专项3第九章平面直角坐标系压轴题型 2025-2026学年人教版数学七年级下册期末复习专项

专项3 第九章平面直角坐标系压轴题型 目录 题型1 平面直角坐标系中的动点问题 1 题型2 平面直角坐标系中的面积问题 3 题型3 方向角+距离确定位置 5 题型4 坐标系中的平移与图形综合 8 题型5 点坐标规律的探索 11 题型1 平面直角坐标系中的动点问题 1．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 2．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足， (1)直接写出M、N的坐标：M（0，_____），N（_____，0）； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴的正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为秒． ①如图1，当时，设，求与的比值； ②如图2，当与互补时，在线段上任取一点E，连接．点G为的角平分线上一点，连接，且满足，设、，和，请直接写出，，三者之间的数量关系． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上，点，其中满足．动点从点出发，沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度向原点匀速运动；同时动点从原点出发，沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动． 设运动时间为秒，连接． 【基础应用】 (1)点的坐标是_____，和的位置关系是_____； 【拓展探究】 (2)请你通过添加辅助线，探究在动点、运动过程中，与这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【综合应用】 (3)在动点运动过程中，当时，求的值及此时点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，，，其中a，b满足． (1)求点A，B的坐标； (2)N为x轴正半轴上一动点，M为第四象限内一动点，与的角平分线交于点Q，且，求证：轴； (3)点P在y轴上，且，直接写出点P的坐标． 5．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且满足，点C为y轴正半轴上的一个动点． (1)_____，_____； (2)连接交于点D，若三角形和三角形的面积相等，求点C的坐标； (3)如图2，过点C作的平行线l，点M、N为直线l上两个动点，线段和线段相交于点E，且满足，求四边形面积的最大值． 题型2 平面直角坐标系中的面积问题 6．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)求a，b的值及； (2)若点M在x轴上，且，试求点M的坐标． 7．综合与实践 如图，学校有一个四边形劳动基地，与交于点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点的坐标为． (1)求点和点的坐标． (2)若三角形的面积和三角形的面积相等，求点的坐标． (3)学校计划扩展劳动基地的面积，使其变为五边形，点的坐标为，其中，请直接写出三角形的面积．（用含的代数式表示） 8．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，点在第二象限． (1)写出，两点的坐标； (2)若点，请在图中画出点，并画出当的长最小时点的位置，并写出的值； (3)若线段经过平移后得到线段，请画出此时点的位置，并写出平移的过程； (4)点在轴上，三角形的面积等于四边形面积的，当时，求点的坐标． 9．在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作轴于点，点是y轴正半轴上的一点，且a，b满足，． (1)求A点，B点坐标； (2)求C点坐标； (3)点D为x轴上一点，若，求D点坐标； 10．在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，两点坐标分别为，，且，满足，点，分别是线段，上的动点． (1)直接写出点、点的坐标； (2)如图1，若点为的中点，连接，，，过点作轴的平行线交于点，，求证：； (3)如图2，若点，点在运动的过程中，始终有．当最小时，求的长度． 题型3 方向角+距离确定位置 11．2026年春节期间，开封清明上河园接待游客万人次，旅游收入亿元，位列河南省春节景区接待量第1名．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，C组在虹桥西侧观看“火神冲浪”，最后一起到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为了描述集合地点，同学们想出了不同的方法． (1)小明同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为． ①请在图1中建立合适的平面直角坐标系； ②大宋校场的坐标为_____，虹桥的坐标为_____； (2)小华同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，大宋校场在文房博物馆的北偏东方向，距离处，则大宋校场的位置记为（北偏东），若九龙桥与文房博物馆的距离和大宋校场与文房博物馆的距离相等，文房博物馆在九龙桥的北偏西方向，那么以文房博物馆为基准点，九龙桥的位置应记为_____． 12．如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系： (1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆的位置； (2)火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 13．下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 14．如图是某街区的平面示意图． (1)老顶山在广场的 方向大约 千米处． (2)八一路小学位于广场南偏东方向2千米处，请在图中画出八一路小学的大概位置． (3)李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付多少元车费？出租车收费标准如下表：（注：本题中不考虑出租车等候时间费用） 里程 收费 以下（含） 元 以上每增加（不足按算） 元 15．【问题提出】小明想准确描述学校各建筑物的位置，应该怎样操作呢？ 【动手操作】如图是小明把学校以的比例尺绘制而成的平面示意图，每个小方格的单位长度是，小明以正东为轴的正方向，正北为轴的正方向建立平面直角坐标系后，得到实验室的坐标是，高中楼的坐标是． 【问题解决】 （1）平面直角坐标系的原点应为___________的位置（填写建筑名称）； （2）在图中画出此平面直角坐标系并标出初中楼的坐标是___________； （3）用方向与距离表示校门相对于操场的位置是___________．（小方格的相对两顶点的距离取140米） 【拓广延伸】 （4）下午放学后，在初中楼下的小明同学以4米/秒的平均速度向操场跑去，参加体育锻炼，问：小明需要多少秒到达操场？ 题型4 坐标系中的平移与图形综合 16．已知，为4的算术平方根，在平面直角坐标系中，点，，，且． (1)直接写出______，______，______； (2)如图①，当点在直线上时，连接，求三角形的面积； (3)平移线段，使点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为（秒）． ①如图②，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 17．如图1，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，，． (1)_____，_____，四边形的面积_____； (2)如图2，点P是线段上的一个动点，连接，，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点M在x轴上，连接、，若的面积是的面积的两倍，求点M的坐标． 18．综合与实践 基本图形 如图1，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)________，________，点的坐标为________． 拓展延伸 (2)如图2，是的中点，过点作直线轴，直线与轴交于点，是线段上一点，连接，．若三角形的面积为15，求三角形的面积． (3)如图3，以为边作，交线段于点，是线段上一动点（不含端点），连接交于点．当点在线段上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现将线段向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点（________），点（________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒． 若两点同时出发，当取何值时，轴？ 连接，，当取何值时，三角形的面积为？ (3)点是直线上一个动点，连接，当点在直线上运动时，请画出图形并直接写出与，的数量关系． 20．已知点，点，点，且．将线段平移得到线段，点A的对应点是点B． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，过点D作轴于点E，作轴于点F，点P在射线上．连接交直线于点Q，以F、O、E、Q为顶点的四边形记为，的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 题型5 点坐标规律的探索 21．综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．    C．    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）；马走到C的最短路线有______种； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 22．在平面直角坐标系中，对于给出如下定义： 记是的“半影点”，例如的“半影点”是它自己． 对平面内两点，，记，，如果称和为“单位邻点”，例如和是“单位邻点”． (1)已知，点是点的“半影点”． 点的坐标是_____________； 下列三个点中，是的“单位邻点”的有_____________（填字母）： ．  ．  ． 若点在轴上，且的半影点与是“单位邻点”，直接写出的坐标． (2)如图，四边形是以原点为中心的边长为，且四边分别与坐标轴平行的正方形． 请直接在图中画出点的所有单位邻点组成的图形； 对于一个四边分别与坐标轴平行的正方形，如果正方形边上的任何一点，其“半影点”都可以在四边形的边上找到其单位邻点，直接写出正方形的面积的最大值为_____________． 23．综合与实践 问题情境：李老师和同学们利用平面镜和光屏探究光的线路． 实验简述：如图，光源点位于点，光线照射到平面镜上后反射，反射光线照射到光屏上，第一次入射光线为，反射光线为，第二次入射光线为，反射光线为，第三次入射光线为，反射光线为，按上述光线移动规律进行多次试验． 数学建模：以为原点，所在直线为轴，以垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，点都是整点（横、纵坐标均为整数）． 问题解决： (1)点的坐标为___________． (2)求的面积． (3)直接写出点和点的坐标． 24．马年奔腾，万象更新．在中国象棋中，在棋盘上，“马”走“日”字，即“马”只能沿棋盘上的“纵日”或“横日”的对角线行走．为了定量研究“马”的行走规律，融融同学在棋盘上建立如图所示的平面直角坐标系． 融融将“马”按图1的方式从走到，并用坐标描述为：→→→→→． 经过不断的尝试，他发现无论走何种路线，“马”从走到所需步数都是奇数，其中为整数且．并给出如下证明： 证明：假设“马”沿“纵日”方向和“横日”方向分别走，步，则一共走步， ∵纵坐标经过次“”或“”的变化，次“”或“”的变化， ∴纵坐标变化总量为 ∵从走到点纵坐标变化总量为是奇数， 为偶数． ∴是奇数，因此是奇数， ， ∴是奇数，即一共走了奇数步． (1)在图中画出一种从走到步数更少的走法并用坐标描述； (2)请根据前面的推理，将处省略的步骤补充完整． 25．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“美好距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“美好距离”为； 若，则点与点的“美好距离”为． 用符号表示两点的“美好距离”． (1)已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“美好距离”为2，满足条件的点的坐标是___________（写出1个即可）； ②点与点的“美好距离”的最小值是___________； (2)已知直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，如图1，点的坐标是，则点与点的“美好距离”的最小值是___________；当与的“美好距离”取最小值时，点的横坐标的最小值是___________； (3)已知，定义平面内的一个动点满足，则称动点为两点间的“美好连接点”． ①若，请在图2中画出两点间的“美好连接点”所覆盖的区域： ②已知点坐标为，直线过点且垂直于轴，直接写出当直线上存在两点间“美好连接点”时，的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项3 第九章平面直角坐标系压轴题型 目录 题型1 平面直角坐标系中的动点问题 1 题型2 平面直角坐标系中的面积问题 12 题型3 方向角+距离确定位置 23 题型4 坐标系中的平移与图形综合 29 题型5 点坐标规律的探索 44 题型1 平面直角坐标系中的动点问题 1．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)点P移动的时间为或 (4)点P移动的时间为或 【分析】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，再得到，即可求解． （2）求出点P移动的路程，再除以时间即可求解． （3）确定出当点P到x轴的距离为5个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解． （4）求出边上的高为2时即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）点P移动时，运动路程为个单位， ∵，， ∴点P在上，距离点C两个单位长度，且； （3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，则或， 当运动到时，时间为， 当运动到时，时间为， ∴点P移动的时间为或； （4）∵点B的坐标为， ∴， ∴当三角形的面积等于6时，边上的高为2， ∴或， ∴当时，P点运动路程为8，则点P移动的时间为， 当时，P点运动路程为18，则点P移动的时间为， ∴点P移动的时间为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内的动点问题，涉及到了算术平方根和绝对值的非负性、点到坐标轴的距离、三角形的面积公式和行程问题中的数量关系，解题关键是利用数形结合，正确得到动点运动的路程或位置并求解． 2．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足， (1)直接写出M、N的坐标：M（0，_____），N（_____，0）； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴的正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为秒． ①如图1，当时，设，求与的比值； ②如图2，当与互补时，在线段上任取一点E，连接．点G为的角平分线上一点，连接，且满足，设、，和，请直接写出，，三者之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)①；②或． 【分析】（1）首先根据非负数的性质解得的值，可确定点的坐标，即可获得答案； （2）①当时，可有，易得，，进而可计算出，结合，得到，进而根据三角形面积公式计算即可； ②分G点在平行线之间和G点在平行线之外两种情况，分别根据平行线的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当时，， ，， ∴，， ， ， ∴， ∴ 由图可知点在第四象限， ∴， ∴， ∴； ②根据题意，将图2补全，如下图所示， ∵与互补 ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 如下图，当G点在平行线之间时，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 如下图，当G点在平行线之外时，过点作，过点作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 综上所述，，，之间的数量关系为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上，点，其中满足．动点从点出发，沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度向原点匀速运动；同时动点从原点出发，沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动． 设运动时间为秒，连接． 【基础应用】 (1)点的坐标是_____，和的位置关系是_____； 【拓展探究】 (2)请你通过添加辅助线，探究在动点、运动过程中，与这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【综合应用】 (3)在动点运动过程中，当时，求的值及此时点的坐标． 【答案】(1)，平行 (2)，理由见解析 (3)； 【分析】（1）利用非负数的性质求出，即可得到，再根据坐标的特点即可得到和的位置关系； （2）过点作，利用平行线的性质可得 ，结合 ，即可说明； （3）由题意得， ，求出，得到 ， ，根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵点，点的纵坐标相等，点，点的纵坐标相等， ∴和的位置关系是平行； （2）解：，理由如下： 过点作， ， ， ， ， ； （3）解：由题意得， ， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得； 此时点的横坐标：， 点的坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，，，其中a，b满足． (1)求点A，B的坐标； (2)N为x轴正半轴上一动点，M为第四象限内一动点，与的角平分线交于点Q，且，求证：轴； (3)点P在y轴上，且，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值即可求解； （2）过点Q作，得到，然后结合角平分线得到，，然后根据得到，推出轴，即可证明； （3）首先求出，然后根据得到，然后分看着情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）证明：如图，过点Q作 ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴轴， ∵， ∴轴； （3）解：∵，，， ∴， ∵，点P在y轴上， ∴ ∴ ∴当点P在点A上边时，点P的纵坐标为 ∴； ∴当点P在点A下边时，点P的纵坐标为 ∴； 综上所述，点P的坐标为或． 5．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且满足，点C为y轴正半轴上的一个动点． (1)_____，_____； (2)连接交于点D，若三角形和三角形的面积相等，求点C的坐标； (3)如图2，过点C作的平行线l，点M、N为直线l上两个动点，线段和线段相交于点E，且满足，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2) (3)40 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，延长交于点T，连接，可求出的面积，再证明，据此利用三角形的面积公式求解即可； （3）将线段平移得到线段，连接（其中点M与点N是对应点），则，可证明三点共线，可证明；根据点B到的距离一定不大于的长，故当时，的面积有最大值，最大值为，则四边形的面积的最大值为40． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图1所示，过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，延长交于点T，连接， 由（1）得， ∴，， ∴ ； ∵三角形和三角形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：如图所示，将线段平移得到线段，连接（其中点M与点N是对应点）， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴； ∵平行线间的距离处处相等， ∴（等底等高）， ∴； ∵垂线段最短， ∴点B到的距离一定不大于的长， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， ∴四边形的面积的最大值为40． 题型2 平面直角坐标系中的面积问题 6．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)求a，b的值及； (2)若点M在x轴上，且，试求点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)点M的坐标为或 【分析】（1）由“”结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出a、b的值，再结合三角形的面积公式即可求出的值； （2）设出点M的坐标，找出线段AM的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出的值，从而得出点M的坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，， ∴点，点． 又∵点， ，， ． （2）解：设点M的坐标为，则， 又， ， ， ， 即， 解得：或， 故点M的坐标为或． 7．综合与实践 如图，学校有一个四边形劳动基地，与交于点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，且，满足，点的坐标为． (1)求点和点的坐标． (2)若三角形的面积和三角形的面积相等，求点的坐标． (3)学校计划扩展劳动基地的面积，使其变为五边形，点的坐标为，其中，请直接写出三角形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1)点， (2) (3) 【分析】（1）利用平方数与绝对值的非负性，若两个非负数的和为 0，则各自为 0，求出 、 的值，即可得到坐标； （2）利用三角形面积公式，根据建立等式，求出长度，结合在轴负半轴确定坐标； （3）用割补法：过点作轴于，利用梯形、三角形面积和差求解． 【详解】（1）解：， 且 ，， ，， 解得 ，， 点 ，点 ． （2）解：由题意：，，， ，，， ， 设，， ， ， ， 解得， ． （3）解：过点作轴于， 则，，，，， ． 8．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，点在第二象限． (1)写出，两点的坐标； (2)若点，请在图中画出点，并画出当的长最小时点的位置，并写出的值； (3)若线段经过平移后得到线段，请画出此时点的位置，并写出平移的过程； (4)点在轴上，三角形的面积等于四边形面积的，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，． (2)． (3)见解析，将线段向左平移个单位长度得到线段． (4)点的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形变化，三角形面积，垂线段的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，进行解答，即可． （1）根据平面直角坐标系中点的性质，即可； （2）根据题意，描点得到，过点作轴的平行线，过点作于点，根据垂线段最短，此时的横坐标与点的横坐标相等，即求出； （3）根据平移的性质，画出平移的线段，即可； （4）根据，求出点的坐标，根据，三角形的面积等于四边形面积的，即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上，点在轴上，，， ∴，． （2）解：如图所示，描点得到， 过点作轴的平行线，过点作于点， ∴点即为所求， ∵，， ∴． （3）解：如图，点即为所求． 平移的过程为：将线段向左平移个单位长度得到线段． （4）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设点的坐标为， ∵三角形的面积等于四边形面积的， ∴ ， 解得或， ∴点的坐标为或． 9．在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作轴于点，点是y轴正半轴上的一点，且a，b满足，． (1)求A点，B点坐标； (2)求C点坐标； (3)点D为x轴上一点，若，求D点坐标； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，坐标与图形，熟练掌握利用坐标求图形的面积是解题的关键． （1）利用算术平方根的非负性、绝对值的非负性、非负数的性质求出a、b值，即可得出结果； （2）根据梯形的面积公式求出的长，即可得出结果； （3）设点D的坐标为，分四 种情况：①当点D在上时，即，②当点D在x轴负半轴上时，即，③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵ ∵，， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：∵轴于点， ∴设点C的坐标为， ∵ ∴ ∴点C的坐标为． （3）解：设点D的坐标为， ∵，， ∴点关于点对称的对称点恰好在轴上，即直线与轴交于点， 分三种情况：①当点D在上时，即，如图， ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； ②当点D在x轴负半轴上时，即，如图， ∵ ∴ 解得：不符合题意，舍去； ③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，如图， ∵ ∴ 解得：，不符合题意，舍去； ④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，如图 ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； 综上，若，点D的坐标为或． 10．在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，两点坐标分别为，，且，满足，点，分别是线段，上的动点． (1)直接写出点、点的坐标； (2)如图1，若点为的中点，连接，，，过点作轴的平行线交于点，，求证：； (3)如图2，若点，点在运动的过程中，始终有．当最小时，求的长度． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、非负数的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得解； （2）作轴，交延长线于，先证，再证，即可得证； （3）作且，构造，从而可得，当、、三点共线时，最小，据此求解． 【详解】（1）解：， ，， ． ，． （2）证明：如图，作轴，交延长线于， ∵点为的中点， ∴． ， ． 轴， ，． ． 在和中， ， ． ，． 又， ． ． ． ． ． ． （3）如图，作且，连接， ，， ． ． ． 当、、三点共线时，最小，此时， 又∵， ． ， 又， ． ． ． 当最小时，． 题型3 方向角+距离确定位置 11．2026年春节期间，开封清明上河园接待游客万人次，旅游收入亿元，位列河南省春节景区接待量第1名．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，C组在虹桥西侧观看“火神冲浪”，最后一起到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为了描述集合地点，同学们想出了不同的方法． (1)小明同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为． ①请在图1中建立合适的平面直角坐标系； ②大宋校场的坐标为_____，虹桥的坐标为_____； (2)小华同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，大宋校场在文房博物馆的北偏东方向，距离处，则大宋校场的位置记为（北偏东），若九龙桥与文房博物馆的距离和大宋校场与文房博物馆的距离相等，文房博物馆在九龙桥的北偏西方向，那么以文房博物馆为基准点，九龙桥的位置应记为_____． 【答案】(1)①见详解；②； (2)(南偏东) 【分析】（1）根据已知两点坐标确定坐标系原点位置，再根据网格读出大宋校场和虹桥的坐标； （2） 利用方位角和距离的互逆性：若 在 的某方位，则 在 的相反方向；结合已知距离条件确定九龙桥的方位和距离． 【详解】（1）解：①如图，建立平面直角坐标系： ②大宋校场坐标为，虹桥坐标为； （2）解：∵文房博物馆在九龙桥的北偏西方向， 以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东方向， 又九龙桥与文房博物馆的距离=大宋校场与文房博物馆的距离， 以文房博物馆为基准点，九龙桥的位置应记为(南偏东)． 12．如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系： (1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆的位置； (2)火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 【答案】(1)中国银行在图书馆北偏东方向上，且距离图书馆；餐馆在图书馆北偏西方向上，且距离图书馆； (2)见解析 【分析】（1）结合图象利用各方位角以及所标距离求出答案； （2）利用火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，进而得出答案． 【详解】（1）解：由图形得： 中国银行在图书馆北偏东方向上，且距离图书馆； 餐馆在图书馆北偏西方向上，且距离图书馆； （2）解：如图所示： ． 13．下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 【答案】(1)敌方战舰B到我方潜艇的距离 (2)敌方战舰A和敌方战舰C 【分析】本题考查方向角，平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握方向角的定义，确定点的位置的方法． （1）确定点的位置要知道点的方向和距离，由此即可得到答案； （2）由图上距离，即可得到答案． 【详解】（1）解：有敌方战舰和小岛，还需要知道敌方战舰到我方潜艇的距离． （2）解：敌方战舰和敌方战舰． 14．如图是某街区的平面示意图． (1)老顶山在广场的 方向大约 千米处． (2)八一路小学位于广场南偏东方向2千米处，请在图中画出八一路小学的大概位置． (3)李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付多少元车费？出租车收费标准如下表：（注：本题中不考虑出租车等候时间费用） 里程 收费 以下（含） 元 以上每增加（不足按算） 元 【答案】(1)正东，3 (2)见解析 (3)李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付费10.8元 【分析】本题考查了用方向角和距离确定位置，有理数的混合运算，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． （1）根据方向角的定义即可得到结论； （2）根据方向角的定义即可得到结论； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：老顶山在广场的正东方向大约3千米处， 故答案为：正东，3； （2）解：如图所示； （3）解：（元）， 答：李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付费元． 15．【问题提出】小明想准确描述学校各建筑物的位置，应该怎样操作呢？ 【动手操作】如图是小明把学校以的比例尺绘制而成的平面示意图，每个小方格的单位长度是，小明以正东为轴的正方向，正北为轴的正方向建立平面直角坐标系后，得到实验室的坐标是，高中楼的坐标是． 【问题解决】 （1）平面直角坐标系的原点应为___________的位置（填写建筑名称）； （2）在图中画出此平面直角坐标系并标出初中楼的坐标是___________； （3）用方向与距离表示校门相对于操场的位置是___________．（小方格的相对两顶点的距离取140米） 【拓广延伸】 （4）下午放学后，在初中楼下的小明同学以4米/秒的平均速度向操场跑去，参加体育锻炼，问：小明需要多少秒到达操场？ 【答案】（1）图书馆；（2）见解析；；（3）校门在操场的南偏东，距离米；（4）小明需要100秒到达操场 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键． （1）即可得到平面直角坐标系的原点的位置； （2）根据高中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案； （3）根据方向角的表示方法，进行解答即可； （4）根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）∵实验室的坐标是，高中楼的坐标是， ∴平面直角坐标系的原点应为图书馆的位置； （2）由题意得，可以建立如下坐标系； 初中楼的坐标是； （3）根据图可知：校门在操场的南偏东，距离（米）； （4）， （秒）， 答：小明需要100秒到达操场． 题型4 坐标系中的平移与图形综合 16．已知，为4的算术平方根，在平面直角坐标系中，点，，，且． (1)直接写出______，______，______； (2)如图①，当点在直线上时，连接，求三角形的面积； (3)平移线段，使点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为（秒）． ①如图②，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】(1)5，，2 (2) (3)①，理由见解析；②点D的坐标为或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性得到，，求出，，然后根据算术平方根的定义求出； （2）根据题意得到，然后三角形面积公式求解； （3）①首先表示出，由平移的性质得到，，表示出，，，，，，然后得到，进而求解即可； ②根据题意分三种情况讨论，分别判断求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∵为4的算术平方根， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴，， ∴， ∴三角形的面积； （3）解：①，理由如下： ∵，， ∴， ∵平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上，且， ∴平移方式为向下平移2个单位，向左平移a个单位， ∴，， ∴，， 由题意得，， ，， ， ， ， ， 即； ②当时，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴PQ可以看作由向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到， 此时，点D不存在； 当，如图1，点D在三角形内部或和点O重合，此时，不符合题意； 当时，如图2，点D在第四象限，连接， 设，由①得， ， ， ， ， ， ，， ； 当时，如图3，点D在第二象限，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， 综上，点D的坐标为或． 17．如图1，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，，． (1)_____，_____，四边形的面积_____； (2)如图2，点P是线段上的一个动点，连接，，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点M在x轴上，连接、，若的面积是的面积的两倍，求点M的坐标． 【答案】(1)3，5，15 (2)不发生变化，见解析 (3)或 【分析】首先根据题目给定的代数关系求出 和 的值，从而确定点 和 的具体坐标， 再利用平移规律（“下减上加，左减右加”），将 向下平移3个单位、再向左平移1个单位，得到对应点 和 的坐标； （2）利用“”直接计算面积即可； （3）设 轴上的点 坐标为 ，根据题意“ 的面积是 面积的两倍”，建立方程，解方程求出 的值，从而得到点 的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，，    ∴，， 点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴，， ∴． （2）解：不发生变化， 理由：如图1， ∵， ∴， ∴，     ∵， ∴， ∴， ∴的值不发生变化． （3）由（1）可知， 点 在 轴上 设点 点 的坐标为 或 ． 18．综合与实践 基本图形 如图1，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)________，________，点的坐标为________． 拓展延伸 (2)如图2，是的中点，过点作直线轴，直线与轴交于点，是线段上一点，连接，．若三角形的面积为15，求三角形的面积． (3)如图3，以为边作，交线段于点，是线段上一动点（不含端点），连接交于点．当点在线段上运动时，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)8；； (2) (3)的值不发生变化，理由见解析 【分析】（1）利用非负数的性质求解，，再进一步求解即可； （2）表示点D的坐标为，点E的坐标为，可得，，，设点F的坐标为，，，再进一步求解即可； （3）过点C作，过点P作．证明，证明．证明，再进一步证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵轴于点B， ∴，， ∴． ∵平移线段使点A与原点O重合，点B的对应点为点C． ∴ ∴． （2）解：由（1）可知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． D是的中点， 点D的坐标为， 直线l上的点的纵坐标均为，点E的坐标为， ，，， ， 设点F的坐标为，，， ，． ， ， 解得， ； （3）解：的值不发生变化，理由如下： 如图，过点C作，过点P作． 线段是由线段平移得到的， ， ， ， ， ． ， ． ，， ， ． ， ， ， ， 当点N在线段上运动时，的值不变，其值为3． 19．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，现将线段向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点（________），点（________） (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒． 若两点同时出发，当取何值时，轴？ 连接，，当取何值时，三角形的面积为？ (3)点是直线上一个动点，连接，当点在直线上运动时，请画出图形并直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)，； (2)当秒时，轴；或； (3)或或． 【分析】（）由，得，，所以，，然后通过点的平移规律即可求解； （）由（）得，根据题意可得，，通过轴，得，然后求出的值即可； 由得，然后通过三角形的面积为，得出，即或，然后解方程即可 （）分当在线段延长线上时，当在线段上时，当在线段延长线上时三种情况，然后通过平行线的判定与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵将线段向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到线段， ∴，，即，； （2）解：如图， 由（）得：， ∵点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点的运动时间为秒， ∴，， ∵轴， ∴，解得：， ∴当秒时，轴； 如图，由得， ∵， ∴， ∴三角形的面积为， ∴， ∴或， 解得：或； （3）解：如图，当在线段延长线上时，过作，交轴于点， 由平移性质可知，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 如图，当在线段上时，过作，交轴于点， 由平移性质可知，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 如图，当在线段延长线上时，过作，交轴于点， 由平移性质可知，， ∴， ∴，， ∵， ∴； 综上可得：或或． 20．已知点，点，点，且．将线段平移得到线段，点A的对应点是点B． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，过点D作轴于点E，作轴于点F，点P在射线上．连接交直线于点Q，以F、O、E、Q为顶点的四边形记为，的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)、、三点的坐标分别是，， (2)12 (3)为定值，且这个定值为4 【分析】（）根据绝对值、算术平方根、偶次幂非负性即可求解； （2）先根据平移得出点D的坐标为，再求出，最后根据三角形面积公式求出； （3）分两种情况：当点P在点右侧时，当点P在点左侧时，分别利用三角形面积的和差求出结果即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，，， 所以，，， 所以、、三点的坐标分别是，，； （2）解：∵将线段平移得到线段，点A的对应点是点B，，， ∴线段向右平移4个单位，向上平移4个单位得到线段， ∵点C的坐标为， ∴点D的坐标为， ∵， ∴； （3）解：为定值，且这个定值为4； ∵轴，轴，点D的坐标为， ∴，， 当点P在点右侧时，如图所示： 设此时，点P的坐标为则： ， ， ∴ ， ∵， 又∵， ∴， ∴； 当点P在点左侧时，如图所示： ∵ ， ∴ ； 综上，为定值，且这个定值为4． 题型5 点坐标规律的探索 21．综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．    C．    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）；马走到C的最短路线有______种； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)C； (3)①能，2；②能，需要走1352步． 【分析】（1）根据“帅”，“相”的位置确定“马”的位置； （2）由于马走“日”，因此马的平移向量左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移向量左或右平移2，则相应的上或下平移1，由此可判断所给平移量； （3）①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； ②设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次，则马沿着平移量移动；走到点时，向右移动2029，向上移动2027，可得，；求解即可． 【详解】（1）解：由“帅”位于点，“相”位于点， ∴“马”的坐标为； （2）解：由于马走“日”，因此马的平移量为左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移量向左或右平移2，则相应的上或下平移1， ∴A、B、D是“马”的一步“平移量”，C不是“马”的一步“平移量”， 故选：C． （3）解：①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； 则马走到C的最短路线有2种； 故答案为：能；2； ②由题意可知“马”的走法只有两种平移量或， 设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次， 则马沿着平移量移动， 马的初始位置是， 走到点时，向右移动2029，马向上移动2027， ，， ，， ∴马沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次，走到点 马能走到； 马由点，沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次． ∴共移动（步）． 22．在平面直角坐标系中，对于给出如下定义： 记是的“半影点”，例如的“半影点”是它自己． 对平面内两点，，记，，如果称和为“单位邻点”，例如和是“单位邻点”． (1)已知，点是点的“半影点”． 点的坐标是_____________； 下列三个点中，是的“单位邻点”的有_____________（填字母）： ．  ．  ． 若点在轴上，且的半影点与是“单位邻点”，直接写出的坐标． (2)如图，四边形是以原点为中心的边长为，且四边分别与坐标轴平行的正方形． 请直接在图中画出点的所有单位邻点组成的图形； 对于一个四边分别与坐标轴平行的正方形，如果正方形边上的任何一点，其“半影点”都可以在四边形的边上找到其单位邻点，直接写出正方形的面积的最大值为_____________． 【答案】(1)；；或或或； (2)见解析；． 【分析】（）根据“半影点”定义即可求解； 根据“单位邻点”定义逐一判断即可； 设，则的半影点为，则，，所以，然后解方程或即可； （）由题意得，设的“单位邻点”为，所以，，则，即，然后画出图形即可； 设边上任意点的“半影点”为，由于所有“半影点”都可以在四边形的边上找到其单位邻点，，，则半影点正方形最大范围为，，得原正方形坐标，，所以正方形边长最大为，从而求出最大面积． 【详解】（1）解：点是点的“半影点”, ∴，即， 故答案为：； 由得， ．， ∴，， ∴， ∴点是的“单位邻点”； ．， ∴，， ∴， ∴点不是的“单位邻点”； ．， ∴，， ∴， ∴点不是的“单位邻点”； 故选：； 设，则的“半影点”为， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， 解得：或或或， ∴或或或； （2）解：由题意得，设的“单位邻点”为， ∴，， ∴， ∴， 画图如图， 设边上任意点的“半影点”为， ∵所有半影点，“半影点”都可以在四边形的边上找到其单位邻点，且或且， ∴“半影点”正方形最大范围为，， ∴原正方形坐标，， ∴正方形边长最大为，此时面积最大为， 故答案为：． 23．综合与实践 问题情境：李老师和同学们利用平面镜和光屏探究光的线路． 实验简述：如图，光源点位于点，光线照射到平面镜上后反射，反射光线照射到光屏上，第一次入射光线为，反射光线为，第二次入射光线为，反射光线为，第三次入射光线为，反射光线为，按上述光线移动规律进行多次试验． 数学建模：以为原点，所在直线为轴，以垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，点都是整点（横、纵坐标均为整数）． 问题解决： (1)点的坐标为___________． (2)求的面积． (3)直接写出点和点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，点的坐标为 【分析】（1）根据图形直接写出点的坐标即可； （2）结合图形，分别表示出的坐标，找出其变化规律，进而得到坐标，再结合三角形面积公式求解，即可解题； （3）结合图形，分别表示出的坐标，找出其变化规律，即可推出点的坐标，由（2）可知的变化规律，即可推出点的坐标． 解题的关键在于找出，的变化规律． 【详解】（1）解：由图知，点的坐标为； （2）解：， 依此类推，有，即， ， 则的面积为． （3）解：， 依此类推，有， ，即点的坐标为， 由（2）可知， 点的坐标为． 24．马年奔腾，万象更新．在中国象棋中，在棋盘上，“马”走“日”字，即“马”只能沿棋盘上的“纵日”或“横日”的对角线行走．为了定量研究“马”的行走规律，融融同学在棋盘上建立如图所示的平面直角坐标系． 融融将“马”按图1的方式从走到，并用坐标描述为：→→→→→． 经过不断的尝试，他发现无论走何种路线，“马”从走到所需步数都是奇数，其中为整数且．并给出如下证明： 证明：假设“马”沿“纵日”方向和“横日”方向分别走，步，则一共走步， ∵纵坐标经过次“”或“”的变化，次“”或“”的变化， ∴纵坐标变化总量为 ∵从走到点纵坐标变化总量为是奇数， 为偶数． ∴是奇数，因此是奇数， ， ∴是奇数，即一共走了奇数步． (1)在图中画出一种从走到步数更少的走法并用坐标描述； (2)请根据前面的推理，将处省略的步骤补充完整． 【答案】(1)路线为：，画图见解析； (2)见解析． 【分析】（）根据题意找出路线，然后画出图形即可； （）根据规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，路线为：； （2）解：假设“马”沿“纵日”方向和“横日”方向分别走，步，则一共走步， ∵纵坐标经过次“”或“”的变化，次“”或“”的变化， ∴纵坐标变化总量为 ∵从走到点纵坐标变化总量为是奇数， 为偶数， ∴是奇数，因此是奇数， ∵横坐标经过次“”或“”的变化，次“”或“”的变化， ∴横坐标变化总量为 ∵从走到点横坐标变化总量为是偶数，且 为偶数， ∴是偶数，因此是偶数， ∴是奇数，即一共走了奇数步． 25．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“美好距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“美好距离”为； 若，则点与点的“美好距离”为． 用符号表示两点的“美好距离”． (1)已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“美好距离”为2，满足条件的点的坐标是___________（写出1个即可）； ②点与点的“美好距离”的最小值是___________； (2)已知直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，如图1，点的坐标是，则点与点的“美好距离”的最小值是___________；当与的“美好距离”取最小值时，点的横坐标的最小值是___________； (3)已知，定义平面内的一个动点满足，则称动点为两点间的“美好连接点”． ①若，请在图2中画出两点间的“美好连接点”所覆盖的区域： ②已知点坐标为，直线过点且垂直于轴，直接写出当直线上存在两点间“美好连接点”时，的最大值． 【答案】(1)①（答案不唯一）；② (2)2； (3)①图见解析；② 【分析】（1）①根据点位于轴上，可以设点的坐标为，由“美好距离”的定义可以确定，据此可以求得的值，可得点的坐标； ②设点的坐标为，根据，即可得出点与点的“美好距离”最小值； （2）根据直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，设点的坐标为，由，即可得出点与点的“美好距离”的最小值；根据点与点的“美好距离”的最小值即可求解； （3）①由，则，可得，由，，，可得，，分四种情况：，时，，时，，时，，时，进行讨论即可求解； ②由①可得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点为轴上的一个动点， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． ②设点的坐标为， 根据题意得， 当时，点与点的“美好距离”为； 当，即时，点与点的“美好距离”为； ∴点与点的“美好距离”的最小值为． （2）解：∵直线过且平行于轴，是直线上的一个动点， ∴设点的坐标为， ∵点的坐标是， 根据题意得， 当，即时，点与点的“美好距离”为； 当，即时，点与点的“美好距离”为2； ∴点与点的“美好距离”的最小值为2． 当与的“美好距离”取最小值时，， ∴， ∴点的横坐标的最小值是． （3）解：①∵， ∴， 由题意可得，， 设点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，，，， 解得，， 当，时，， 当时，则，解得， 则，解得， ∴； 当时，则，不符合题意； 当时，则，解得， 则，解得， ∴； 当，时，， ∴，则，； 当，时，， ∴，则，； 当，时，， ∴， ∴当，，，，都符合题意； ∴如图，四边形即为两点间的“美好连接点”所覆盖的区域． ②同理得， 当，时，， 当时，则，解得， 则，解得， ∴； 当时，则，解得， 则，解得， ∴； ∴， 解得， ∴的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $