第11章 一元一次不等式期末加紧复习（2个知识点+8种题型） 讲义2025-2026学年苏科版数学七年级下册

第11章 一元一次不等式 期末加紧复习（2个知识点+8种题型） 【题型归纳】 题型1 不等式的基本性质 题型2 解一元一次不等式组 题型3 根据不等式（组）的解集求参数 题型4 利用整数解求参数 题型5 不等式组和方程组结合的问题 题型6 二元一次方程组与不等式的应用 题型7 解特殊不等式组 题型8 一元一次不等式组的新定义问题 一、知识梳理 要点一、不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点诠释： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 要点二、一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 二、题型精讲 题型1 不等式的基本性质 例1.已知，下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式1】若，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 题型2 解一元一次不等式组 例2.解不等式（组）： (1)； (2) 【变式2-1】解不等式组：． 【变式2-2】解不等式（组）：(1)(2) 题型3 根据不等式（组）的解集求参数 例3.已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 【变式3-1】关于的不等式组无解，那么的取值范围是   （　 　） A．≤－1 B．＜1 C．－1＜≤0 D．－1≤＜0 【变式3-2】已知关于的不等式组． (1)若该不等式组有解，求的取值范围； (2)若该不等式组有且恰有四个整数解，求的取值范围． 题型4 利用整数解求参数 例4.不等式组的整数解有4个，则a的取值范围是（　　　） A．－2≤a＜－1 B．－2＜a＜－1 C．－2≤a≤－1 D．－2＜a≤－1 【变式4-1】若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 题型5 不等式组和方程组结合的问题 例5.已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y>8，则m的值是_____． 【变式5-1】已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值． 【变式5-2】已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 题型6 二元一次方程组与不等式的应用 例6.为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力提倡发展新能源．新能源汽车市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且还有免缴购置税等利好政策．某汽车租赁公司准备购买、两种型号的新能源汽车10辆．新能源汽车厂商提供了如下两种购买方案： 方案 汽车数量（单位：辆） 总费用 （单位：万元） 第一种购买方案 6 4 170 第二种购买方案 8 2 160 (1)、两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？ (2)为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴．已知国家对、两种型号的新能源汽车补贴资金分别为每辆3万元和4万元．通过测算，该汽车租赁公司在此次购车过程中，可以获得国家补贴资金不少于34万元，公司需要支付资金不超过145万元，请你通过计算求出有几种购买方案． 【变式6-1】近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费280元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费160元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折．若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ 【变式6-2】多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． (1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ (2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机至少20台，且A型早餐机比B型早餐机多4台，但总费用不超过2200元，请你通过计算求出该商家有哪几种购置方案？ (3)在（2）的方案中，哪种购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？ 题型7 解特殊不等式组 例7.先阅读理解下列例题： 例题：解一元二次不等式 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ② 解不等式组①得；解不等式组②得 ∴一元二次不等式的解集是或 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集． 【变式7】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解：∵ ∴可化为 ； 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①或②； 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， ∴的解集为或，即一元二次不等式的解集为或； （1）一元二次不等式的解集为 ； （2）分式不等式的解集为 ； （3）解一元二次不等式； 题型8 一元一次不等式组的新定义问题 例8.定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【变式8】定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 一元一次不等式 期末加紧复习（2个知识点+8种题型） 【题型归纳】 题型1 不等式的基本性质 题型2 解一元一次不等式组 题型3 根据不等式（组）的解集求参数 题型4 利用整数解求参数 题型5 不等式组和方程组结合的问题 题型6 二元一次方程组与不等式的应用 题型7 解特殊不等式组 题型8 一元一次不等式组的新定义问题 一、知识梳理 要点一、不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点诠释： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 要点二、一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 二、题型精讲 题型1 不等式的基本性质 例1.已知，下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解： A、因为，所以，故本选项错误，不符合题意； B、因为，所以，所以，故本选项正确，符合题意； C、当时，，故本选项错误，不符合题意； D、当时，，所以，故本选项错误，不符合题意；故选：B 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【变式1】若，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可得到答案． 【详解】选项A，在不等式x＞y两边都乘以-1，不等号的方向改变得，故选项A不正确； 选项B，在不等式x＞y两边都乘上，不等号的方向不变得，故选项B不正确； 选项C，在不等式x＞y两边都除以6，不等号的方向不变得，故选项C不正确； 选项D，在不等式x＞y两边都加以4，不等号的方向不变得，故选项D正确．故选D． 【点睛】本题主要考查了不等式的相关知识质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 题型2 解一元一次不等式组 例2.解不等式（组）： (1)；(2) 【答案】(1)x＜1 (2)-2＜x＜ 【分析】（1）先去括号，注意符号的变化，后按照解不等式的步骤求解即可． （2）先准确求得每个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 【详解】(1)， ∴4x-8+7＜3， ∴4x＜4， ∴x＜1． (2) 解不等式①，得x＞-2； 解不等式②，得x＜； 故不等式组的解集是-2＜x＜． 【点睛】本题考查一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，正确求得每个不等式的解集是解题的关键． 【变式2-1】解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①： 解不等式②： 去分母， ， 移项， ， 原不等式组的解为 ． 【变式2-2】解不等式（组）：(1)(2) 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先移项，再合并，系数化成1即可得出不等式的解集；（2）先解两个不等式，再求公共部分即可． 【详解】(1)解：， 移项得，， 合并同类项得，； (2)解：, 解①得，，解②得， 不等式组的解集． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组，解题的关键是掌握解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 题型3 根据不等式（组）的解集求参数 例3.已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组有解列出关于的不等式式子求解即可． 【详解】解：由解得：， 由解得：， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴． 【变式3-1】关于的不等式组无解，那么的取值范围是   （　 　） A．≤－1 B．＜1 C．－1＜≤0 D．－1≤＜0 【答案】A 【分析】先求出每一个不等式的解集，然后再根据不等式组无解得到有关m的不等式，就可以求出m的取值范围了. 【详解】解：，解不等式①得：x<m，解不等式②得：x>-1， 由于原不等式组无解，所以m≤-1，故选A. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组无解问题，熟知一元一次不等式组解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键. 【变式3-2】已知关于的不等式组． (1)若该不等式组有解，求的取值范围； (2)若该不等式组有且恰有四个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数，正确的求出不等式式组的解集，是解题的关键： （1）先求出每一个不等式组的解集，根据不等式组有解，得到，进行求解即可； （2）由（1）得到不等式组的整数解为：，得到，进行求解即可． 【详解】（1） 解：解不等式①，得：． 解不等式②，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：． （2）由（1）知：，， ∵该不等式组有且恰有四个整数解，故整数解为：， ∴， 解得：． 题型4 利用整数解求参数 例4.不等式组的整数解有4个，则a的取值范围是（　　　） A．－2≤a＜－1 B．－2＜a＜－1 C．－2≤a≤－1 D．－2＜a≤－1 【答案】A 【分析】将a看做已知数，求出不等式组的解集，根据解集中整数解有4个，即可确定出a的范围． 【详解】解：由不等式组有整数解知，不等式组的解集为a＜x＜3． 又∵不等式组共有4个整数解，∴不等式组的整数解为−1，0，1，2，∴−2≤a＜−1．故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，关键是能根据不等式组的解集和已知得出a的取值范围． 【变式4-1】若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围．解出关于x的方程，根据解为非负数的条件，求出a的取值范围，解出关于y的一元一次不等式组，根据至少有3个整数解的条件，求出a的取值范围，找出所有符合条件的整数a的和． 【详解】解：由，可得． 关于的方程的解为非负数， ，解得． 解不等式组， 解得：． 一元一次不等式组至少有3个整数解， ． 综上可得． 可取的整数为：． 所有符合条件的整数的和为． 故选∶ D． 【变式4-2】若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 题型5 不等式组和方程组结合的问题 例5.已知关于x，y的方程组的解满足不等式2x+y>8，则m的值是_____． 【答案】m＜-6． 【分析】先解方程组，然后将x、y的值代入不等式解答． 【详解】解：①+②得，，解得，x=2m-1， 把x=2m-1代入②得，，解得，y=4-5m， 将x=2m-1，y=4-5m代入不等式2x+y＞8得4m-2+4-5m＞8，∴m＜-6，故答案为：m＜-6． 【点睛】本题考查了方程组与不等式，熟练解方程组与不等式是解题的关键． 【变式5-1】已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值． 【答案】1和2 【分析】方法一：得，，得，，根据不等式组即可求出；方法二：求解二元一次方程组，把方程组的解代入得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】方法一： 解：， 得，， ∵， ∴， 解得：， 得，， ∵， ∴， 解得：， ∴，则满足条件的m的整数值为1和2； 方法二： ， 解得：， 把代入得：， 解得： ∴满足条件的m的整数值为1和2． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，以及解一元一次不等式组的方法和写出不等式组解集的方法． 【变式5-2】已知关于x，y的方程组． (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若不等式组的解集满足，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2) (3)5、6、7 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，根据，得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， ∵方程组的解集满足， ∴， 解得：； （3）解：∵ ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为5或6或7． 题型6 二元一次方程组与不等式的应用 例6.为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力提倡发展新能源．新能源汽车市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且还有免缴购置税等利好政策．某汽车租赁公司准备购买、两种型号的新能源汽车10辆．新能源汽车厂商提供了如下两种购买方案： 方案 汽车数量（单位：辆） 总费用 （单位：万元） 第一种购买方案 6 4 170 第二种购买方案 8 2 160 (1)、两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？ (2)为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴．已知国家对、两种型号的新能源汽车补贴资金分别为每辆3万元和4万元．通过测算，该汽车租赁公司在此次购车过程中，可以获得国家补贴资金不少于34万元，公司需要支付资金不超过145万元，请你通过计算求出有几种购买方案． 【答案】(1)型号新能源汽车每辆的价格是15万元，型号新能源汽车每辆的价格是20万元 (2)共有三种购车方案，方案一：购买型号新能源汽车4辆，则购买型号新能源汽车6辆；方案二：购买型号新能源汽车5辆，则购买型号新能源汽车5辆；方案三：购买型号新能源汽车6辆，则购买型号新能源汽车4辆 【分析】（1）设A种型号的新能源汽车每辆的价格为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的价格为y万元，根据总价=单价×数量结合汽车厂商提供的两种购买方案，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该汽车租赁公司购进A种型号的新能源汽车a辆，则购进B种型号的新能源汽车（10-a）辆，根据国家补贴资金不少于34万元及公司需要支付资金不超过145万元，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数即可得出各购买方案． 【详解】(1)设型号新能源汽车每辆的价格是万元，型号新能源汽车每辆的价格是万元. 由题意得：解得：. 型号新能源汽车每辆的价格是15万元，型号新能源汽车每辆的价格是20万元. (2)设购买型号新能源汽车辆，则购买型号新能源汽车辆. 由题意得：解得：. ∵a是整数，∴a=4，5或6∴共有三种购车方案 方案一：购买型号新能源汽车4辆，则购买型号新能源汽车6辆 方案二：购买型号新能源汽车5辆，则购买型号新能源汽车5辆 方案三：购买型号新能源汽车6辆，则购买型号新能源汽车4辆 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【变式6-1】近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费280元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费160元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折．若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ 【答案】(1)A款单价为120元，B款单价为80元． (2)最多购买8个A款机器人玩具 【分析】（1）设A款机器人玩具的单价为元，B款机器人玩具的单价为元，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购买A款机器人玩具个，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A款机器人玩具的单价为元，B款机器人玩具的单价为元， 根据题意，得方程组：， 解得， 答：所以A款单价为120元，B款单价为80元； （2）解：设购买A款机器人玩具个， 打折后单价：A款元；B款元； 根据题意得， 解得， 答：最多购买8个A款机器人玩具． 【变式6-2】多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． (1)每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ (2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机至少20台，且A型早餐机比B型早餐机多4台，但总费用不超过2200元，请你通过计算求出该商家有哪几种购置方案？ (3)在（2）的方案中，哪种购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？ 【答案】(1)每台A型早餐机的价格是80元，每台B型早餐机的价格是120元 (2)该商家有两种购置方案，方案1：购进12台A型早餐机，8台B型早餐机；方案2：购进13台A型早餐机，9台B型早餐机 (3)购进12台A型早餐机，8台B型早餐机时所需总费用最低，最低费用是1920元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总费用； （1）设每台型早餐机的价格是元，每台型早餐机的价格是元，根据“8台型早餐机和3台型早餐机需要1000元，6台型早餐机和1台型早餐机需要600元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进台型早餐机，则购进台型早餐机，根据“商家欲购进，两种型号早餐机至少20台，且总费用不超过2200元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购置方案； （3）利用总价单价数量，可求出选择各方案所需总费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每台型早餐机的价格是元，每台型早餐机的价格是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每台型早餐机的价格是80元，每台型早餐机的价格是120元； （2）解：设购进台型早餐机，则购进台型早餐机， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的值可以是8，9， 该商场有两种购置方案， 方案1：购进12台型早餐机，8台型早餐机； 方案2：购进13台型早餐机，9台型早餐机； （3）解：选择方案1的总费用为（元） 选择方案2的总费用为（元） ， 在（2）的方案中，购进12台型早餐机，8台型早餐机时所需总费用最低，最低费用是1920元． 题型7 解特殊不等式组 例7.先阅读理解下列例题： 例题：解一元二次不等式 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ② 解不等式组①得；解不等式组②得 ∴一元二次不等式的解集是或 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，然后求出每个不等式组的解集，进而可得答案；（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正” 得出两个不等式组，然后求出每个不等式组的解集，进而可得答案． 【详解】解：（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”可得： ①或②，解不等式组①，得；解不等式组②，得； ∴不等式的解集是或； （2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”可得： ①或②，解不等式组①，得；解不等式组②，无解； 故不等式的解集为． 【点睛】本题是阅读理解题，主要考查了一元一次不等式组的解法和有理数乘除法则的理解与运用，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键． 【变式7】先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解：∵ ∴可化为 ； 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①或②； 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， ∴的解集为或，即一元二次不等式的解集为或； （1）一元二次不等式的解集为 ； （2）分式不等式的解集为 ； （3）解一元二次不等式； 【答案】（1）或；（2）或；（3）． 【解析】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可； （2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可； （3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可； 解析：（1）∵，∴可化为 ， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得：，， 解不等式组①，得，解不等式组②，得， ∴的解集为或，即的解集为或； （2）∵，∴或，解得：或； （3）∵，∴可化为：，由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：或，解不等式组①，得，解不等式组②，无解，∴不等式的解集为． 考点：1．一元二次方程的应用；2．分式方程的应用；3．一元一次不等式组的应用． 题型8 一元一次不等式组的新定义问题 例8.定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 【变式8】定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 【答案】(1)①；②；③是 (2) (3) 【分析】（1）根据不等式组的解法及“绝对包含”的意义求解即可； （2）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围； （3）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和． 【详解】（1）解：①解不等式组， 不等式的解集为：， 不等式的解集为：， ∴这个不等式组的解集是； ②， 这个不等式组的绝对距离是； ③∵不等式组的解集为，且，即是不等式组的解， ∴不等式组是对绝对包含； （2）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∴的取值范围为； （3）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∵为整数， ∴整数的取值为，，，， ∴满足条件的所有整数的和为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $