期末应用题系列：三角形（专项训练）-2025-2026学年四年级下册数学北师大版

**基本信息** 以分类讨论与逻辑推理为主线，系统覆盖等腰三角形性质、三边关系、内角和与外角性质，通过实际情境问题培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形性质应用|5题（1/9/11/12/18）|分类讨论顶角/底角，结合内角和180°|从定义到多解问题，构建性质应用逻辑链| |三角形三边关系|6题（2/3/4/5/10/17）|两边之和大于第三边，两边之差小于第三边|从构成判断到边长计算，形成关系验证体系| |内角和与外角性质|5题（6/7/8/14/16）|内角和180°，外角等于不相邻内角和|从基本计算到外角推导，建立角关系推理框架| |综合实践应用|2题（13/15）|折叠/组合图形中角的转化，利用图形性质|结合生活情境，体现几何直观与空间观念综合应用|

期末应用题系列：三角形-2025-2026学年数学四年级下册北师大版 1．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”描写了初春时节孩子们放风筝的生动情景。小雅喜欢放风筝，她买了一个形状是等腰三角形的风筝，已知该风筝的一个角是40°，另外两个角可能是多少度？ 2．用长度分别是5.2cm、8cm和8cm的三根铁丝，能不能焊接成一个三角形铁架？如果能，这个铁架是一个什么三角形？ 3．一根长12厘米的铁丝，要把它分成三段，再首尾相连成一个三角形。园园在4厘米处剪了一刀，再在哪个刻度处剪一刀就能围成一个三角形？（边长为整厘米数） 4．小宇想给他的小狗做一个房子，房顶的框架要用木条做成三角形，其中一根木条长3分米，另一根长5分米，那么第三根木条可能长多少分米？你认为最有可能是哪种？为什么？（木条取整分米数） 5．一个等腰三角形的两条边分别长5.2米和2.6米。下面是乐乐和园园计算这个三角形周长的方法。你同意谁的做法？请说明理由，再计算出它的周长。 6．如下图，∠1＝58°，∠2＝67°，∠3，∠4，∠5，∠6分别是多少度？ 7．乐乐说得对吗？为什么？ 8．如下图，两个三角形都是等腰三角形，∠3＝25°，∠5是多少度？ 9．“纸鸢”一般指风筝，源于东周春秋时期，已有两千多年历史。爸爸为淘气做了一个三角形的风筝，这个风筝其中两个角的度数分别是35°、35°，它的第三个角的度数是多少度？ 10．奇思买了一捆2.5米长的细铁丝，准备做一个等腰三角形风筝骨架。如果这个风筝有一条边是0.7米，那么风筝的另外两条边分别长多少米？（细铁丝刚好用完，写出一种情况即可） 11．红领巾是少先队员的标志，象征着革命的胜利和无数英雄的心血。少先队员佩戴的红领巾展开后是一个等腰三角形，其中两个内角都是30°，它的另外一个内角是多少度？ 12．下图是一个被撕掉两个角的等腰三角形，另外的两个角可能是多少度？算一算，并写出你的想法。 13．在折纸活动中，小丽把一张长方形纸的一角向上折叠（如图），已知∠1＝30°，请你算一算，∠2的度数是多少？ 14．如图，∠1＝m°，∠2＝n°。 （1）用含有字母的式子表示∠3的度数。 （2）当∠1＝50°，∠2＝57°时，求∠3的度数，按角分，这是一个什么三角形？ 15．如图，△ABC是一个直角三角形，剪去一个直角后得到四边形BCDE，请你推算出∠1＋∠2等于多少度？ 16．如图，聪聪把三角形的边延长到点。 （1）∠3和∠4拼成一个（    ）角。 （2）聪聪说∠1＋∠2＝∠4，你同意他的说法吗？请写出你的理由。 17．用一根30厘米的铁丝围图形。 （1）如果正好围成一个等边三角形铁框，它的一条边长是多少厘米？ （2）如果正好围成一个底边长为8厘米的等腰三角形铁框，它的一条腰长是多少厘米？ 18．李叔叔想制作一个三角形框架。他找到了下面这两根木条。 （1）你认为李叔叔应该锯断那根木条？并写出理由 （2）李叔叔把这根木条锯成长度是多少厘米的两段（取整厘米数）才能和另一根木条组成三角形？请你写出其中的一种锯法。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末应用题系列：三角形-2025-2026学年数学四年级下册北师大版》参考答案 1．70°， 70°；40°， 100° 【分析】三角形的内角和是 180°，等腰三角形的两个底角相等。已知一个角是 40°，需要分两种情况进行讨论：第一种情况是 40°为顶角，用180°减去40°算出两个底角度数和，再除以2，计算一个底角的度数。第二种情况是 40°为底角，那么另一个底角也是40°，用180°减去2个40°就是顶角的度数。 【详解】当 40°角是顶角时。 （180° －40°） ÷ 2 ＝ 140° ÷ 2 ＝ 70° 当 40°角是底角时，另一个底角也是 40°。 180°－40°－40° ＝140°－40° ＝100° 答：另外两个角可能是 70°， 70°或 40°， 100°。 2．能，这个铁架是一个等腰三角形。 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；其中有两边相等的三角形是等腰三角形，进行解答即可。 【详解】（厘米）， （厘米）， （厘米）， 答：能焊接成一个三角形铁架，这个铁架是一个等腰三角形。 3．可以在7厘米处或8厘米处或9厘米处剪一刀 【分析】已知条件可求出其余两条线段的长度之和即为（厘米）；找出和为8的两个非零自然数，继而得出其余两条线段的长度；接下来找出能与4厘米围成三角形的一组线段长，由此可求出答案。 【详解】（厘米）    ，，不能围成三角形。 ，，不能围成三角形。 能围成三角形的三段可以是4厘米、3厘米和5厘米或4厘米、4厘米和4厘米，所以可以在7厘米或8厘米或9厘米处剪一刀。 【点睛】本题考查的是三角形边的关系，解题的关键是明白两边之和大于第三边。 4．第三根木条可能长3分米、4分米、5分米、6分米、7分米，最有可能是3分米或5分米。因为这样可以做成等腰三角形，更美观。 【分析】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可。 【详解】（分米）     （分米） 2分米＜第三根木条＜8分米 答：第三根木条可能长3分米、4分米、5分米、6分米、7分米，最有可能是3分米或5分米。因为这样可以做成等腰三角形，更美观。 5．我同意乐乐的做法。理由见详解。 【分析】本题需根据三角形三边关系判断等腰三角形的三边长度，进而计算其周长。用到的知识点为三角形任意两边之和大于第三边。 【详解】乐乐：； 园园：； 周长：（米） 答：我同意乐乐的做法，因为三角形任意两边之和大于第三边；它的周长为13米。 【点睛】通过三角形三边的关系，判断乐乐和园园谁能构成三角形，再计算出三角形的周长。 6．55°；35°；23°；122° 【分析】（1）已知∠1＝58°，∠2＝67°，根据三角形的内角和定理，∠3＝180°-∠1-∠2； （2）由图可知，∠3与∠4相加是一个直角（即90°），故∠4＝90°-∠3； （3）在整个大三角形中，三角形的三个内角分别是∠2、∠5和90°，已知∠2＝67°，根据三角形的内角和定理，∠5＝180°-90°-∠2； （4）由图可知，∠6和∠1相加是一个平角（即180°），故∠6＝180°-∠1。 【详解】（1） （2） （3） （4） 答：∠3是55°，∠4是35°，∠5是23°，∠6是122°。 7．不对；见详解 【分析】三角形内角和定理表明，任意三角形的内角和都是180°，这是三角形的基本性质，与三角形的大小、形状无关，将一个三角形剪成两个小三角形后，每个小三角形依然是三角形，其内角和仍为180°，并非90°，所以乐乐说得不对。 【详解】乐乐说得不对。因为所有三角形的内角和都是180°，所以当一个三角形被剪成两个小三角形时，每个小三角形的内角和都是180°。 8．140° 【分析】题目已知条件三角形为等腰三角形，从图可知，有一个角是直角，所以大三角形是等腰直角三角形。根据等腰直角三角形的性质求出与的度数，再求出∠1与∠2的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠5的度数。 【详解】 答：∠5是140°。 【点睛】结合三角形内角和与等腰直角三角形的性质得出答案。 9．110度 【分析】根据三角形内角和是180°，用180°连续减已知两个角的度数，所得的结果就是第三个角的度数。据此解答。 【详解】180°－35°－35° ＝145°－35° ＝110° 答：它的第三个角的度数是110度。 10．0.9米和0.9米（答案不唯一） 【分析】已知等腰三角形两腰长度相等，判断三条线段能否构成三角形需满足任意两边之和大于第三边。题目要求写出一种情况即可，假设0.7米为底边长，那么腰长计算可列式为（2.5－0.7）÷2，得到结果再验证是否可以构成三角形，据此解答即可。 【详解】（2.5－0.7）÷2 ＝1.8÷2 ＝0.9（米） 0.9＋0.7＝1.6（米），1.6＞0.9，符合两边之和大于第三边，可以构成三角形。 答：另外两条边分别长0.9米和0.9米。（答案不唯一） 11．120° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，这个等腰三角形的两个底角都是30°，根据三角形内角和为180°，用180°减2个30°可算出另一个内角的度数。 【详解】180°－30°－30° ＝150°－30° ＝120° 答：它的另一个内角是120°。 12．62°和62°或者56°和68° 【分析】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°。由题意得，等腰三角形的一个角的度数是56°，那么这个角可能是顶角，也有可能是底角。假设这个角是顶角，那么直接用180°减去这个顶角的度数即可算出两个底角的度数之和，再除以2即可算出一个底角的度数；假设这个角是底角，那么另一个底角的度数也为56°，直接用180°减去两个底角的度数之和即可算出顶角的度数。据此解答。 【详解】如果56°的角是顶角： （180°－56°）÷2 ＝124°÷2 ＝62°，即两个底角的度数都是62°。 如果56°的角是底角，那么另一个底角也是56°： 180°－56°－56° ＝124°－56° ＝68°，即顶角的度数是68°。 答：等腰三角形的另外两个角可能是62°和62°或者56°和68°。 13．60度 【分析】根据题意，明确三角形的内角和是180度，直角是90度，已知∠1＝30°，先用180减去90，再减去30，求出∠BDC的度数；因为折叠后的角∠BDE＝∠BDC，用180减去90，再减去∠BDE的度数，由此可以计算出∠EBD的度数；用90减去30，再减去∠EBD的度数，就是∠EBA的度数；最后用180减去90，再减去∠EBA的度数，就是∠2的度数；列式计算即可。 【详解】根据分析可知： ∠BDC＝180－90－30＝90－30＝60（度） ∠BDE＝∠BDC＝60度 ∠EBD＝180－90－∠BDE＝90－60＝30（度） ∠EBA＝90－30－∠EBD＝60－30＝30（度） ∠2＝180－90－∠EBA＝90－30＝60（度） 答：∠2的度数是60度。 14．（1）180°－m°－n° （2）73°；锐角三角形 【分析】（1）根据题意，明确三角形的内角和是180°，已知∠1＝m°，∠2＝n°。用180°减去∠1的度数，再减去∠2的度数，就是∠3的度数。 （2）当∠1＝50°，∠2＝57°时，180°减去50°，再减去57°，就是∠3的度数。三角形按角分为锐角三角形（三个角均小于90°）、直角三角形（一个角为90°）和钝角三角形（一个角大于90°）。判断三角形的类型即可。 【详解】根据分析可知： （1）∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－m°－n° （2）∠1＝50° ∠2＝57° ∠3＝180°－∠1－∠2 ＝180°－50°－57° ＝130°－57° ＝73° 73°＜90° 50°＜90° 57°＜90° 答：∠3的度数是73°，这是个锐角三角形。 15．270° 【分析】三角形内角和是180°，△ABC是一个直角三角形，则∠B＋∠C＝90°；四边形可以分成两个三角形，所以四边形的内角和：180°×2＝360°，则∠1＋∠2＝四边形的内角和－（∠B＋∠C）。 【详解】180°－90°＝90° 所以∠B＋∠C＝90°； 180°×2＝360° 360°－90°＝270° 答：∠1＋∠2等于270°。 16．（1）平 （2）同意；因为∠3＋∠4＝180°，∠1＋∠2＋∠3＝180°，都有∠3，所以∠1＋∠2＝∠4 【分析】（1）一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角；平角是180°角； （2）平角是180°角，由此可知∠3＋∠4＝180°，三角形内角和为180°，由此可知∠1＋∠2＋∠3＝180°，据此分析解答。 【详解】（1）∠3和∠4拼成一个平角。 （2）平角是180°角，所以∠3＋∠4＝180°，∠4＝180°－∠3； 三角形内角和为180°，所以∠1＋∠2＋∠3＝180，∠1＋∠2＝180°－∠3；故∠1＋∠2＝∠4。 所以我同意聪聪的说法，因为∠3＋∠4＝180°，∠1＋∠2＋∠3＝180°，都有∠3；所以∠1＋∠2＝∠4。 17．（1）10厘米 （2）11厘米 【分析】（1）等边三角形的三条边相等，用30厘米除以3即可求出一条边的边长。 （2）等腰三角形的两条腰相等，用30厘米减去8厘米求出两条腰的和，再除以2即可求出一条腰的长。 【详解】（1）30÷3＝10（厘米） 答：围成一个等边三角形铁框，它的一条边长是10厘米。 （2）（30－8）÷2 ＝22÷2 ＝11（厘米） 答：围成一个底边长为8厘米的等腰三角形铁框，它的一条腰长是11厘米。 18．（1）B木条；理由见详解 （2）5厘米和6厘米，或4厘米和7厘米，或3厘米和8厘米 【分析】（1）因为三角形的两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边，观察两根木条，若不锯断11厘米的木条，仅6厘米这一根木条无法满足与11厘米木条组成三角形的条件。所以应该锯断11厘米长的木条，因为它太长，不锯断的话无法和6厘米的木条组成三角形。 （2）把B木条锯成两段，使锯断得到的两段木条之和6厘米，其差小于6厘米，即可围成三角形，由此解答即可。 【详解】（1）李叔叔应该锯断11厘米长的木条。 因为6＜11，6厘米的木条不论怎么据断都无法使两边之和大于11厘米，所以应锯断B木条。 （2）据法①：5＋6＞6，6－5＜6 可以把B木条锯成长度是5厘米和6厘米的两段和A木条组成三角形。 据法②：4＋7＞6，7－4＜6 可以把B木条锯成长度是4厘米和7厘米的两段和A木条组成三角形。 据法③：3＋8＞6，8－3＜6 可以把B木条锯成长度是3厘米和8厘米的两段和A木条组成三角形。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $