛盾; 假设t>x,因为函数y=f(x)单调递增, 所以f(t)>f(x),即x>t,与假设矛盾; 所以t=x,则f(x)=x在[2,4]上有解, 即1-a=在[2,4]上有解. 令g(x)=,令g'(x)==0, 解得x=e, 因此g(x)在[2,e]上单调递增,在(e,4]上单调递减, g(e)=,g(2)=, g(4)==, 所以≤1-a≤, 即1-≤a≤1-. 14.答案　 解析　令f(t)=t++a=0得,t2+at+b-2=0, 由题意可知,方程t2+at+b-2=0有实数根, 将关于t的方程看成关于a,b的直线方程 ta+b+t2-2=0, 则a2+b2可视为直线上的点(a,b)到原点的距离的平方, 其最小值即为原点到直线的距离的平方, 所以距离的平方 d2== = =t2+1+-6, 令m=t2+1,则d2=m+-6, 因为t=x+, 所以|t|=|x|+≥2=2, 当且仅当|x|=,即x=±1时取等号, 则m≥5,由对勾函数的单调性可知,函数y=m+-6在[5,+∞)上单调递增, 所以(d2)min=5+-6=, 所以a2+b2的最小值为. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第39天 函数模型、函数与方程 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.(2025·北京卷)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)(　　) A.2 B.4 C.20 D.40 2.(2025·天津卷)函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是(　　) A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) 3.(2025·岳阳二检)若函数f(x)有唯一零点,且f(x+1)=x2-1+a(ex+e-x),则a=(　　) A.- B. C. D.1 4.(2025·西安长安区模拟)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+2x-m,若g(x)有一个零点,则m的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(1,+∞) 5.(2025·湖北七市联调)已知f(x)是定义域为R的单调递减函数,且存在函数g(x)使得f(g(x))=x.若x1,x2分别是方程f(x)-x=3和g(x)-x=-3的根,则x2-x1=(　　) A.3 B.-3 C.6 D.-6 6.(2025·淄博模拟)已知函数f(x)=若存在实数x1,x2,x3且x1<x2<x3,使得f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1f(x1)+x2f(x2)+x3f(x3)的取值范围为(　　) A. B.(-∞,2] C. D. 7.(2025·东三省教学联盟联考)已知函数f(x)=(a>0且a≠1)在R上为单调函数.若方程f2(x)-4|f(x)|+3=0有4个不同的实数解,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8.(2025·云南模拟)设函数f(x)满足f(x-1)=,且当x∈[-1,0]时,f(x)=x,若在区间[-1,1)上,g(x)=f(x)-mx+m有两个零点,则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、多选题(每小题6分,共18分) 9.(2025·兰州模拟)已知函数f(x)=1 000x+100和g(x)=x1.000 1,以下判断正确的是(　　) A.函数y=f(x)-g(x)在区间(1 00010 000,1 00110 000)内有唯一的零点 B.x∈(1 00010 000,+∞)时,f(x)>g(x) C.x∈(2 00010 000,+∞)时,g(x)≥2f(x) D.存在正实数a,当x∈(a,+∞)时,对于任意大于1的正实数N,g(x)≥Nf(x) 10.(2025·青岛一模)已知狄利克雷函数D(x)=设函数f(x)=D(x)·sin πx,则(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)是周期函数 C.f(x)的值域是[-1,1] D.f(x)在区间[-1,1]上的有理数零点恰有3个 11.(2025·厦门二模)分别用m(x),M(x)表示f(x),g(x)中的最小者和最大者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},M(x)=max{f(x),g(x)}.若f(x)=x+,g(x)=x-,则(　　) A.m(1)+M(-1)=0 B.函数y=m(x)-2x有2个零点 C.函数y=m(x)M(x)的图象关于y轴对称 D.关于x的方程(m(x)-)(M(x)-)=0的所有解的乘积为-1 三、填空题(每小题5分,共15分) 12.(2025·泉州三监)如图,假定两点P,Q以相同的初速度运动.点Q沿射线CD做匀速运动,CQ=x;点P沿线段AB(长度为107单位)运动,它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB=y).令P与Q同时分别从A,C出发,则数学家纳皮尔定义x为y的对数中,x与y的对应关系就是y=107,其中e为自然对数的底数.若点P从线段AB的中点运动到靠近B的四等分点,点Q同时从Q1运动到Q2,则=　　　　.  13.(2025·嘉兴测试)设函数f(x)=ln x+ax(a>0),若方程f(f(x))=x在区间[2,4]上有解,则实数a的取值范围为　　　　.  14.(2025·浙江七彩阳光联盟联考)已知t=x+(x∈R,x≠0),若函数f(t)=t++a(a,b∈R)有零点,则a2+b2的最小值是　　　　.  第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $