精品解析：贵州遵义市第十一中学2023-2024学年度第二学期阶段质量监测八年级数学试题卷

十一中2023—2024学年度第二学期第一次质量监测 八年级数学试题卷 （全卷总分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（以下每题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分）． 1. 已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（　　） A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1、、2 B. 1、1、 C. 2、5、6 D. 9、12、15 3. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为(　　) A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知时，二次根式有意义，则（ ）内的代数式可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图（1），边长为 的正方形剪去边长为2的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分的而积不变，你能验证的结论是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线 交于点H，若．则 （　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 10. 如图，在数轴上点A表示的数是3，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使 ，以原点O为圆心，为半径作弧与数轴的正半轴交于点C，则点C表示的数是（ ） A. B. C. D. 11. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，且，则 的长度为（ ） A. B. C. 4 D. 12. 如图，点P是平行四边形 内的任意一点，连接、 、 、，得到、 、、，设它们的面积分别是、、、，以下结论：①；②若，则；③若，则；④如果P点在对角线 上，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 因式分解：______． 14. 计算：______． 15. 如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L的范围是______． 16. 如图，在 中， ， 平分交与点D，过点A作 于点E，若， ，则 ______． 三、解答题（本大题共9题，共计98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 按要求解答问题： （1）计算：． （2）请从式子①，②，③中任选两个，分别构造两个分式 与 ，并进行化简． 18. 已知当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． （1）______的解答是错误的； （2）若，求的值． 19. 在2024年校园艺术节来临之际，为了更好地了解全校3500名学生最喜爱的艺术节目类型，学校节目策划组设计了如下的调查问卷，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图和统计表（均不完整）． 节目类型 歌曲 舞蹈 乐器 课本剧 人数 28 20 32 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）统计表中 ______，扇形统计图中课本剧所对应的扇形圆心角的度数为______； （2）请估计该校3500名学生中对舞蹈类节目最喜爱的学生有多少人； （3）假如你是该策划组的成员，结合以上调查数据写出一条合理化建议． 20. 2024年2月16日，国家邮政局快递大数据平台实时监测数据显示，2024年中国快递业务量首次超过1200亿件，再创历史新高．一物流仓库用甲、乙两种型号的智能机器人搬运货物，已知甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运150件货物，且甲型机器人搬运8000件货物的时间与乙型机器人搬运5000件货物的时间相等，问两种型号的机器人每小时各搬运多少件货物． 21. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题： （1）直接写出AB的长为______； （2）在网格中找到一格点C，使得， ，判断 的形状，并求点A到BC的距离． 22. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球 ，小球 可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点 作于点 ，当小球摆到 位置时，与 恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点 ． （1）试说明； （2）若测得，求的长． 23. 【概念理解】如图，在平面直角坐标系中，任意两点，的位置关系有以下三种情形：①如果 轴，则，；②如果 轴，则，；③如果AB与x轴、y轴均不平行，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两平行线相交于点C，则点C的坐标为，则，，由勾股定理得：． 【概念应用】 （1）在平面直角坐标系中，已知 的顶点坐标、、．则： ______，______， ______； 【迁移应用】 （2）若点M的坐标为，点N的坐标为，点P是x轴上的动点，求 的最小值． 24. 在一次数学课上，老师开展折纸探究活动：如图，已知长方形纸片 ，将边沿 折叠，边 沿折叠，使点A，点C分别落在对角线上的点G处和点H处．下面是两位同学的对话： （1）请选择一位同学的说法，并证明； （2）若 ， ，求四边形 的周长． 25. 据《周髀算经》记载：我国古代三国时期数学家赵爽用弦图证明了勾股定理．如图①，四个全等的直角三角形（两直角边分别为a，b，斜边为c）创制一副赵爽弦图． （1）【问题解决】 根据图①赵爽弦图证明勾股定理（写出必要的推理过程）； （2）【类比探究】 如图②，过正方形的中心，作 ，将它分成四份，现将所分成的四份和小正方形 恰好能拼成大正方形 ，若 ，，则的长为______； （3）【拓展延伸】 如图③，在（2）条件下，连接 ，求六边形 的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十一中2023—2024学年度第二学期第一次质量监测 八年级数学试题卷 （全卷总分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（以下每题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分）． 1. 已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（　　） A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4 【答案】A 【解析】 【分析】将x取值代入二次根式求值即可． 【详解】解：当x＝1时，原式＝， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的计算，注意算术平方根开出来是正数，这一点是本题关键． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1、、2 B. 1、1、 C. 2、5、6 D. 9、12、15 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数需满足：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A中的，不是正整数，该选项不符合勾股数的要求，排除； 选项B中的，不是正整数，该选项不符合勾股数的要求，排除； 选项C中， ，，，该选项不符合勾股数的要求，排除； 选项D中，9，12，15都是正整数，且，满足勾股数的定义，该选项符合勾股数的要求． 3. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式．先把各二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义分别进行判断． 【详解】解：A、，能与合并，本选项符合题意； B、，不能与合并，本选项不符合题意； C、，不能与合并，本选项不符合题意； D、，不能与合并，本选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为(　　) A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积之和． 【详解】解：字母A所代表的正方形的面积为：16＋9=25． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，解题思路为先将两个分式化为同分母分式，再合并化简得到结果，分式基本性质和同分母分式加减法则是解题的关键． 【详解】先变形第二个分式，统一分母： ， 原式， ， ， ． 6. 已知时，二次根式有意义，则（ ）内的代数式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，被开方数需非负，分母不能为0，因此本题要求括号内代数式代入后结果大于0，代入计算验证即可． 【详解】解：∵ 原式（ 为括号内代数式）有意义， ∴ ， 将代入各选项计算： A选项： ，不符合； B选项： ，不符合； C选项： ，分母为0无意义，不符合； D选项： ，满足条件． 7. 如图（1），边长为 的正方形剪去边长为2的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分的而积不变，你能验证的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示图（1）和图（2）的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论． 【详解】解：图（1）中，①、②两部分的面积和为：， 图（2）中，①、②两部分拼成长为，宽为，故面积为：， 因此． 故选：D． 【点睛】考查平方差公式的几何背景，分别表示两个图形中阴影部分的面积是得出答案的关键． 8. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面x尺， 根据题意可得：x2+32=（10-x）2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 9. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线 交于点H，若．则 （　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定．根据尺规作图可得平分 ，再由平行四边形的性质，可得，从而得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分 ， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在数轴上点A表示的数是3，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使 ，以原点O为圆心， 为半径作弧与数轴的正半轴交于点C，则点C表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直的定义可知 ，再根据勾股定理可知，最后根据圆的基本性质可知解答即可． 【详解】解：∵过点 作直线 垂直于， ∴ ， ∵点 表示的数为 ， ， ∴在 中，， ∵是圆 的半径， ∴， ∵点 在数轴的正半轴， ∴点 表示的数是． 11. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图 所示的四边形．若，且，则 的长度为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，是直角三角形，可以求得的值，再根据勾股定理可以求得 的值． 【详解】解：解：∵，，是直角三角形， ∴， ∵ 是直角三角形，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理、含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 12. 如图，点P是平行四边形 内的任意一点，连接、 、 、 ，得到、 、、，设它们的面积分别是、、、，以下结论：①；②若，则；③若，则；④如果P点在对角线 上，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题关键是根据平行四边形面积公式和三角形面积公式表示出，即可证明，进而推断出②、③错误，当P点在对角线BD上时，可知点 到对角线距离相等，据此得出，． 【详解】解：如图，分别设边上的高为，到 的距离为， 到 的距离为，则由平行四边形性质知，由平行四边形面积计算公式知， 对①：， ， ， ，①正确； 对②：由①知，但是由不能推出，条件不足，②错误； 对③：由①知，但是由不能推出，条件不足，③错误； 对④：如果P点在对角线BD上时，点 到对角线距离相等，记为 ， ，同理， ，④正确． 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 14. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 15. 如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】当吸管与长方体上、下底面垂直时，位于盒体内的长度最短，为 ，则；如图，当吸管底端位于点A时，位于盒体内的长度最长，经过点A，D，E的截面如下图1，根据勾股定理分别求得，， 中，，则；综上，吸管垂直于底面时外露的部分最长，底端底端位于点A时，外露的部分最短，所以吸管长度范围为. 【详解】解：当吸管与长方体上、下底面垂直时，位于盒体内的长度最短，为 ，外露的吸管长度要在3cm至5cm间，则； 如图，当吸管底端位于点A时，位于盒体内的长度最长，经过点A，D，E的截面如下图1， 如图2为长方体上底面，，，， ∴，， ∴． 如图１， 中，， 外露的吸管长度要在3cm至5cm间，则； 综上，吸管垂直于底面时外露的部分最长，底端位于点A时，外露的部分最短，所以吸管长度范围为. 【点睛】本题考查长方体的截面图，勾股定理；具备一定的空间想象能力，熟练勾股定理的运用是解题的关键． 16. 如图，在 中， ， 平分交与点D，过点A作 于点E，若， ，则 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】在 上取点F，使，且 ，可得 ，再根据等腰三角形的性质和已知条件可得 ， ，进而求出 ，然后说明 ，即可得 ，接下来根据勾股定理求，并求出 ，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，在 上取点F，使，且 ， ∴ ． ∵ 平分， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在 中， 根据勾股定理得：， ∴． ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9题，共计98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 按要求解答问题： （1）计算：． （2）请从式子①，②，③中任选两个，分别构造两个分式 与 ，并进行化简． 【答案】（1） （2）选择①②构造，化简，选择①③构造，化简（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、零指数幂及二次根式的乘法，再计算加减即可； （2）分别选择两个式子，构造分式，在把分子、分母因式分解，约分化简即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：选择①，②，构造分式 ， ∴，化简得，， 选择①，③，构造分式 ， ∴，化简得，． 18. 已知当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． （1）______的解答是错误的； （2）若，求的值． 【答案】（1）乙 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的性质，化简求值即可得到答案； （2）利用二次根式的性质化简求值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ， ∴乙的解答在去绝对值时，没有判断的正负情况，是错误的． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 19. 在2024年校园艺术节来临之际，为了更好地了解全校3500名学生最喜爱的艺术节目类型，学校节目策划组设计了如下的调查问卷，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下统计图和统计表（均不完整）． 节目类型 歌曲 舞蹈 乐器 课本剧 人数 28 20 32 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）统计表中 ______，扇形统计图中课本剧所对应的扇形圆心角的度数为______； （2）请估计该校3500名学生中对舞蹈类节目最喜爱的学生有多少人； （3）假如你是该策划组的成员，结合以上调查数据写出一条合理化建议． 【答案】（1） ， （2） （3）从调查报告中可知，因为喜欢课本剧和歌曲类节目的学生相对较多，可以适当增加课本剧和歌曲类节目的数量和表演形式；同时，也不能忽视舞蹈和乐器类节目，可以通过创新表演方式来吸引更多学生的关注，使艺术节节目更加丰富多样，满足不同学生的兴趣需求 【解析】 【分析】（1）根据歌曲人数和歌曲在扇形统计图占比计算出参加问卷调查总人数，根据人数表格计算出 ，再根据扇形统计图占比计算圆心角度数即可． （2）用样本估计总体，先计算出参加问卷调查人数中舞蹈人数的占比，在进行估计总体． （3）根据表格和扇形统计图给出合理建议，答案不唯一． 【小问1详解】 解：根据喜爱歌曲类节目人数除以占比即可得出总人数为： ， ． 课本剧所对应的扇形圆心角的度数： ． 【小问2详解】 用样本估计总体，舞蹈人数占比 ： 3500名学生对舞蹈类节目最喜爱的人数； （人）． 【小问3详解】 略． 20. 2024年2月16日，国家邮政局快递大数据平台实时监测数据显示，2024年中国快递业务量首次超过1200亿件，再创历史新高．一物流仓库用甲、乙两种型号的智能机器人搬运货物，已知甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运150件货物，且甲型机器人搬运8000件货物的时间与乙型机器人搬运5000件货物的时间相等，问两种型号的机器人每小时各搬运多少件货物． 【答案】甲型机器人每小时搬运400件，乙型机器人每小时搬运250件 【解析】 【分析】假设未知数，根据完成件数以及时间列出方程求解． 【详解】解：设乙型机器人每小时搬运 件，则甲型机器人每小时搬运件，根据题意得， 解得， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的解，并符合题意， 此时，（件）， 所以，甲型机器人每小时搬运400件，乙型机器人每小时搬运250件． 21. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题： （1）直接写出AB的长为______； （2）在网格中找到一格点C，使得， ，判断 的形状，并求点A到BC的距离． 【答案】（1） （2）如图：点C即为所求的格点； 是直角三角形；点A到BC的距离为2． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理画出线段， ，并根据勾股定理的逆定理判断 的形状，再利用等面积法求点A到BC的距离即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：作图略； ∵， ，， ， 是直角三角形． 设点A到BC的距离为h， ∵， ∴，解得：， ∴点A到BC的距离为2． 22. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点 处用一根细绳悬挂一个小球 ，小球 可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到 位置，此时过点作于点，当小球摆到 位置时， 与 恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点 ． （1）试说明； （2）若测得，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握相关定理和性质，是解题的关键． （1）证明，即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， 又，， ， ， ． 在和 中， ，， ， ， ． 【小问2详解】 ， ，， ， 在中，（cm） ． 23. 【概念理解】如图，在平面直角坐标系中，任意两点，的位置关系有以下三种情形：①如果 轴，则，；②如果 轴，则，；③如果AB与x轴、y轴均不平行，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两平行线相交于点C，则点C的坐标为，则，，由勾股定理得：． 【概念应用】 （1）在平面直角坐标系中，已知 的顶点坐标、、．则： ______，______， ______； 【迁移应用】 （2）若点M的坐标为，点N的坐标为，点P是x轴上的动点，求 的最小值． 【答案】（1），， （2）5 【解析】 【分析】（1）根据题干中给定的方法进行求解即可； （2）作点 关于 轴的对称点 ，连接，进而得到 ，根据两点间的距离公式求出的长即可. 【小问1详解】 解：∵、、， ∴；；； 【小问2详解】 解：作点 关于 轴的对称点 ，连接， ∵点M的坐标为，点P是x轴上的动点， ∴， ， ∴ ， ∴当点在线段上时，求 的值最小，为的长， ∵，点N的坐标为， ∴ . 24. 在一次数学课上，老师开展折纸探究活动：如图，已知长方形纸片 ，将边 沿 折叠，边 沿折叠，使点A，点C分别落在对角线上的点G处和点H处．下面是两位同学的对话： （1）请选择一位同学的说法，并证明； （2）若 ， ，求四边形 的周长． 【答案】（1）证明：小兰说法： ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴， 根据折叠的性质得 ， ∴ ， ∴； 小杰说法： ∵四边形 是矩形， ∴ ，，， ∴， 根据折叠的性质得 ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得 ，即可得，再根据折叠的性质得 ，进而得出；再根据“角边角”证明 ，可得 ，则此题可证； （2）先根据矩形的性质得 ，再根据勾股定理求出 ，然后说明四边形 是平行四边形，接下来根据折叠的性质得 ，即可得 ，并设 ，则 ，根据勾股定理求出，可得 ，，最后根据勾股定理求出另一边，则此题可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 是矩形， ∴ ， 根据勾股定理，得． ∵ ， ∴四边形 是平行四边形． 根据折叠的性质得 ， ∴ ． 设 ，则 ， 在中，， 即， 解得， ∴ ，， 在中，， 即， ∴四边形 的周长为． 25. 据《周髀算经》记载：我国古代三国时期数学家赵爽用弦图证明了勾股定理．如图①，四个全等的直角三角形（两直角边分别为a，b，斜边为c）创制一副赵爽弦图． （1）【问题解决】 根据图①赵爽弦图证明勾股定理（写出必要的推理过程）； （2）【类比探究】 如图②，过正方形的中心，作 ，将它分成四份，现将所分成的四份和小正方形 恰好能拼成大正方形 ，若 ，，则的长为______； （3）【拓展延伸】 如图③，在（2）条件下，连接 ，求六边形 的周长． 【答案】（1）证明：由图可知，小正方形的边长为， 大正方形的面积为； （2）7或1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，结合完全平方公式即可得证； （2）根据题意，易得 将四边形分成全等的四部分，小正方形 的边长等于正方形的一边上两条线段的差值，，根据 ，，得到或，进行求解即可； （3）作于点，作 ，交 的延长线于点，作 ，交 的延长线于点 ，勾股定理求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出 的长，进而求出的长，利用正方形的性质证明，，勾股定理求出 的长，再利用周长公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵过正方形的中心，作 ，将它分成四份，将所分成的四份和小正方形 恰好能拼成大正方形 ， ∴ 将四边形分成全等的四部分，小正方形 的边长等于正方形的一边上两条线段的差值， ∵ ，， ∴或， ∴或； 综上： 或； 【小问3详解】 解：作于点，作 ，交 的延长线于点，作 ，交 的延长线于点 ， 在中， ，， ∴， ∵， ∴ ，即 ， ∴， ∴， ∴， ∵正方形 ，正方形 ， ∴， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴，， ∴， 在 中，由勾股定理，得； 同理可得：， ∴，， ∴， 在 中，由勾股定理，得； ∵正方形， ∴ ， 在 中，由勾股定理，得 ， ∴六边形 的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $